10.3: Перетворення, що змінюють розмір та подібні фігури

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65982

Maxie Inigo, Jennifer Jameson, Kathryn Kozak, Maya Lanzetta, & Kim Sonier
Coconino Community College

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цей розділ охоплює перетворення, які або збільшують або зменшують об'єкт з точки, P. Точка P називається центром перетворення розміру. Множник, який використовується для збільшення або зменшення об'єкта, називається масштабним коефіцієнтом, k. Обчислення, що використовуються для перетворення, залежать від відстаней від точки Р до вершин об'єкта. Ці відстані множаться на k. Отже, щоб збільшити або зменшити об'єкт, знайдіть відстань від точки Р до вершини А об'єкта. Помножте цю відстань на k, щоб отримати k PA, де PA представляє відстань від P до A. Потім виміряйте цю нову відстань, k PA, від точки P у напрямку вершини A. Ця відстань дає нове розташування вершини A після перетворення об'єкта на розмір. Повторіть для всіх вершин об'єкта.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Збільшити трикутник у два рази

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Трикутник, який має бути перетворений розміром у два рази



	Б



	Р				A

Крок 1: Виміряйте відстані від точки Р до кожної вершини трикутника. Одна вершина трикутника знаходиться на точці P, так що вершина залишиться в точці P.

Відстань від точки Р до вершини А дорівнює трьом одиницям.

Відстань від точки Р до вершини В також дорівнює трьом одиницям.

Крок 2: Помножте цю відстань на коефіцієнт масштабу два.

2ПА = 2 (3) = 6

2ПБ = 2 (3) = 6

Крок 3: Виміряйте шість одиниць від точки Р у напрямку вершини A і виміряйте шість одиниць від точки Р у напрямку вершини B. Нові місця A та B - це кожні шість одиниць від P у відповідних напрямках, як показано нижче.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Трикутник, збільшений у два рази

Б'

Б



Р	A	А'

Приклад\(\PageIndex{2}\): Збільшити діамант у два рази

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Алмаз повинен бути перетворений розміром у два рази




		Б

	А		D
		C
Р

Крок 1: Виміряйте відстані від точки Р до кожної вершини ромба.

Відстань від точки Р до вершини А дорівнює ПА

Так само відстані від точки Р до інших трьох вершин - це PB, PC та PD відповідно.

Крок 2: Помножте цю відстань на коефіцієнт масштабу два.

Відстані нових точок від P становлять: 2PA, 2PB, 2PC та 2PD.

Крок 3: Виміряйте ці відстані від точки P у напрямку кожної вершини A, B, C та D, як показано нижче.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Алмаз збільшений в два рази

				Б'

		А'			D'
		Б
	A		D
				C'
		C
Р

Приклад\(\PageIndex{3}\): Зменшити трапецію на коефіцієнт

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Трапеція повинна бути перетворена на коефіцієнт

	Б		C


		П


A				D

Крок 1: Виміряйте відстані від точки Р до кожної вершини трапеції.

Відстані від точки Р до вершин - PA, PB, PC і PD відповідно.

Крок 2: Помножте ці відстані на коефіцієнт масштабування.

Відстані нових точок від Р складають: PA, PB, PC і PD.

Крок 3: Виміряйте ці відстані від точки P у напрямку кожної вершини A, B, C та D, як показано нижче.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Трапеція зменшена на коефіцієнт

	Б					C
			Б'
						С'
				П

		А'			D'
A							D

Фігури, які були перетворені збільшенням або зменшенням, подібні фігурам до вихідної форми.

Подібність за допомогою перетворень

Дві фігури схожі тоді і лише тоді, коли існує комбінація ізометрії (жорсткого руху) та перетворення розміру, що генерує одну фігуру як зображення іншої.

Подібні фігури - це фігури, які мають однакову форму, але не обов'язково однакового розміру. Довжини сторін і внутрішні кути подібних фігур пропорційні один одному.

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Аналогічні цифри

Два прямокутника нижче схожі, якщо сторони пропорційні один одному. Іншими словами, вони схожі if.

а с

b d
Два прямокутника пов'язані масштабним коефіцієнтом k. Тому сторони прямокутників пов'язані між собою:.

Нехай = периметр меншого прямокутника і = периметр більшого прямокутника.

, але пам'ятайте, що, так

, тепер фактор, щоб отримати

, а також, так

Якщо

представляє периметр меншого прямокутника і

представляє периметр більшого прямокутника, то два периметри пов'язані між собою

Нехай = площа меншого прямокутника і = площа більшого прямокутника.

, але пам'ятайте, що, так

, переставити, щоб отримати

, а також, так

Якщо

представляє площу меншого прямокутника і

представляє площу більшого прямокутника, то дві області пов'язані між собою

Приклад\(\PageIndex{4}\): Області та периметри подібних трикутників

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Трикутники на цьому малюнку є подібними трикутниками

4 16

а. визначити периметр більшого трикутника, якщо периметр меншого трикутника дорівнює 12 мм.

б. визначити площу більшого трикутника, якщо площа меншого трикутника дорівнює 6,9 мм2

Спочатку знайдіть масштабний коефіцієнт, використовуючи той факт, що подібні трикутники мають сторони, пропорційні один одному:.

Гномони

Гномон - це форма, яка при додаванні до форми дає іншу форму

, подібну до вихідної форми

. Крім того, гномон - це також форма, яка при відніманні з форми дає іншу форму

, подібну до вихідної форми

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Що таке гномон?

Синій прямокутник, показаний нижче, є оригінальною формою. Коли червона L-форма прикріплюється до синього прямокутника, утворюється новий прямокутник, який називається фігурою. Якщо червона L-форма є гномоном для фігури, то синій прямокутник (форма) схожий на синій і червоний прямокутник (фігура). Також, оскільки прямокутники схожі, довжини сторін пропорційні:

б б + у

а + х

Приклад\(\PageIndex{5}\): Прямокутний гномон

Знайдіть значення x так, щоб червоний більший прямокутник праворуч був гномоном до синього меншого прямокутника ліворуч.

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Прямокутний гномон

3 х

9

Щоб обчислити це, встановіть пропорцію так, щоб сторони маленького синього прямокутника зліва були пропорційні сторонам синього та червоного прямокутників (лівого та правого) об'єднаних. Щоб встановити пропорцію, зробіть співвідношення ширини по довжині маленького синього прямокутника зліва і ширини по довжині об'єднаних прямокутників.

Якщо, то червоний більший прямокутник є гномоном до синього меншого прямокутника.

Приклад\(\PageIndex{6}\): Трикутний гномон

Знайдіть значення x і y так, щоб більший червоний трикутник зліва був гномоном до меншого синього трикутника праворуч.

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Трикутний гномон

х 15

на 9

Щоб обчислити це, встановіть пропорції, один з x і один з y, так що сторони меншого синього трикутника праворуч пропорційні сторонам синього та червоного трикутників, об'єднаних. Щоб встановити пропорцію для x, зробіть співвідношення довшої ноги над коротшою ніжкою меншого синього трикутника праворуч і довшою ногою над коротшою ніжкою комбінованих трикутників.

Тепер, щоб встановити пропорцію для y, зробіть співвідношення коротшого катета над гіпотенузою меншого синього трикутника справа і коротшого катета над гіпотенузою комбінованих трикутників.

Якщо і, то червоний більший трикутник зліва - гномон до синього меншого трикутника справа.