Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.1: Лінійний ріст

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65961

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Починаючи з 25 років, уявіть, якби ви могли заощадити 20 доларів на тиждень, щотижня, поки не вийдете на пенсію, скільки грошей ви б набили під матрац у віці 65 років? Для вирішення цієї проблеми ми могли б використовувати лінійну модель зростання. Лінійний ріст має характеристику зростання на однакову величину в кожну одиницю часу. У цьому прикладі спостерігається збільшення на 20 доларів на тиждень; постійна сума поміщається під матрац в ту ж одиницю часу.

    Якщо ми почнемо з 0$ під матрац, то в кінці першого року ми б мали\($20 \cdot 52 = $1040\). Отже, це означає, що ви можете додавати $1040 під матрац щороку. Після закінчення 40 років вам доведеться\($1040 \cdot 40 = $41,600\) на пенсію. Це не найкращий спосіб заощадити гроші, але ми бачимо, що він розраховується систематично.

    Визначення: Лінійний ріст

    Кількість зростає лінійно, якщо вона зростає на постійну кількість за кожну одиницю часу.

    Приклад\(\PageIndex{1}\): City Growth

    Припустимо, у Флагстафф Арізона кількість жителів збільшилася на 1000 чоловік на рік. Якщо початкова чисельність населення становила 46 080 в 1990 році, чи можете ви прогнозувати чисельність населення в 2013 році? Це приклад лінійного зростання, оскільки населення зростає на постійну кількість. Ми перерахуємо населення в майбутні роки нижче, додаючи 1000 чоловік за кожен рік.

    1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
    Рік 0 1 2 3 4 5 6
    Населення 46 080 47 080 48 080 49 080 50 080 51 080 52 080
    Це графік зростання населення за шестирічний період у Флагстаффі, штат Арізона. Це пряма лінія і може бути змодельована за допомогою лінійної моделі зростання.
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Графік лінійного приросту населення

    Зростання популяції можна змоделювати за допомогою лінійного рівняння. Початкова популяція P0 становить 48 080. Майбутнє населення залежить від кількості років, т, після початкового року. Модель Р (т) = 46,080 + 1000 т

    Щоб спрогнозувати чисельність населення в 2013 році, ми визначаємо, скільки років пройшло з 1990 року, що дорівнює нулю року. Так n = 23 за 2013 рік.

    \[P(23)=46,080+1000(23)=69,080 \nonumber \]

    Населення Флагстаффа в 2013 році становило б 69 080 чоловік.

    Лінійна модель зростання: Лінійне зростання починається з початкової популяції називається\(P_{0}\). У кожному часовому періоді або поколінні t популяція змінюється на постійну величину, яка називається загальною різницею d Базовою моделлю є:

    \[P(t) = P_{0} + td \nonumber \]

    Приклад\(\PageIndex{2}\): Antique Frog Collection

    Дора успадкувала колекцію з 30 старовинних жаб. Щороку вона обіцяє купувати двох жаб на місяць, щоб виростити колекцію. Це додаткові 24 жаби на рік. Скільки у неї буде жаб шість років? Скільки часу їй знадобиться, щоб досягти 510 жаб?

    Рішення

    Початкова популяція є\(P_{0} = 30\) і загальна відмінність є\(d = 24\). Модель лінійного зростання для цієї проблеми:

    \[P(t) = 30 + 24t \nonumber \]

    Перше питання задається, скільки у Дори буде жаб через шість років так, t = 6.

    \[P(6) = 30+24(6) = 30 + 144 = 174 \nonumber \]жаби.

    Друге питання запитує час, який знадобиться Дорі, щоб зібрати 510 жаб. Отже,\(P(t) = 510\) і вирішимо за нього.

    \[\begin{align*}510 &= 30 + 24t \\ 480 &= 24t \\ 20 &= t \end{align*} \nonumber \]

    Знадобиться 20 років, щоб зібрати 510 старовинних жаб.

    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Графік колекції античної жаби

    Примітка: Графік кількості старовинних жаб Дори накопичується з часом слідує за прямою лінією.

    Приклад\(\PageIndex{3}\): Car Depreciation

    Припустимо, що автомобіль амортизується на однакову суму щороку. Джо придбав автомобіль в 2010 році за 16 800 доларів. У 2014 році він коштує 12 000 доларів. Знайдіть лінійну модель зростання. Передбачте, скільки буде коштувати автомобіль в 2020 році.

    \(P_{0} = 16,800\)і\(P_{4} = 12,000\)
    щоб знайти лінійну модель зростання для цієї задачі, нам потрібно знайти загальну різницю d.

    \[\begin{align*} P(t) &= P_{0} + td \\ 12,000 &= 16,800 + 4d \\ -4800 &= 4d \\ -1200 &= d \end{align*} \nonumber \]

    Загальна різниця амортизації щороку є\(d = $-1200\). Таким чином, модель лінійного зростання для цієї проблеми така:\(P(t) = 16,800 - 1200t\)
    Тепер, щоб дізнатися, скільки буде коштувати автомобіль у 2020 році, нам потрібно знати, скільки років це з року покупки. Так як це через десять років,\(t=10\).

    \[P(10)=16,800-1200(10)=16,800-12,000=4,800 \nonumber \]

    Автомобіль коштує $4800 в 2020 році.

    Малюнок\(\PageIndex{3}\): Графік амортизації вартості автомобіля

    Примітка: Значення автомобіля з плином часу слідує за спадною прямою лінією.