6.3: Об'єм геометричних твердих тіл

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66423

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте геометричні тіла.
Знайти об'єм геометричних твердих тіл.
Знайти об'єм складеного геометричного твердого тіла.

Вступ

Жити в двовимірному світі було б досить нудно. На щастя, всі фізичні об'єкти, які ви бачите і використовуєте щодня - комп'ютери, телефони, автомобілі, взуття - існують у трьох вимірах. Всі вони мають довжину, ширину і висоту. (Навіть дуже тонкі предмети, як аркуш паперу, тривимірні. Товщина аркуша паперу може становити частку міліметра, але вона існує.)

У світі геометрії прийнято бачити тривимірні фігури. У математиці плоска сторона об'ємної фігури називається обличчям. Багатогранники - це форми, які мають чотири або більше граней, кожна з яких є багатокутником. До них відносяться і кубики, і призми, і піраміди. Іноді ви навіть можете побачити поодинокі фігури, які є композитами двох цих фігур. Давайте розглянемо деякі поширені багатогранники.

Визначення твердих тіл

Перший набір твердих тіл містить прямокутні підстави. Погляньте на таблицю нижче, де показана кожна фігура як в твердій, так і в прозорому вигляді.

Ім'я	Визначення	Тверда форма	Прозора форма
Куб	Шестигранний багатогранник, який має конгруентні квадрати як грані.	$clipboard_e225881b438db4ecf6b003f26e618cff3.png$	$clipboard_e6ed907c23a2ed3217441eab4bc15e5a7.png$
Прямокутна призма	Багатогранник, який має три пари конгруентних, прямокутних, паралельних граней.	$clipboard_e9dbbb9a9a8f377a9a8cc93a696f291e2.png$	$clipboard_e470e718cdc8c0e59d200bfeaf62c1770.png$
Піраміда	Багатогранник з багатокутною основою і сукупністю трикутних граней, які зустрічаються в точці.	$clipboard_e6b058e3c3daf484d9b198b5fbae23cee.png$	$clipboard_e898a39a19a8fb7c8afbd30895f9e17f2.png$

Зверніть увагу на різні назви, які використовуються для цих цифр. Куб відрізняється від квадрата, хоча їх іноді плутають один з одним - куб має три виміри, тоді як квадрат має лише два. Так само ви б описали взуттєву коробку як прямокутну призму (не просто прямокутник), а стародавні піраміди Єгипту, а... ну, як піраміди (не трикутники).

У цьому наступному наборі твердих тіл кожна фігура має круглу основу.

Ім'я	Визначення	Тверда форма	Прозора форма
Циліндр	Тверда фігура з парою круглих паралельних підстав і круглим гладким обличчям між ними.	$clipboard_eec98fb61f9af0a10734644649685e8de.png$	$clipboard_ea6485c0a4c2eaacda9740cb92bcd41dd.png$
Конус	Тверда фігура з єдиною круглою основою та круглим гладким обличчям, яке зменшується до однієї точки.	$clipboard_eae112320ec9d8be4cefba631f5ce4644.png$	$clipboard_ee55d8d9244e50706e72493b2e2dfc9c8.png$

Знайдіть хвилинку, щоб порівняти піраміду і конус. Зверніть увагу, що піраміда має прямокутну основу і плоскі трикутні грані; конус має круглу основу і гладке округле тіло.

Нарешті, давайте розглянемо унікальну форму: сферу.

Ім'я	Визначення	Тверда форма	Прозора форма
Сфера	Тверда кругла фігура, де кожна точка на поверхні знаходиться на однаковій відстані від центру.	$clipboard_eb7348e12f04cc63cf41e53752e3f359c.png$	$clipboard_efbb88b3e293520d78e8e9acf8bd5b802.png$

Навколо вас багато сферичних об'єктів - футбольні м'ячі, тенісні м'ячі та бейсбольні м'ячі, які є трьома загальними предметами. Хоча вони можуть бути не ідеально сферичними, їх зазвичай називають сферами.

Приклад$\PageIndex{1}$

Тривимірна фігура має такі властивості:

Має прямокутну основу.
Має чотири трикутні грані.

Що це за тверда речовина?

Рішення

Прямокутна основа вказує на те, що це повинен бути куб, прямокутна призма або піраміда.

$clipboard_e9c2230051ade57107d42bf26da5b63ef.png$

Так як грані трикутні, це повинна бути піраміда.

$clipboard_e894fb3858e172da03eacbeb6d1dc10ab.png$

Відповідь: Тверда речовина - це піраміда.

Обсяг

Нагадаємо, що периметр вимірює один вимір (довжину), а площа вимірює два виміри (довжину і ширину). Щоб виміряти обсяг простору, який займає тривимірна фігура, використовується інше вимірювання, яке називається об'ємом.

Щоб візуалізувати, що вимірює «обсяг», озирніться назад на прозоре зображення прямокутної призми, згаданої раніше (або просто подумайте про порожню взуттєву коробку). Уявіть, як укладають однакові кубики всередині цієї коробки так, щоб між будь-яким з кубиків не було зазорів. Уявіть, що таким чином заповнюєте всю коробку. Якби ви порахували кількість кубиків, які поміщаються всередині цієї прямокутної призми, ви б мали її обсяг.

$clipboard_e4b1f1f400830085a1f317c250b539518.png$

Обсяг вимірюється в кубічних одиницях. Взуттєва скринька, проілюстрована вище, може вимірюватися в кубічних дюймах (зазвичай представлена як$\text{in}^3$ або$\text{inches}^3$), тоді як Велика піраміда Єгипту доцільніше вимірюється в кубічних метрах ($\text{m}^3$або$\text{meters}^3$).

Щоб знайти об'єм геометричного твердого тіла, можна було створити прозорий варіант твердого тіла, створити зв'язку з кубиків 1x1x1, а потім акуратно укласти їх всередину. Однак це займе багато часу! Набагато простіший спосіб знайти обсяг - ознайомитись з деякими геометричними формулами та використовувати їх замість них.

Давайте ще раз пройдемося по геометричним твердим тілам і перерахуємо формулу об'єму для кожного.

Переглядаючи список нижче, ви можете помітити, що деякі формули об'єму виглядають подібно до їх формул площі. Щоб знайти об'єм прямокутної призми, ви знайдете площу основи, а потім помножте її на висоту.

Ім'я	Прозора форма	Формула гучності
Куб	$clipboard_e6ed98a1ec1dc95a879a6fddd3b0a0443.png$	$V a \cdot a \cdot a = a^3$ $a$= довжина однієї сторони
Прямокутна призма	$clipboard_e25e09b5b85bcd3a6443b94f681203adb.png$	$V = l \cdot w \cdot h$ $l$= довжина $w$= ширина $h$= висота
Піраміда	$clipboard_e2264021b0bc84201ed5cf06892e143e6.png$	$V = \dfrac{l \cdot w \cdot h}{3}$ $l$= довжина $w$= ширина $h$= висота

Пам'ятайте, що всі кубики є прямокутними призмами, тому формула знаходження обсягу куба - це площа основи куба, кратна висоті.

Тепер давайте розглянемо тверді речовини, які мають круглу основу.

Ім'я

Прозора форма

Формула гучності

Циліндр

$clipboard_e96b5ca11b4a4dd5cc0c267cf2bfdaa70.png$

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

$r$= радіус

$h$= висота

Конус

$clipboard_ed0cc77e4d6c7cbe9cb87a1a6b1832af3.png$

$V = \dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}$

$r$= радіус

$h$= висота

Тут ви$\pi$ знову бачите номер.

Обсяг циліндра - це площа його основи$\pi r^2$, в рази його висота,$h$.

Порівняйте формулу об'єму конуса ($V = \dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}$) з формулою об'єму піраміди ($V = \dfrac{l \cdot w \cdot h}{3}$). Чисельник формули конуса - це формула об'єму для циліндра, а чисельник формули піраміди - формула об'єму прямокутної призми. Потім розділіть кожну на 3, щоб знайти обсяг конуса і піраміди. Пошук закономірностей та подібностей у формулах може допомогти вам згадати, яка формула відноситься до даного твердого тіла.

Нарешті, формула для сфери наведена нижче. Зверніть увагу, що радіус кубічний, а не квадрат і що кількість$\pi r^3$ множиться на$\dfrac{4}{3}$.

Ім'я

Каркасна форма

Формула гучності

Сфера

$clipboard_e29828a88228afda41785f730489daec8.png$

$V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$

$r$= радіус

Застосовуючи формули Ви знаєте, як ідентифікувати тверді речовини, а також знаєте формули об'єму для цих твердих тіл. Щоб розрахувати фактичний обсяг заданої форми, все, що вам потрібно зробити, це підставити розміри твердого тіла в формулу і розрахувати.

У наведених нижче прикладах зверніть увагу, що використовуються кубічні одиниці ($\text{meters}^3$$\text{inches}^3$,,$\text{feet }^3$).

Приклад$\PageIndex{2}$

Знайдіть обсяг куба з довжиною сторін 6 метрів.

Рішення

Визначте правильну формулу для використання. $a$= довжина сторони

$V = a \cdot a \cdot a = a^3$

$a = 6$Підставляємо в формулу.

$V = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$

Розрахуйте обсяг.

$6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Нагадаємо, використовуємо кубічні одиниці з об'ємом.

Відповідь: Обсяг =$216 \text{ meters}^3$

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайдіть обсяг фігури, показаної нижче.

$clipboard_ee404233dc4e707fb1191005e77e385b9.png$

Рішення

Визначте форму. Він має прямокутну основу і піднімається до точки, тому є пірамідою.

Визначте правильну формулу для використання. $l$= довжина,$w$ = ширина, і$h$ = висота

$V = \dfrac{l \cdot w \cdot h}{3}$

Використовуйте зображення для ідентифікації розмірів. $4$= довжина$3$ = ширина$8$ = висота. Потім підставляємо в формулу$l$$w$ = 4,$h$ = 3, і = 8.

$V = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 8}{3}$

Розрахуйте обсяг.

$V = \dfrac{96}{3}$

$= 32$

Відповідь: Обсяг піраміди дорівнює$32 \text{ inches}^3$

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть обсяг фігури, показаної нижче. Використовуйте$3.14$ для$\pi$, і округляйте відповідь до сотих.

$clipboard_e905a6d40e0b2d9f835ba7e815a0c4ef6.png$

Рішення

Визначте форму. Він має круглу основу і має рівномірну товщину (або висоту), тому являє собою циліндр.

Визначте правильну формулу для використання.

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Використовуйте зображення для ідентифікації розмірів. Потім$h = 1$ підставляємо$r = 7$ і в формулу.

$V = \pi \cdot 7^2 \cdot 1$

Обчисліть обсяг, використовуючи в$3.14$ якості наближення для$\pi$.

$V = \pi \cdot 7^2 \cdot 1$

$= 49 \pi$

$≈ 153.86$

Відповідь: Обсяг дорівнює$49 \pi$ або приблизно$153.86 \text{ feet}^3$.

Спробуйте зараз 1

Знайдіть об'єм прямокутної призми довжиною 8 дюймів, шириною 3 дюйма та висотою 10 дюймів.

Композитні тверді тіла

Композитні геометричні тверді тіла виготовляються з двох або більше геометричних твердих тіл. Ви також можете знайти об'єм цих твердих тіл, якщо ви можете з'ясувати окремі тверді тіла, що складають композитну форму.

Подивіться на зображення капсули нижче. Кожен кінець - це напівсфера. Знайти обсяг твердого тіла можна, розібравши його на частини. Які тверді речовини ви можете порушити цю форму?

$clipboard_ebe96dd1c10187389fc3d1d6a3f88b828.png$

Можна розбити його на циліндр і дві півкулі.

$clipboard_ef8ad539fb32500b4eaa9befd635866f1.png$

Дві півкулі утворюють ціле, тому якщо знати формули об'єму для циліндра і сфери, можна знайти обсяг цієї капсули.

Приклад$\PageIndex{5}$

Якщо радіус сферичних кінців становить 6 дюймів, знайдіть обсяг твердого тіла нижче. Використовувати$3.14$ для$\pi$. Округлити остаточну відповідь до найближчого цілого числа.

$clipboard_e86779794caaa4e3e09cd4ddbaa6ebdd4.png$

Рішення

Визначте складові тверді тіла. Цю капсулу можна розглядати як циліндр з напівсферою на кожному кінці.

$clipboard_e2c1e3a48485ab5877ca5d46e494b1322.png$

Визначте правильні формули для використання.

$\text{Volume of a cylinder: } \pi \cdot r^2 \cdot h$

$\text{Volume of a sphere: } \dfrac{4}{3} \pi r^3$

Підставте розміри в формули.

$\text{Volume of a cylinder: } \pi \cdot 6^2 \cdot 24$

$\text{Volume of a sphere: } \dfrac{4}{3} \pi \cdot 6^3$

Висота циліндра відноситься до перерізу між двома круговими основами. Цей вимір дається як 24 дюйми, так$h$ = 24. Радіус сфери - 6 дюймів. Ви можете використовувати$r$ = 6 в обох формулах.

$\text{Volume of a cylinder: } \pi \cdot 36 \cdot 24$

$= 864 \cdot \pi$

$≈ 2712.96$

Обчисліть обсяг циліндра і сфери.

$\text{Volume of a sphere: } \dfrac{4}{3} \pi \cdot 216$

$= 288 \cdot \pi$

$≈ 904.32$

Додайте обсяги.

$\text{Volume of capsule: } 2712.96 + 904.32 ≈ 3617.28 $

Відповідь: Обсяг капсули дорівнює$1152 \pi$ або приблизно$3617 \text{ inches}^3$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Скульптор вирізає прямокутну призму з цільного шматка дерева. Потім нагорі вона видовбає перевернуту піраміду. Тверде тіло, і його розміри, показані праворуч. Який обсяг готового шматка?

$clipboard_ebc25bb8b2530c3626ef3913029ea11dc.png$

Рішення

Визначте складові тверді тіла. Цю скульптуру можна розглядати як прямокутну призму зі знятою пірамідою.

Визначте правильні формули для використання.

$\text{Volume of rectangular prism: } l \cdot w \cdot h$

$\text{Volume of pyramid: } \dfrac{l \cdot w \cdot h}{3}$

Підставте розміри в формули, і розрахуйте.

$\text{Volume of rectangular prism: } 1 \cdot 1 \cdot 8 = 8$

$\text{Volume of pyramid: } \dfrac{1 \cdot 1 \cdot 2}{3} = \dfrac{2}{3}$

Відніміть обсяг піраміди від обсягу прямокутної призми.

$\text{Volume of sculpture: } V = 8 - \dfrac{2}{3} $

$= 7\dfrac{1}{3}$

Відповідь: Обсяг скульптури є$7\dfrac{1}{3} \text{ feet}^3$.

Спробуйте зараз 2

Машина бере суцільний циліндр висотою 9 мм і діаметром 7 мм і просвердлює отвір через нього. Отвір, яке він створює, має діаметр 3 мм. Який з наступних виразів правильно знаходить об'єм твердого тіла?

$clipboard_ec3658031a6bf6ee8eaa813433d02c5ac.png$

А)$(\pi \cdot 7^2 \cdot 9) - (\pi \cdot 3^2 \cdot 9) $

Б)$(\pi \cdot 3.5^2 \cdot 9) - (\pi \cdot 1.5^2 \cdot 9) $

C)$(\pi \cdot 7^2 \cdot 9) + (\pi \cdot 3^2 \cdot 9) $

Г)$(\pi \cdot 3.5^2 \cdot 9) + (\pi \cdot 1.5^2 \cdot 9) $

Резюме

Тривимірні тверді тіла мають довжину, ширину та висоту. Ви використовуєте вимірювання, яке називається об'ємом, щоб з'ясувати кількість простору, яке займають ці тверді тіла. Щоб знайти обсяг конкретного геометричного твердого тіла, можна використовувати формулу об'єму, специфічну для цього твердого тіла. Іноді ви зіткнетеся з композитними геометричними твердими частинами. Це тверді речовини, які поєднують в собі два або більше основних твердих речовин. Щоб знайти їх об'єм, визначте простіші тверді речовини, що складають складену фігуру, знайдіть обсяги цих твердих тіл та об'єднайте їх у міру необхідності.

Примітка

1. $240 \text{ inches}^3 $; щоб знайти об'єм прямокутної призми, скористайтеся формулою$V = l \cdot w \cdot h$, а потім підставляйте значення довжини, ширини та висоти. $8 \text{ inches} \cdot 3 \text{ inches} \cdot 10 \text{ inches} = 240 \text{ inches}^3$.

2. Б)$(\pi \cdot 3.5^2 \cdot 9) - (\pi \cdot 1.5^2 \cdot 9) $; ви знаходите обсяг всього циліндра множенням$\pi \cdot 3.5^2 \cdot 9$, потім віднімаєте порожній циліндр посередині, який знаходять множенням$\pi \cdot 1.5^2 \cdot 9$.

Глосарій

гострий трикутник	Кут вимірювання менше 90º.
кут	Фігура, утворена з'єднанням двох променів із загальною кінцевою точкою.
площа	Обсяг простору всередині двомірної форми, вимірюється в квадратних одиницях.
окружність	Відстань по колу, обчислюється за формулою$C = \pi d$.
взаємодоповнюючі кути	Два кути, вимірювання яких складають до 90º.
конус	Тверда фігура з єдиною круглою основою та круглим гладким обличчям, яке зменшується до однієї точки.
конгруентний	Маючи однаковий розмір і форму.
відповідні кути	Кути окремих фігур, які знаходяться в одному положенні всередині кожної фігури.
відповідні сторони	Сторони окремих фігур, які протилежні відповідним кутам.
куб	Шестигранний багатогранник, який має конгруентні квадрати як грані.
циліндр	Тверда фігура з парою круглих паралельних підстав і круглим гладким обличчям між ними.
діаметр	Довжина по колу, що проходить через центр кола. Діаметр дорівнює довжині двох радіусів.
рівносторонній трикутник	Трикутник з 3 рівними сторонами. Рівносторонні трикутники також мають три кути, які вимірюють однакові.
обличчя	Плоска поверхня твердої фігури.
гіпотенуза	Сторона, протилежна прямому куту в будь-який прямокутний трикутник. Гіпотенуза - найдовша сторона будь-якого прямокутного трикутника.
рівнобедрений трапеції	Трапеція з однією парою паралельних сторін і іншою парою протилежних сторін, які є конгруентними.
рівнобедрений трикутник	Трикутник з 2 рівними сторонами і 2 рівними кутами.
нога, ноги	У прямокутному трикутнику одна з двох сторін створює прямий кут.
лінія	Лінія - це одновимірна фігура, яка без кінця тягнеться в двох напрямках.
відрізок лінії	Кінцевий відрізок прямої між будь-якими двома точками, які лежать на лінії.
тупий кут, тупі кути	Кут вимірювання більше 90º і менше 180º.
тупий трикутник	Трикутник з одним кутом, який вимірює від 90º до 180º.
паралельні лінії	Дві або більше ліній, які лежать в одній площині, але які ніколи не перетинаються.
паралелограм, паралелограми	Чотирикутник з двома парами паралельних сторін.
периметр	Відстань навколо двомірної форми.
перпендикулярні лінії	Дві лінії, які лежать в одній площині і перетинаються під кутом 90º.
пі	Відношення окружності кола до його діаметра. Пі позначається грецькою літерою$\pi$. Його часто наближають як$3.14$ або$\dfrac{22}{7}$.
літак	У геометрії двовимірна поверхня, яка триває нескінченно. Будь-які три окремі точки, які не лежать на одній лінії, лежать точно на одній площині.
точка	Нульовий вимірний об'єкт, який визначає певне місце на площині. Він представлений маленькою крапкою.
багатокутник, багатокутники	Закрита плоска фігура з трьома і більше прямими сторонами.
багатогранник, багатогранники	Тверда речовина, гранями якої є багатокутники.
піраміди, піраміди	Багатогранник з багатокутною основою і сукупністю трикутних граней, які зустрічаються в точці.
Теорема Піфагора	Формула, яка пов'язує довжини сторін будь-якого прямокутного трикутника:$a^2 + b^2 + c^2$, де$c$ - гіпотенуза,$a$ і$b$ - катети прямокутного трикутника.
чотирикутник, чотирикутник	Чотиристоронній багатокутник.
радіус	Відстань від центру кола до будь-якої точки на колі.
промінь	Половина лінії, яка починається в одній точці і йде вічно в одному напрямку.
прямокутник	Чотирикутник з двома парами паралельних сторін і чотирма прямими кутами.
прямокутна призма	Багатогранник, який має три пари конгруентних, прямокутних, паралельних граней.
ромб	Чотирикутник з чотирма конгруентними сторонами.
прямий кут	Кут вимірювання рівно 90º.
прямокутний трикутник, прямі трикутники	Трикутник, що містить прямий кут.
сходовий трикутник	Трикутник, в якому всі три сторони мають різну довжину.
аналогічні	Маючи однакову форму, але не обов'язково однакового розміру.
сфера	Тверда кругла фігура, де кожна точка на поверхні знаходиться на однаковій відстані від центру.
квадрат	Чотирикутник, сторони якого всі конгруентні і який має чотири прямі кути.
прямий кут	Кут, що вимірює рівно 180º.
додаткові кути	Два кути, вимірювання яких складають до 180º.
трапеція	Чотирикутник з однією парою паралельних сторін.
трикутник	Багатокутник з трьома сторонами.
вершина	Поворотний момент у графіку. Також кінцева точка двох променів, які утворюють кут.
обсяг	Вимірювання того, скільки потрібно, щоб заповнити тривимірну фігуру. Обсяг вимірюється в кубічних одиницях.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Рішення

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Рішення

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Рішення

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Рішення

Спробуйте зараз 1

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Рішення

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Рішення

Спробуйте зараз 2

Примітка