4.3: Особливі випадки - Подвоєння часу та періоду напіврозпаду
- Page ID
- 65956
Скажімо, 1 квітня я кажу, що дам вам копійки, 2 квітня дві копійки, чотири копійки 3 квітня, і що я буду подвоювати суму кожен день до кінця місяця. Скільки грошей я б погодився дати вам 30 квітня? З\(P_{0} = $0.01\), отримаємо наступну таблицю:
| День | Долар Сума |
|---|---|
| 1 квітня =\(P_{0}\) | 0,01 |
| Квітень 2 =\(P_{1}\) | 0,02 |
| Квітень 3 =\(P_{2}\) | 0,04 |
| Квітень 4 =\(P_{3}\) | 0,08 |
| 5 квітня =\(P_{4}\) | 0,16 |
| 6 квітня =\(P_{5}\) | 0,32 |
| ... | ... |
| 30 квітня =\(P_{29}\) | ? |
У цьому прикладі гроші, отримані кожен день, на 100% більше, ніж за попередній день. Якщо використовувати модель експоненціального зростання\(P(t) = P_{0}(1+r)^{t}\) з r = 1, то отримаємо модель подвоєння часу.
\[P(t) = P_{0}(1+1)^{t} = P_{0}(2)^{t} \nonumber \]
Ми використовуємо його, щоб знайти доларову суму\(t = 29\), коли вона представляє 30 квітня
\[P(29) = 0.01(2)^{29} = $5,368,709.12 \nonumber \]
Здивований? Це багато копійок.
Модель подвоєння часу
Резервуар для води на піках Сан-Франциско забруднений колонією 80,000 бактерій кишкової палички. Населення подвоюється кожні п'ять днів. Ми хочемо знайти модель для популяції бактерій, присутніх через\(t\) дні. Кількість часу, яке потрібно населенню, щоб подвоїти, становить п'ять днів, так що це наша одиниця часу. Після того, як пройшли\(t\) дні, то\(t/5\) це кількість одиниць часу, які пройшли. Починаючи з початкової кількості 80 000 бактерій, наша модель подвоєння стає:
\[P(t) = 80,000(2)^{\frac{t}{5}} \nonumber \]
Використовуючи цю модель, наскільки велика колонія за два тижні? Ми повинні бути обережними, щоб одиниці часу були однаковими; 2 тижні = 14 днів.
Рішення
\[P(14) = 80,000(2)^{\frac{14}{5}} = 557,152 \nonumber \]
Зараз колонія налічує 557 152 бактерії.
Якщо\(D\) час подвоєння кількості (кількість часу, на яку потрібно подвоїти кількість) і\(P_{0}\) є початковою величиною кількості, то сума кількості, присутньої після\(t\) одиниць часу, є\(P(t) = P_{0}(2)^{\frac{t}{D}}\)
Час подвоєння популяції мух становить вісім днів. Якщо спочатку 100 мух, скільки мух буде через 17 днів?
Рішення
Щоб вирішити цю проблему, скористайтеся моделлю подвоєння часу з\(D=8\) моделлю подвоєння часу для цієї задачі:\(P_{0} = 100\)
\[P(t) = 100(2)^{t/8} \nonumber \]
Коли\(t = 17\, days\),
\[P(17) = 100(2)^{\frac{17}{8}} = 436 \nonumber \]
Через 17 днів налічується 436 мух.
Примітка: Популяція мух дотримується експоненціальної моделі зростання.
Іноді ми хочемо вирішити протягом часу, який потрібен певному населенню, щоб рости, враховуючи їх подвоєння час. Для вирішення для показника використовуємо кнопку log на калькуляторі.
Припустимо, що популяція бактерій подвоюється кожні шість годин. Якщо початкова популяція становить 4000 особин, скільки годин знадобиться популяції, щоб збільшити до 25 000?
Рішення
\(P_{0} = 4000\)і\(D = 6\), таким чином, модель подвоєння часу для цієї проблеми:
\[P(t) = 4000(2)^{\frac{t}{6}}\nonumber \]
Тепер знайдіть, коли\(P(t) = 25,000\)
\[25,000 = 4000(2)^{\frac{t}{6}}\nonumber \]
\[\dfrac{25,000}{4000} = \dfrac{\cancel{4000}(2)^{\frac{t}{6}}}{\cancel{4000}}\nonumber \]
\[6.25 = (2)^{\frac{t}{6}}\nonumber \]
Тепер візьміть журнал обох сторін рівняння.
\[\text{log}6.25 = \text{log}(2)^{\frac{t}{6}}\nonumber \]
Показник спускається за допомогою правил логарифмів.
\[\text{log}6.25 = (\dfrac{t}{6}) \text{log}(2) \nonumber \]
Тепер обчисліть log6.25 і log2 за допомогою калькулятора.
\[\begin{align*} 0.7959 &= (\dfrac{t}{6}) \cdot 0.3010 \\ \dfrac{0.7959}{0.3010} &= \dfrac{t}{6} \\ 2.644 &= \dfrac{t}{6} \\ t &= 15.9 \end{align*} \nonumber \]
Населення збільшиться до 25 000 бактерій приблизно за 15,9 годин.
Правило 70
Існує проста формула для наближення часу подвоєння популяції. Він називається правилом 70 і являє собою наближення для темпів зростання менше 15%. Не використовуйте цю формулу, якщо темп зростання становить 15% і більше.
Для величини, що зростає з постійною процентною швидкістю (не записується як десяткова)\(R\), за період часу час подвоєння приблизно задається
\[D \approx \dfrac{70}{R} \nonumber \]
Популяція птахів на певному острові має річний темп приросту 2,5% на рік. Приблизна кількість років знадобиться населенню подвоїти. Якщо початкова популяція становить 20 птахів, використовуйте її для пошуку пташиної популяції острова через 17 років.
Рішення
Щоб вирішити цю проблему, спочатку орієнтуйте час подвоєння населення.
Подвоєння часу\(D \approx \dfrac{70}{2.5} = 28\) років.
Коли популяція птахів подвоїлася за 28 років, ми використовуємо модель подвоєння часу, щоб знайти популяцію 17 років.
\[P(t) = 20(2)^{\frac{t}{28}} \nonumber \]
Коли\(t = 17\) років
\[P(16) = 20(2)^{\frac{17}{28}} = 30.46 \nonumber \]
Через 17 років на острові буде 30 птахів.
Певна ракова пухлина подвоюється в розмірах кожні півроку. Якщо початковий розмір пухлини становить чотири клітини, скільки клітин буде через три роки? Через сім років?
Рішення
Для обчислення кількості клітин в пухлині використовується модель подвоєння часу. Змініть одиниці часу, щоб вони були однаковими. Термін подвоєння - півроку = 0,5 року.
\[P(t) = 4(2)^{\frac{t}{0.5}} \nonumber \]
Коли\(t = 3\) років
\[P(3) = 4(2)^{\frac{3}{0.5}} = 256 \text{cells} \nonumber \]
Коли\(t = 7\) років
\[P(7) = 4(2)^{\frac{7}{0.5}} = 65,536 \text{cells} \nonumber \]
Припустимо, що населення певного міста подвоюється кожні 12 років. Який приблизний річний темп приросту міста?
Рішення
Вирішивши модель подвоєння часу для темпів зростання, ми можемо вирішити цю проблему.
\[\begin{align*} D &\approx \dfrac{70}{R} \\ R \cdot D &\approx \dfrac{70}{\cancel{R}} \cdot \cancel{R} \\ RD &\approx 70 \\ \dfrac{R\cancel{D}}{D} &\approx \dfrac{70}{D} \\ \text{Annual growth rate R} &\approx \dfrac{70}{D} \\ R &= \dfrac{70}{12} = 5.83 \% \end{align*} \nonumber \]
Річний темп зростання міста становить приблизно 5,83%
Модель експоненціального розпаду та періоду напіврозпаду
Період напіврозпаду матеріалу - це час, необхідний для кількості матеріалу, щоб бути розрізані навпіл. Цей термін зазвичай використовується при описі радіоактивних металів, таких як уран або плутоній. Наприклад, період напіввиведення вуглецю-14 становить 5730 років.
Якщо речовина має період напіврозпаду, це означає, що половина речовини зникне за одиницю часу. Іншими словами, сума зменшується на 50% за одиницю часу. Використовуючи модель експоненціального зростання зі зменшенням 50%, ми маємо
\[P(t) = P_{0}(1-0.5)^{t} = P_{0}(\dfrac{1}{2})^{t} \nonumber \]
Припустимо, речовина має період напіввиведення вісім днів. Якщо зараз присутні 40 грам, скільки залишилося через три дні?
Рішення
Ми хочемо знайти модель за кількістю речовини, яка залишається через t днів. Кількість часу, яку потрібно зменшити вдвічі, становить вісім днів, так що це наша одиниця часу. Після того, як минуло t днів, то t8 - це кількість одиниць часу, які пройшли. Починаючи з початкової кількості 40, наша модель напіврозпаду стає:
\[P(t) = 40(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{8}} \nonumber \]
З\(t=3\)
\[P(3) = 40(\dfrac{1}{2})^{\frac{3}{8}} = 30.8 \nonumber \]
Залишається через три дні 30, 8 грама речовини.
Якщо\(H\) період напіврозпаду кількості (кількість часу, яку потрібно кількість скорочується навпіл) і\(P_{0}\) є початковою кількістю кількості, то кількість кількості, присутньої після t одиниць часу, є
\[P(t) = P_{0}(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{H}} \nonumber \]
Свинцево-209 є радіоактивним ізотопом. Він має період напіврозпаду 3.3 години. Припустимо, що 40 міліграм цього ізотопу створюється в експерименті, скільки залишилося через 14 годин?
Рішення
Використовуйте модель напіврозпаду для вирішення цієї проблеми.
\(P_{0} = 40\)і\(H = 3.3\), таким чином, модель напіврозпаду для цієї проблеми є:
\[P(t) = 40(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{3.3}} \nonumber \]
З\(t=14\) годинами,
\[P(14) = 40(\dfrac{1}{2})^{\frac{14}{3.3}} = 2.1 \nonumber \]
Через 14 годин залишається 2, 1 міліграма свинцю 209.
Примітка: Міліграми Lead-209 залишилися слідом за моделлю зменшення експоненціального зростання.
Nobelium-259 має період напіврозпаду 58 хвилин. Якщо у вас 1000 грам, скільки залишиться через дві години?
Рішення
Вирішуємо цю задачу за допомогою моделі напіврозпаду. Перш ніж ми почнемо, важливо відзначити одиниці часу. Період напіврозпаду дається в хвилинах, і ми хочемо знати, скільки залишилося за дві години. Перетворення годин в хвилини при використанні моделі: дві години = 120 хвилин.
\(P_{0} = 1000\)і\(H = 58\) хвилин, тому модель напіврозпаду для цієї проблеми:
\[P(t) = 1000(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{58}} \nonumber \]
З\(t=120\) хвилинами,
\[P(120) = 1000(\dfrac{1}{2})^{\frac{120}{58}} = 238.33 \nonumber \]
Є 238 грам Nobelium-259 залишається через дві години.
Радіоактивний вуглець-14 використовується для визначення віку артефактів, оскільки концентрується в організмах тільки тоді, коли вони живі. Він має період напіврозпаду 5730 років. У 1947 році були знайдені глиняні банки, що містять те, що відоме як Сувої Мертвого моря. Аналіз показав, що обгортки прокрутки містили 76% їх вихідного вуглецю-14. Оцініть вік сувоїв Мертвого моря.
Рішення
У цій задачі ми хочемо оцінити вік сувої. У 1947 році залишилося 76% вуглецю-14. Це означає, що кількість, що залишилася на час t, розділене на початкову кількість вуглецю-14\(P_{0}\), дорівнює 76%. Отже,\(\dfrac{P(t)}{P_{0}} = 0.76\) ми використовуємо цей факт, щоб вирішити його.
\[\begin{align*} P(t) &= P_{0}(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} \\ \dfrac{P(t)}{P_{0}} &= (\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} \\ 0.76 &= (\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} \end{align*} \nonumber \]
Тепер візьміть журнал обох сторін рівняння.
\[\text{log} 0.76 = \text{log}(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{5730}} \nonumber \]
Показник спускається за допомогою правил логарифмів.
\[\text{log} 0.76 = (\frac{t}{5730}) \text{log}\dfrac{1}{2}\nonumber \]
Тепер обчисліть log0.76 та увійти за\(\dfrac{1}{2}\) допомогою калькулятора.
\[\begin{align*} -0.1192 &= (\frac{t}{5730}) \cdot (-0.3010) \\ \dfrac{-0.1192}{-0.3010} &= \dfrac{t}{5730} \\ 0.3960 &= \dfrac{t}{5730} \\ t &= 2269.08 \end{align*} \nonumber \]
Сувої Мертвого моря налічують понад 2000 років.
Плутоній має період напіврозпаду 24000 років. Припустимо, що 50 фунтів його скинули на місце ядерних відходів. Скільки часу знадобиться для того, щоб він розпався на 10 фунтів?
Рішення
\(P_{0} = 50\)і\(H = 24,000\) хвилин, тому модель напіврозпаду для цієї проблеми:
\[P(t) = 50(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \nonumber \]
Тепер знайдіть,\(t\) коли\(P_{t} = 10\).
\[\begin{align*} 10 &= 50(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \\ \dfrac{10}{50} &= (\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \\ 0.2 &= (\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \end{align*} \nonumber \]
Тепер візьміть журнал обох сторін рівняння.
\[\text{log} 0.2 = \text{log}(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{24,000}} \nonumber \]
Показник спускається за допомогою правил логарифмів.
\[\text{log} 0.2 = (\frac{t}{24,000}) \text{log}\dfrac{1}{2}\nonumber \]
Тепер обчисліть log0.2 та увійти за\(\dfrac{1}{2}\) допомогою калькулятора.
\[\begin{align*} -0.6990 &= (\frac{t}{24,000}) \cdot (-0.3010) \\ \dfrac{-0.6990}{-0.3010} &= \dfrac{t}{24,000} \\ 2.322 &= \dfrac{t}{24,000} \\ t &= 55,728 \end{align*} \nonumber \]
Кількість плутонію зменшиться до 10 фунтів приблизно за 55 728 років.
Існує проста формула для наближення періоду напіврозпаду популяції. Він називається правилом 70 і являє собою наближення для швидкостей розпаду менше 15%. Не використовуйте цю формулу, якщо швидкість розпаду становить 15% і більше.
Для величини, що зменшується з постійним відсотком (не записується як десятковий), R, за період часу, період напіврозпаду приблизно задається:
\[\text{Half-life } H \approx \dfrac{70}{R} \nonumber \]
Популяція диких слонів скорочується на 7% в рік. Приблизний період напіврозпаду для цієї популяції. Якщо в даний час в дикій природі залишилося 8000 слонів, скільки залишиться через 25 років?
Рішення
Для вирішення цієї задачі використовують формулу наближення періоду напіврозпаду.
\[\text{Half-Life } H \approx \dfrac{70}{7} = 10 \text{ years} \nonumber \]
\(P_{0} = 7000\)і\(H = 10\) років, тому модель напіврозпаду для цієї проблеми:
\[P(t) = 7000(\dfrac{1}{2})^{\frac{t}{10}} \nonumber \]
Коли\(t=25\),
\[P(25) = 7000(\dfrac{1}{2})^{\frac{25}{10}} = 1237.4 \nonumber \]
Через 25 років залишиться приблизно 1237 диких слонів.
Примітка: Популяція слонів дотримується моделі зменшення експоненціального зростання.
| Правила експонентів | Правила логарифма для загального логарифма (основа 10) |
|---|---|
|
Визначення показника \(a^{n} = a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot ..... \cdot a\) (n a помножити разом) |
Визначення логарифма \(10^{y} = x \text{ if and only if } \text{log}x = y\) |
| Нульове правило\(a^{0} = 1\) | |
| Правило продукту\(a^{m} \cdot a^{n}= a^{m+n}\) | Правило продукту\(\text{log}(xy) =\text{log }(x) + \text{log }(y)\) |
| Частота Правило\(\dfrac{a^{m}}{a^{n}}= a^{m-n}\) | Частота Правило\(\text{log}(\dfrac{x}{y}) =\text{log }(x) - \text{log }(y)\) |
| Правило влади\((a^{n})^{m}= a^{n\cdot m}\) | Правило влади\(\text{log }x^{r} =r \text{log }(x) (x > 0)\) |
| Правила розповсюдження\((ab)^{n}= a^{n} \cdot a^{n}, (\dfrac{a}{b})^{n} = \dfrac{a^{n}}{b^{n}} \) | \(\text{log}10^{x} =x \text{log}(10) = x\) |
| Правила негативного показника\( a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}, (\dfrac{a}{b})^{-n} = (\dfrac{b}{a})^{n} \) | \(10^{\text{log}x} = x (x > 0)\) |