Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.2: З'єднання перетворень та симетрії

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65989

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Люди здавна асоціювали симетрію з красою і мистецтвом. У цьому розділі ми визначаємо симетрію і з'єднуємо її жорсткими рухами.

    Визначення: Симетрія

    Симетрія об'єкта - це жорсткий рух, який переміщує об'єкт назад на себе.

    Існує дві категорії симетрії у двох вимірах, симетрії відображення та симетрії обертання.

    Визначення

    Симетрія відображення виникає, коли об'єкт має лінію симетрії, що проходить через центр об'єкта, і ви можете скласти об'єкт на цій лінії, і дві половини будуть «збігатися». Об'єкт може не мати симетрії відображення або мати одну або кілька симетрій відображення.

    Симетрія обертання виникає, коли об'єкт має ротоцентр у центрі об'єкта, і об'єкт може бути повернений навколо ротоцентру на деяку ступінь менше або дорівнює 360° і є «відповідністю» вихідному об'єкту. Кожен об'єкт має одну або кілька симетрій обертання.

    Симетрія типу D: Об'єкти, які мають як симетрію відбиття, так і симетрії обертання,\(n\) є типом,\(D_n\) де або кількість симетрій відбиття, або кількість симетрій обертання. Якщо об'єкт має як відображення, так і обертання симетрії, то це завжди одне і те ж число\(n\), кожного виду симетрії.

    Симетрія Z-типу: Об'єкти, які не мають симетрії відбиття і лише симетрії обертання,\(n\) є Type,\(Z_n\) де кількість симетрій обертання.

    Приклад\(\PageIndex{1}\): Symmetries of a Pentagon

    Визначте відображення і симетрії обертання п'ятикутника. П'ять пунктирних ліній, показаних на малюнку нижче, є лініями відображення. П'ятикутник можна скласти уздовж цих ліній назад на себе, і дві половини будуть «збігатися», що означає, що п'ятикутник має симетрію відображення вздовж кожної лінії.

    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Відображення симетрії п'ятикутника



    Також є п'ять вершин п'ятикутника і є п'ять симетрій обертання. Кут повороту для кожної симетрії повороту можна обчислити, діливши 360° на кількість вершин об'єкта:. Отже, якщо повернути верхню вершину п'ятикутника на будь-яку іншу вершину, отриманий об'єкт буде збігом з вихідним об'єктом, а отже і симетрією.

    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Симетрії обертання п'ятикутника

    72° 144° 216°


    288° 360°

    Коли об'єкт має таку ж кількість симетрій відображення, як і симетрії обертання, ми говоримо, що він має тип симетрії Тому п'ятикутник має тип симетрії, оскільки він має п'ять симетрій відображення та п'ять симетрій обертання.

    Приклад\(\PageIndex{2}\): Symmetries of a Smiley Face

    Визначте обертання і відображення симетрії смайлика. Існує одна лінія відображення, яка призведе до симетрії відбиття, як показано нижче, і єдина симетрія обертання - 360°, також показано нижче.

    Малюнок\(\PageIndex{3}\): Смайлик має тип симетрії

    360°

    Приклад\(\PageIndex{3}\): Symmetry Type \(D_1\)

    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Деякі літери з типом симетрії

    Наступні літери є прикладами типу симетрії, оскільки кожна з них має лише одну вісь відображення, яка створює симетрію, як показано нижче, і кожна з них має лише одну симетрію обертання, 360°.

    Б В А Е Т

    Приклад\(\PageIndex{4}\): Symmetries of a Pinwheel

    Визначте симетрії обертання та відображення вертушки.

    http://gigjets.com/wp-content/uploads/2014/12/samsung-tizen-os-india.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{5}\): Відбиття симетрії вертушки відсутні

    Малюнок\(\PageIndex{6}\): Існує п'ять симетрій обертання вертушки

    Знаходимо кут, діливши 360° на п'ять точок вертушки;. Симетрії обертання вертушки становлять 72°, 144°, 216°, 288° та 360°.

    http://gigjets.com/wp-content/uploads/2014/12/samsung-tizen-os-india.jpghttp://gigjets.com/wp-content/uploads/2014/12/samsung-tizen-os-india.jpghttp://gigjets.com/wp-content/uploads/2014/12/samsung-tizen-os-india.jpg
    72° 144° 216°

    http://gigjets.com/wp-content/uploads/2014/12/samsung-tizen-os-india.jpghttp://gigjets.com/wp-content/uploads/2014/12/samsung-tizen-os-india.jpg

    288° 360°

    Коли об'єкт не має симетрії відображення і лише симетрії обертання, ми говоримо, що він має тип симетрії. Вертушка має тип симетрії.

    Приклад\(\PageIndex{5}\): Symmetries of the Letter S

    Визначте обертання і відображення симетрії літери S.

    Рішення

    Малюнок\(\PageIndex{7}\): Буква S

    Немає симетрії відбиття та двох симетрій обертання; 180° та 360°, тому буква S має тип симетрії

    S S 180° і 360°

    Приклад\(\PageIndex{6}\): Symmetries of the Card the Eight of Hearts

    Визначте обертання і відображення симетрії карти вісімки сердець.

    Рішення

    Картка, показана нижче, не має симетрії відображення, оскільки будь-яке відображення змінить орієнтацію картки. Спочатку може здатися, що карта має тип симетрії. Однак при повороті на 180° п'ять верхніх сердець повернуться догори дном, і це не буде однаковим. Тому ця карта має лише симетрію обертання на 360°, і тому вона має тип симетрії.

    Малюнок\(\PageIndex{8}\): Вісім сердець і його обертання на 180 °

    Приклад\(\PageIndex{7}\): Other Examples of Symmetry Type \(Z^n\)

    Малюнок\(\PageIndex{9}\): Дизайн і буква К

    а.Результат зображення для вертушки б. К
    а. Конструкція має тип симетрії, відсутність симетрії відображення та шість симетрій обертання. Щоб знайти градуси для симетрії обертання, розділіть 360° на кількість точок конструкції:. Таким чином, шість симетрій обертання становлять 60°, 120°, 180°, 240°, 300° та 360°.

    b. буква К має тип симетрії, відсутність симетрії відображення і одна симетрія обертання (360°).