10.1: Перетворення за допомогою жорстких рухів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65988

Maxie Inigo, Jennifer Jameson, Kathryn Kozak, Maya Lanzetta, & Kim Sonier
Coconino Community College

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У цьому розділі ми дізнаємося про ізометрії або жорстких рухах. Ізометрія - це перетворення, яке зберігає відстані між вершинами фігури. Жорсткий рух не впливає на загальну форму об'єкта, але переміщує об'єкт від початкового місця до кінцевого місця. Отримана цифра збігається з вихідною фігурою.

Жорсткий рух - це коли об'єкт переміщується з одного місця в інше і розмір і форма об'єкта не змінилися.

Дві фігури конгруентні тоді і лише тоді, коли існує жорсткий рух, який встановлює відповідність однієї фігури як зображення іншої. Довжини сторін залишаються однаковими, а внутрішні кути залишаються однаковими.

Рух ідентичності - це жорсткий рух, який переміщує об'єкт з його початкового місця в точно таке ж місце. Це так, ніби об'єкт взагалі не перемістився.

Існує чотири види жорстких рухів: переклади, обертання, відображення та роздуми ковзання. При описі жорсткого руху ми будемо використовувати точки типу P і Q, розташовані на геометричній фігурі, і визначити їх нове розташування на переміщеній геометричній фігурі за допомогою P 'і Q'.

Почнемо з жорсткого руху, званого перекладом. При перекладі об'єкта ми переміщаємо об'єкт в певному напрямку на певну довжину, вздовж вектора.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Переклад

Переклад синього трикутника з точкою Р переміщено вздовж вектора до місця розташування червоного трикутника з точкою P'. Також зверніть увагу, що інші вершини синього трикутника також переміщалися вздовж вектора до відповідних вершин на червоному трикутнику.

П'

Переклад об'єкта переміщує об'єкт уздовж спрямованого відрізка лінії, який називається вектором

на певну відстань і в певному напрямку. Рух повністю визначається двома точками P і P', де P знаходиться на початковому об'єкті, а P '- на перекладеному об'єкті.

Звичайною мовою переклад об'єкта - це слайд з однієї позиції в іншу. Вам дається геометрична фігура і стрілка, яка представляє вектор. Вектор дає вам напрямок і відстань, на яку ви ковзаєте фігуру.

Приклад\(\PageIndex{1}\) перекладу трикутника

Вам задано синій трикутник і вектор. Перемістіть трикутник вздовж вектора.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Синій трикутник і вектор





Б

	A	C

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Результат перекладу


Б'

	А'	С'
Б

	A	C

Властивості перекладу

Переклад повністю визначається двома пунктами P і P '
Не має фіксованих точок
Має рух ідентичності

Примітка: вектор має таку ж довжину, як вектор , але вказує у зворотному напрямку.

Приклад\(\PageIndex{2}\) перекладу об'єкта

З огляду на L-подібну фігуру нижче, перекладіть фігуру уздовж вектора . Вектор переміщається по горизонталі на три одиниці вправо і вертикально на дві одиниці вгору. Перемістіть кожну вершину на три одиниці вправо і дві одиниці вгору. Червона фігура - це положення фігури L-подібної форми після слайда.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): L-форма та вектор

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Результат L-форми, перекладеної вектором

П'

Наступний тип трансформації (жорсткий рух), який ми будемо обговорювати, називається обертанням. Обертання переміщує об'єкт навколо фіксованої точки R, яка називається ротоцентром і через певний кут. Синій трикутник внизу був повернутий на 90° навколо точки R.

Поворот об'єкта переміщує об'єкт навколо точки, яка називається ротоцентром R, на певний кут або за годинниковою стрілкою,

або проти годинникової стрілки.

Примітка: ротоцентр R може знаходитися поза об'єктом, всередині об'єкта або на об'єкті.

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Трикутник, повернутий на 90° навколо ротоцентру R поза трикутником

90°

Малюнок\(\PageIndex{7}\): Трикутник, повернутий на 180° навколо ротоцентру R всередині трикутника

Властивості обертання

A Обертання повністю визначається двома парами точок; P і P' і

Q і Q'

Має одну фіксовану точку, ротоцентр R
Має ідентичність руху обертання на 360°

Приклад\(\PageIndex{3}\): Обертання L-форми

З огляду на наведену нижче діаграму, поверніть Г-подібну фігуру на 90° за годинниковою стрілкою навколо ротоцентру R. Точка Q обертається на 90°. Переміщення кожної вершини на 90° за годинниковою стрілкою

Малюнок\(\PageIndex{8}\): L-подібна форма та ротоцентр R

Г-подібну фігуру повернуть на 90° за годинниковою стрілкою, а вершина Q перейде до вершини Q'. Кожна вершина об'єкта буде повернена на 90°.

90°

Малюнок\(\PageIndex{9}\): Результат обертання за годинниковою стрілкою на 90°

Приклад\(\PageIndex{4}\): обертання прямокутника за годинниковою стрілкою на 45°

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Прямокутник і ротоцентр R

45°

Малюнок\(\PageIndex{11}\): Результат обертання за годинниковою стрілкою на 45°

Приклад\(\PageIndex{5}\): поворот L-форми за годинниковою стрілкою на 180°

Малюнок\(\PageIndex{12}\): L-подібна форма та ротоцентр R


A


Б	Р	180°

Малюнок\(\PageIndex{13}\): Результат обертання за годинниковою стрілкою на 180°


A


Б	Р	Б'

		А'

Наступний тип трансформації (жорсткий рух) називається відображенням. Відображення - це дзеркальне відображення об'єкта, або може розглядатися як «перегортання» об'єкта над.

Відображення: Якщо кожна точка на прямій

відповідає собі, а одна одна одна точка

на площині відповідає унікальній точці

в площині, така, що

є перпендикулярною бісектрисою

, то відповідність називається відображенням в лінії

Звичайною мовою відображення - це дзеркальне відображення через лінію. Лінія є середньою точкою лінії між двома точками, P у вихідній фігурі та P 'у відображенні. П переходить до П '.

Малюнок\(\PageIndex{14}\): Відображення об'єкта навколо лінії l

Малюнок\(\PageIndex{15}\): Результат відображення над лінією l

Відбиття розміщує кожну вершину вздовж прямої, перпендикулярної l і рівновіддаленої від l.

Б'

А'

Властивості рефлексії

Відбиття повністю визначається однією парою точок; P і P'
Має нескінченно багато нерухомих точок: лінія відображення l
Має рух ідентичності, зворотне відображення

Приклад\(\PageIndex{6}\) Відображення L-форми через лінію l

Малюнок\(\PageIndex{16}\): L-подібна форма і лінія l

Відобразіть L-форму поперек лінії l. Червона L-форма, показана нижче, є результатом після відбиття. Початкове положення кожної вершини знаходиться на лінії з відображеним положенням кожної вершини. Ця лінія, яка з'єднує початкове та відображене положення вершини, перпендикулярна лінії l, а початкові та відбиті позиції кожної вершини рівновіддалені до лінії l.

Малюнок\(\PageIndex{17}\): Результат відображення над лінією l

Б'

С'

А'

Приклад\(\PageIndex{7}\): Відображення іншої L-форми по лінії l

Спочатку визначте вершини фігури. Від кожної вершини проведіть відрізок лінії перпендикулярно лінії l і переконайтеся, що його середина лежить на лінії l. Тепер намалюйте нові позиції вершин, зробивши перетворену фігуру дзеркальним відображенням вихідної фігури.

Малюнок\(\PageIndex{18}\): L-форма і лінія l