4.4: Природне зростання та логістичне зростання
- Page ID
- 65955
У цьому розділі ми розглядали лінійне та експоненціальне зростання. Ще одним дуже корисним інструментом для моделювання приросту населення є модель природного зростання. Ця модель використовує базу e, ірраціональне число, як основу показника замість\((1+r)\). Можливо, ви пам'ятаєте про навчання\(e\) в попередньому класі, як експоненціальна функція та основа натурального логарифма.
Модель природного зростання є
\[P(t)=P_{0} e^{k t} \nonumber \]
де\(P_{0}\) - початкова чисельність населення,\(k\) - це темп зростання на одиницю часу,\(t\) а також кількість часових періодів.
Враховуючи\(P_{0} > 0\), якщо k > 0, це експоненціальна модель зростання, якщо k < 0, це експоненціальна модель розпаду.
a. природна функція росту\(P(t) = e^{t}\)
б. функція природного розпаду\(P(t) = e^{-t}\)
При введенні певного препарату пацієнту кількість міліграмів, що залишилися в крові через t годин, задається моделлю
\[P(t) = 40e^{-.25t} \nonumber \]
Скільки міліграмів знаходиться в крові через дві години?
Рішення
Для розв'язання цієї задачі використовуємо задане рівняння з t = 2
\[\begin{align*} P(2) &= 40e^{-.25(2)} \\ P(2) &= 24.26 \end{align*} \nonumber \]
Через дві години в крові пацієнта знаходиться приблизно 24, 6 міліграма препарату.
У наступному прикладі ми бачимо, що модель експоненціального зростання не відображає точної картини зростання населення для природних популяцій.
У Боба мурашина проблема. У перший день травня Боб виявляє, що у нього на задньому дворі є невеликий червоний мурашиний пагорб, з популяцією близько 100 мурах. Якщо умови правильні, колонії червоних мурах мають темп зростання 240% на рік протягом перших чотирьох років. Якщо Боб нічого не зробить, скільки мурах у нього буде наступного травня? Скільки в п'ять років?
Рішення
Вирішуємо цю проблему за допомогою моделі природного росту.
\[P(t) = 100e^{2.4t} \nonumber \]
За один рік t = 1, ми маємо
\[P(1) = 100e^{2.4(1)} = 1102 \text{ ants} \nonumber \]
За один рік t = 5, ми маємо
\[P(5) = 100e^{2.4(5)} = 16,275,479 \text{ ants} \nonumber \]
Тобто багато мурах! Боб не дозволить цьому статися на задньому дворі!
Примітка: Популяція мурах на задньому дворі Боба слідує експоненціальній (або природній) моделі росту.
Проблема з експоненціальним зростанням полягає в тому, що населення росте без обмежень, і в якийсь момент модель більше не буде прогнозувати, що насправді відбувається, оскільки кількість доступних ресурсів обмежена. Популяції не можуть продовжувати зростати на чисто фізичному рівні, врешті-решт настає смерть і досягається обмеження чисельності населення.
Інша модель росту живих організмів у моделі логістичного зростання. Модель логістичного зростання має максимальну чисельність населення, яка називається пропускною спроможністю. У міру зростання популяції кількість особин в популяції зростає до вантажопідйомності і залишається там. Це максимальне населення, яке може витримати навколишнє середовище.
\[P(t) = \dfrac{M}{1+ke^{-ct}} \nonumber \]
де M, c і k - позитивні константи, а t - кількість часових відрізків.
Рисунок\(\PageIndex{1}\): Порівняння експоненціального зростання та логістичного зростання
Горизонтальна лінія K на цьому графіку ілюструє вантажопідйомність. Однак ця книга використовує M для представлення вантажопідйомності, а не K.
(Зображення логістичного зростання 1, н.д.)
(Зображення логістичного зростання 2, н.д.)
Графік логістичного зростання починається з невеликої чисельності населення. Коли населення невелика, зростання швидке, оскільки в навколишньому середовищі більше ліктьового місця. У міру наближення населення до вантажопідйомності зростання сповільнюється.
Популяція зникаючого виду птахів на острові зростає за моделлю логістичного зростання.
\[P(t) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04t}} \nonumber \]
Визначте початкову популяцію. Якою буде популяція птахів через п'ять років? Яким буде населення через 150 років? Яким буде населення через 500 років?
Рішення
Ми знаємо початкову популяцію\(P_{0}\), коли відбувається\(t = 0\).
\[P_{0} = P(0) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04(0)}} = 140 \nonumber \]
Обчисліть чисельність населення через п'ять років, коли\(t = 5\).
\[P(5) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04(5)}} = 169.6 \nonumber \]
На острові буде проживати приблизно 170 птахів через п'ять років
Обчисліть чисельність населення в 150 років, коли\(t = 150\).
\[P(150) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04(150)}} = 3427.6 \nonumber \]
На острові проживатиме приблизно 3428 птахів через 150 років.
Обчисліть чисельність населення в 500 років, коли\(t = 500\).
\[P(500) = \dfrac{3640}{1+25e^{-0.04(500)}} = 3640.0 \nonumber \]
На острові проживатиме приблизно 3640 птахів через 500 років.
Цей приклад показує, що популяція швидко зростає між п'ятьма роками і 150 роками, при загальному збільшенні понад 3000 птахів; але різко сповільнюється між 150 роками і 500 роками (більш тривалий проміжок часу) зі збільшенням трохи більше 200 птахів.
Студентське населення НАУ може бути змодельовано за моделлю логістичного зростання нижче, при цьому початкова чисельність населення взята з початку 1960-х рр.
\[P(t) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06t}} \nonumber \]
Визначте початкове населення і знайдіть чисельність населення НАУ в 2014 році. Яким буде населення НАУ в 2050 році? Від цієї моделі, як ви думаєте, вантажопідйомність НАУ?
Рішення
Вирішуємо цю задачу підставляючи в різні значення часу.
Коли\(t = 0\), отримуємо початкову популяцію\(P_{0}\).
\[P_{0} = P(0) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06(0)}} = \dfrac{30,000}{6} = 5000 \nonumber \]
Початкова чисельність населення НАУ в 1960 році становила 5000 студентів.
У 2014 році минуло 54 роки так,\(t = 54\).
\[P(54) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06(54)}} = \dfrac{30,000}{1+5e^{-3.24}} = \dfrac{30,000}{1.19582} = 25,087 \nonumber \]
У 2014 році навчаються 25 087 студентів НАУ.
У 2050 році минуло 90 років так,\(t = 90\).
\[P(90) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06(90)}} = \dfrac{30,000}{1+5e^{-5.4}} = 29,337 \nonumber \]
У 2050 році навчаються 29 337 студентів НАУ.
Нарешті, щоб спрогнозувати вантажопідйомність, подивіться на населення 200 років з 1960 року, коли\(t = 200\).
\[P(200) = \dfrac{30,000}{1+5e^{-0.06(200)}} = \dfrac{30,000}{1+5e^{-12}} = \dfrac{30,000}{1.00003} = 29,999 \nonumber \]
Таким чином, вантажопідйомність НАУ становить 30 000 студентів.
Виявляється, що чисельником моделі логістичного зростання, М, є вантажопідйомність.
З огляду на модель логістичного зростання\(P(t) = \dfrac{M}{1+ke^{-ct}}\), пропускна спроможність населення становить\(M\). \(M\), Вантажопідйомність - це максимальна популяція, можлива в межах певного середовища проживання.
Припустимо, що в певному рибному інкубаторії популяція риби моделюється логістичною моделлю зростання, де\(t\) вимірюється роками.
\[P(t) = \dfrac{12,000}{1+11e^{-0.2t}} \nonumber \]
Яка вантажопідйомність рибного інкубаторію? Скільки часу знадобиться для того, щоб популяція досягла 6000 риб?
Рішення
Вантажопідйомність рибного інкубаторію -\(M = 12,000\) риба.
Тепер нам потрібно знайти кількість років, необхідних для того, щоб інкубаторій охопив популяцію 6000 риб. Ми повинні вирішити,\(t\) коли\(P(t) = 6000\).
\[6000 =\dfrac{12,000}{1+11e^{-0.2t}} \nonumber \]
\[\begin{align*} (1+11e^{-0.2t}) \cdot 6000 &= \dfrac{12,000}{1+11e^{-0.2t}} \cdot (1+11e^{-0.2t}) \\ (1+11e^{-0.2t}) \cdot 6000 &= 12,000 \\ \dfrac{(1+11e^{-0.2t}) \cdot \cancel{6000}}{\cancel{6000}} &= \dfrac{12,000}{6000} \\ 1+11e^{-0.2t} &= 2 \\ 11e^{-0.2t} &= 1 \\ e^{-0.2t} &= \dfrac{1}{11} = 0.090909 \end{align*} \nonumber \]
Візьмемо натуральний логарифм (ln на калькуляторі) обох сторін рівняння.
\[\begin{align*} \text{ln} e^{-0.2t} &= \text{ln} 0.090909 \\ \text{ln}e^{-0.2t} &= -0.2t \text{ by the rules of logarithms.} \\ -0.2t &= \text{ln}0.090909 \\ t &= \dfrac{\text{ln}0.090909}{-0.2} \\ t&= 11.999\end{align*} \nonumber \]
Приблизно 12 років знадобиться, щоб інкубаторій досяг 6000 риб.