Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.3: Застосування звичайних дистрибутивів

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66542

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Застосовуйте характеристики звичайного дистрибутива до вирішення додатків.

    Вступ

    Нормальний розподіл є основою для статистичного висновку і буде важливою частиною багатьох з цих тем в наступних розділах. Тим часом в цьому розділі будуть розглянуті деякі типи питань, на які можна відповісти за допомогою властивостей звичайного розподілу. Перші приклади стосуються більш теоретичних питань, які допоможуть вам освоїти базові розуміння та обчислювальні навички, тоді як пізніші проблеми нададуть приклади з реальними даними або, принаймні, реальним контекстом.

    Звичайні розподіли з реальними даними

    Основа проведення експериментів шляхом збору опитувань і проб найчастіше базується на нормальному розподілі, про що ви дізнаєтеся більш детально в наступних розділах. Ось два приклади, щоб ви почали.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Інформаційний центр Національної служби охорони здоров'я Великобританії збирає та публікує велику кількість інформації та статистики з питань охорони здоров'я, що зачіпають населення. Один з таких вичерпних даних відстежує інформацію про здоров'я дітей [1]. За його статистикою, в 2006 році середній зріст 12-річних хлопчиків становив 152,9 см, при оцінці стандартного відхилення приблизно 8,5 см. (Це не точні цифри для населення, і в наступних розділах ми дізнаємося, як вони обчислюються і наскільки точними вони можуть бути, але поки будемо вважати, що вони є розумною оцінкою справжніх параметрів.) Якщо 12-річна Сесіль 158 см, приблизно який відсоток всіх 12-річних хлопчиків у Британії він вищий?

    Рішення

    Спочатку ми повинні припустити, що зріст 12-річних хлопчиків у Британії зазвичай розподілений, і це здається розумним припущенням. Як завжди, намалюйте ескіз і оцініть розумну відповідь до розрахунку відсотка. У цьому випадку давайте скористаємося калькулятором для ескізу розподілу та затінення. Спочатку визначитеся з відповідним вікном, яке включає близько 3 стандартних відхилень по обидва боки середнього. При цьому 3 стандартних відхилення становлять близько 25,5 см, тому складіть і відніміть це значення в/з середнього, щоб знайти горизонтальні крайності. Потім введіть відповідну команду «ShadeNorm (», як показано на малюнку:

    clipboard_ea2de19631e6c6d042f33324468b468f6.png

    З цих даних ми б оцінили, що Сесіл вище, ніж приблизно 73% 12-річних хлопчиків. Ми також могли б висловити наше припущення таким чином: ймовірність випадково обраного британського 12-річного хлопчика коротше Сесіла становить близько 0,73. Часто з подібними даними ми використовуємо процентилі. Ми б сказали, що Сесіл знаходиться в 73-му процентилі за зростом серед 12-річних хлопчиків у Великобританії.

    Наскільки високим повинен бути Сесіл, щоб бути в топ-1% всіх 12-річних хлопців у Британії?

    Ось ескіз:

    clipboard_e93f4476074cf7de45d15e4ffe57a7bad.png

    У цьому випадку нам дається відсоток, тому нам потрібно використовувати команду 'invNorm (', як показано на малюнку.

    clipboard_ee5bb0c07ef2ecd200d45fc9803774eff.png

    Наші результати показують, що Сесіл повинен бути близько 173 см заввишки, щоб бути в топ-1% 12-річних хлопчиків у Великобританії.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Припустимо, що розподіл мас жіночих морських ігуан в Пуерто-Вілламіль на Галапагоських островах приблизно нормальне, із середньою масою 950 г і стандартним відхиленням 325 м Молодих морських ігуан в населених пунктах островів дуже мало, тому що дикі кішки схильні вбивати їх . Наскільки рідко ми знайшли б самку морської ігуани масою менше 400 г в цій місцевості?

    clipboard_e70e5ac6ed5d7f52ce6681e5fd026d14f.png

    Рішення

    Використовуючи графічний калькулятор, ми можемо наблизити ймовірність того, що жіноча морська ігуана буде менше 400 грам наступним чином:

    clipboard_e03e8f50576994b74fe45b3d86a9ee483.png

    З імовірністю приблизно 0,045, або лише близько 5%, ми могли б сказати, що досить малоймовірно, що ми знайдемо таку маленьку ігуану.

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Фізичний завод в головному кампусі великого державного університету щодня отримує запити на заміну люмінесцентних лампочок. Розподіл кількості щоденних запитів має дзвоноподібну форму і має середнє значення 59 і стандартне відхилення 9. Використовуючи емпіричне правило, який приблизний відсоток запитів на заміну лампочки налічує від 59 до 77?

    Рішення

    Оскільки ми хочемо використовувати емпіричне правило, ми повинні намалювати фігуру, що відображає емпіричне правило, враховуючи середнє значення є\(59\) і стандартне відхилення\(9\). Нагадаємо, 1 стандартне відхилення від середнього дорівнює\(59 ± 9\), два стандартних відхилення від середнього дорівнює\(59 ± 2 \cdot 9\), а 3 стандартних відхилення від середнього дорівнює\(59 ± 3 \cdot 9\).

    clipboard_e634bf25b62ee508dfce32f906e0147ba.png

    Як тільки ми зробимо цю цифру, ми можемо легко визначити відсоток запитів на заміну лампочки, що нумерує від 59 до 77:

    \(34 \% + 13.5 \% = 47.5 \%\)

    Таким чином,\(47.5 \%\) про заміну лампочки запитів нумерацією від 59 до 77.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Компанія має політику виходу на пенсію фірмових автомобілів; ця політика розглядає кількість пройдених миль, мету поїздок, стиль автомобіля та інші особливості. Розподіл кількості місяців служби для парку автомобілів має колокольчатий характер і має середнє значення 41 місяць і стандартне відхилення в 5 місяців. Використовуючи емпіричне правило, який приблизний відсоток автомобілів, які залишаються в експлуатації між 46 і 56 місяцями?

    Рішення

    Оскільки ми хочемо використовувати емпіричне правило, ми повинні намалювати фігуру, що відображає емпіричне правило, враховуючи середнє значення 41, а стандартне відхилення дорівнює 5:

    clipboard_ecec6a8748e19e47ad4369f12031cb4e3.png

    Як тільки ми зробимо цю цифру, ми можемо легко визначити приблизний відсоток автомобілів, які залишаються в експлуатації між 46 і 56 місяцями:

    \(13.5 \% + 2.35 \% = 15.85 \%\)

    Таким чином,\(15.85 \%\) з автомобілів залишаються в експлуатації між 46 і 56 місяцями.

    Вправи

    1. Який з наступних інтервалів містить середні 95% даних у стандартному нормальному розподілі?

    а)\(z < 2\)

    б)\(z ≤ 1.645\)

    в)\(z ≤ 1.96\)

    г)\(−1.645 ≤ z ≤ 1.645\)

    д)\(−1.96 ≤ z ≤ 1.96\)

    2. Процес виготовлення на заводі металодеталей виробляє деякі незначні зміни в діаметрі металевих кулькових підшипників. Фахівці з контролю якості стверджують, що вироблені підшипники мають середній діаметр 1,4 см. Якщо діаметр більше 0,0035 см занадто широкий або занадто вузький, вони не будуть працювати належним чином. Для того щоб зберегти свою надійну репутацію, компанія бажає стежити за тим, щоб не більше однієї десятої частини 1% виготовлених підшипників були неефективними. Яким буде стандартне відхилення виготовлених підшипників для досягнення цієї мети?

    3. Припустимо, що в обгортці певного моноблока вказана його вага як 2,13 унції. Природно, ваги окремих брусків дещо різняться. Припустимо, що ваги цих батончиків змінюються залежно від нормального розподілу, з\(µ = 2.2\) унціями та\(σ = 0.04\) унціями.

    а) Яка частка батончиків важить менше рекламованої ваги?

    б) Яка частка маси батончиків між 2,2 і 2,3 унції?

    в) Кенді батончик якої ваги буде важче всіх, крім 1% батончиків там?

    г) Якщо виробник хоче скорегувати виробничий процес так, щоб не більше 1 батончика в 1000 важував менше рекламованого ваги, яким має бути середнє значення фактичних ваг? (Припустимо, стандартне відхилення залишається незмінним.)

    д) Якщо виробник хоче скорегувати виробничий процес так, щоб середнє значення залишалося на рівні 2,2 унції і не більше 1 цукерки в 1000 важить менше, ніж рекламований вага, наскільки малим має бути стандартне відхилення ваг?

    4. Компанія Acme виробляє віджети. Розподіл ваг віджетів має дзвоноподібну форму. Ваги віджетів мають середнє значення 51 унції і стандартне відхилення 4 унції. Використовуйте емпіричне правило, щоб відповісти на наступні питання.

    а) 99,7% ваг віджетів лежать між якими двома вагами?

    б) Який відсоток ваг віджета лежить від 43 до 63 унцій?

    в) Який відсоток ваг віджета лежить вище 47?

    Стандартна нормальна площа таблиці під нормальною кривою від 0 до z

    clipboard_ee8d9b2dd27d551a2fe3bc41fe72d9b3c.png
    z 0.00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
    0.00 0,00000 0,00399 0,00798 0.01197 0,01595 0.01994 0.02392 0.02790 0.03188 0.03586
    0,10 0.03983 0.04380 0.04776 0.05172 0.0567 0.05962 0.06356 0.06749 0.07142 0.07535
    0,20 0.07926 0.08317 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0,10257 0.10642 0.11026 0.11409
    0,30 0.11791 0,12172 0.12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,1431 0,14803 0,15173
    0,40 0.15542 0.15910 0,16276 0,1640 0.17003 0,17364 0,1724 0.18082 0,18439 0.18793
    0,50 0.19146 0,19497 0,19847 0.20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240
    0,60 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490
    0,70 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524
    0,80 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,2995 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327
    0,90 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891
    1.00 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214
    1.10 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298
    1.20 0,38493 0,38686 0,38877 0.39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147
    1.30 0,40320 0,40490 0.40658 0,40824 0,40988 0.41149 0,41308 0,41466 0,41621 0,41774
    1.40 0,41924 0,42073 0,42220 0.42364 0,42507 0,42647 0,42785 0,42922 0,43056 0,43189
    1,50 0,43319 0,43448 0,43574 0,43699 0,43822 0,43943 0.44062 0,44179 0,44295 0,44408
    1.60 0,44520 0,44630 0,44738 0,44845 0,44950 0,45053 0,45154 0,45254 0,45352 0,45449
    1,70 0,45543 0,45637 0,45728 0,45818 0,45907 0,45994 0,46080 0,46164 0,46246 0,46327
    1.80 0,46407 0,46485 0,46562 0,46638 0,46712 0,46784 0,46856 0,46926 0,46995 0.47062
    1,90 0,47128 0,47193 0,47257 0,47320 0,47381 0,47441 0,47500 0,47558 0,47615 0,47670
    2.00 0,47725 0,47778 0,47831 0.47882 0,47932 0,47982 0,48030 0,48077 0,48124 0,48169
    2.10 0,48214 0,48257 0,48300 0,48341 0,48382 0,48422 0,48461 0,48 500 0,48537 0,48574
    2.20 0,48610 0,48645 0,48679 0,48713 0,48745 0,48778 0,48809 0,48840 0,48870 0,48899
    2.30 0,48928 0,48956 0,48983 0,49010 0,49036 0,49061 0,49086 0,49111 0,49134 0,49158
    2.40 0,49180 0,49202 0,49224 0,49245 0,49266 0,49286 0,49305 0,49324 0,49343 0,49361
    2.50 0,49379 0,49396 0,49413 0,49430 0,49446 0,49461 0,49477 0,49492 0,49506 0,49520
    2.60 0,49534 0,49547 0,49560 0,49573 0,49585 0,49598 0,49609 0,49621 0,49632 0,49643
    2.70 0,49653 0,49664 0,49674 0,49683 0,49693 0,49702 0,49711 0,49720 0,49728 0,49736
    2.80 0,49744 0,49752 0,49760 0,49767 0,49774 0,49781 0,49788 0,49795 0,49801 0,49807
    2.90 0,49813 0,49819 0,49825 0,49831 0,49836 0,49841 0,49846 0,49851 0,49856 0,49861
    3.00 0,49865 0,49869 0,49874 0,49878 0,49882 0,49886 0,49889 0,49893 0,49896 0,49900
    3.10 0.49903 0,49906 0,49910 0,49913 0,49916 0,49918 0,49921 0,49924 0,49926 0,49929
    3.20 0,49931 0,49934 0,49936 0,49938 0,49940 0,49942 0,49944 0,49946 0,49948 0,49950
    3.30 0,49952 0,49953 0,49955 0,49957 0,49958 0,49960 0,49961 0,49962 0,49964 0,49965
    3.40 0,49966 0,49968 0,49969 0,49970 0,49971 0,49972 0,49973 0,49974 0,49975 0,49976
    3.50 0,49977 0,49978 0,49978 0,49979 0,49980 0,49981 0,49981 0,49982 0,49983 0,49983
    3.60 0,49984 0,49985 0,49985 0,49986 0,49986 0,49987 0,49987 0,49988 0,49988 0,49989
    3.70 0,49989 0,49990 0,49990 0,49990 0,49991 0,49991 0,49992 0,49992 0,49992 0,49992
    3.80 0,49993 0,49993 0,49993 0,49994 0,49994 0,49994 0,49994 0,49995 0,49995 0,49995
    3.90 0,49995 0,49995 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49996 0,49997 0,49997
    4.00 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49997 0,49998 0,49998 0,49998 0,49998