4.2: Експоненціальне зростання
- Page ID
- 65967
Наступне зростання, яке ми розглянемо, - це експоненціальне зростання. Лінійне зростання відбувається шляхом додавання однакової кількості в кожну одиницю часу. Експоненціальне зростання відбувається, коли початкова популяція збільшується на той самий відсоток або коефіцієнт протягом рівних часових приростів або поколінь. Це відоме як відносне зростання і зазвичай виражається у відсотках. Наприклад, скажімо, населення зростає на 1,6% щороку. На кожні 1000 чоловік у населенні буде\(1000 \cdot 0.016 = 16\) більше людей, що додаються на рік.
Кількість зростає експоненціально, якщо вона зростає на постійний коефіцієнт або швидкість для кожної одиниці часу.
На цьому графіку синя пряма представляє лінійний ріст, а червона вигнута лінія - експоненціальне зростання.
Місто зростає зі швидкістю 1,6% на рік. Початкова чисельність населення в 2010 році становить\(P_{0} = 125,000\). Обчисліть чисельність населення міста протягом наступних кількох років.
Рішення
Відносний темп зростання становить 1,6%. Це означає, що додаткові 1,6% додаються до 100% населення, яке вже існує щороку. Це коефіцієнт 101,6%.
- Чисельність населення на 2011 рік\[125,000(1.016)^{1} = 127,000 \nonumber \]
- Чисельність населення в 2012 році\[127,000(1.016) = 125,000(1.016)^{2} = 129,032 \nonumber \]
- Чисельність населення на 2013 рік\[129,032(1.016) = 125,000(1.016)^{3} = 131,097 \nonumber \]
Ми можемо створити рівняння для зростання міста. Щороку населення на 101,6% більше, ніж в попередньому році.
\[P(t) = 125,000(1+0.016)^{t} \nonumber \]
Примітка: Графік зростання міста слідує експоненціальній моделі зростання
Сент-Луїс, штат Міссурі, за останні 60 років скоротилася чисельність населення зі швидкістю 1.6% на рік. Населення в 1950 році становило 857 000 осіб. Знайти населення в 2014 році. (Вікіпедія, н.д.)
Рішення
\(P_{0} = 857,000\)
Відносний темп зростання становить 1,6%. Це означає, що 1,6% населення віднімається від 100% населення, яке вже існує щороку. Це коефіцієнт 98,4%.
- Населення в 1951 році\[857,000(0.984)^{1} = 843,288\nonumber \]
- Чисельність населення в 1952 році\[843,228(0.984) = 857,000(0.984)^{2} = 829,795\nonumber \]
- Чисельність населення в 1953 році\[828,795(0.984) = 857,000(0.984)^{3} = 816,519\nonumber \]
Ми можемо створити рівняння для зростання міста. Щороку населення на 1,6% менше, ніж в попередньому році.
\[P(t) = 857,000(1-0.016)^{t} \nonumber \]
Отже, населення Сент-Луїс Міссурі в 2014 році, коли\(t = 64\), становить:
\[\begin{align*} P(64) &= 857,000(1-0.016)^{64} \\[4pt] &=857,000(0.984)^{64} \\[4pt] &= 305,258 \end{align*} \nonumber \]
Примітка: Графік населення Сент-Луїса, штат Міссурі з часом слідує за моделлю експоненціального зростання.
\(\begin{align*}&P_{0} \text{ is the initial population.} \\[4pt]&r \text{ is the relative growth rate}. \\[4pt]&t \text{ is the time unit.} \\[4pt]&r \text{ is the positive if the population is increasing and negative if the population is decreasing.} \end{align*}\)
Середній рівень інфляції долара США за останні п'ять років становить 1,7% на рік. Якби новий автомобіль коштував 18 000 доларів п'ять років тому, скільки б це коштувало сьогодні? (Калькулятор інфляції в США, н.д.)
Рішення
Для вирішення цієї задачі використовується експоненціальна модель зростання з r = 1 ,7%.
\(P_{0} = 18,000\)і\(t=5\)
\[\begin{align*}P(t) &= 18,000(1+0.017)^{t} \\[4pt] P(5) &= 18,000(1+0.017)^{5} = 19,582.91 \end{align*} \nonumber \]
Ця машина коштувала б\($19,582.91\) сьогодні.
У травні 2014 року в Сьєрра-Леоне було зафіксовано 15 випадків захворювання на Еболу. До серпня було 850 випадків. Якщо вірус поширюється з однаковою швидкістю (експоненціальне зростання), скільки випадків буде у лютому 2015 року? (Маккенна, 2014)
Рішення
Щоб вирішити цю проблему, ми повинні знайти три речі: темпи зростання на місяць, експоненціальну модель зростання та кількість випадків захворювання на Еболу в лютому 2015 року. Спочатку розрахуйте темпи зростання в місяць. Для цього використовують початкову популяцію\(P_{0} = 15\), в травні 2014 року. Також у серпні, через три місяці, кількість випадків становила 850 так,\(P(3) = 850\).
Використовуйте ці значення та модель експоненціального зростання для вирішення\(r\).
\[\begin{align*}P(t) &= P{0}(1+r)^{t} \\[4pt] 850 &= 15(1+r)^{3} \\[4pt] 56.67 &= (1+r)^{3} \\[4pt] \sqrt[3]{56.67} &= \sqrt[3]{(1+r)^{3}} \\[4pt] 3.84 &= 1+r \\[4pt] 2.84 &= r \end{align*} \nonumber \]
Темп зростання становить 284% на місяць. Таким чином, експоненціальна модель зростання - це:
\[P(t)=15(1+2.84)^{t} = 15(3.84)^{t} \nonumber \]
Тепер ми використовуємо це для обчислення кількості випадків захворювання на Еболу в Сьєрра-Леоне в лютому 2015 року, що становить 9 місяців після початкового спалаху,\(t=9\)
\[P(9)= 15(3.84)^{9} = 2,725,250 \nonumber \]
Якщо цей самий експоненціальний темп зростання збережеться, кількість випадків захворювання на Еболу в Сьєрра-Леоне в лютому 2015 року становила б 2 725 250.
Це похмурий прогноз для громади Сьєрра-Леоне. На щастя, темпи зростання цього смертельно небезпечного вірусу повинні бути зменшені світовою спільнотою та Всесвітньою організацією охорони здоров'я шляхом надання необхідних засобів для боротьби з початковим поширенням.
Примітка: Графік кількості можливих випадків Еболи в Сьєрра-Леоне з плином часу слідує зростаючій моделі експоненціального зростання.
Згідно з новим прогнозом, населення Пуерто-Ріко знаходиться в занепаді. Якщо населення в 2010 році становить 3 978 000, а прогноз для населення в 2050 році становить 3 697 000, знайдіть щорічний відсоток зниження. (Блумберг Бізнестиждень, н.д.)
Рішення
Для вирішення цієї задачі використовується модель експоненціального зростання. Нам потрібно вирішити для р.
\[\begin{align*}P(t) &= P_{0}(1+r)^{t} \text{where } t = 40 \text{ years}\\[4pt] P(40) &= 3,697,000 \text{and} P_{0} = 3,978,000 \\[4pt] 3,697,000 &= 3,978,000(1+r)^{40} \\[4pt] 0.92936 &= (1+r)^{40} \\[4pt] \sqrt[40]{0.92936} &= \sqrt[40]{(1+r)^{40}} \\[4pt] 0.99817 &= 1+r \\[4pt] -0.0018 &= r \end{align*} \nonumber \]
Щорічне зниження відсотків становить 0,18%.