Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.2: Союз, перетин та доповнення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66367

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Зазвичай множини взаємодіють. Наприклад, ви і новий сусід по кімнаті вирішуєте влаштувати домашню вечірку, і ви обидва запрошуєте своє коло друзів. На цій вечірці поєднуються два набори, хоча може виявитися, що є деякі друзі, які були в обох сетах.

    Визначення: Союз, перетин та доповнення

    Об'єднання двох множин містить всі елементи, що містяться в будь-якому множині (або обох множинок). Союз нотується\(A ⋃ B\). Більш формально,\(x ∊ A ⋃ B\;\) якщо\(\;x ∊ A\) або\(x ∊ B\) (або обидва).

    Перетин двох множин містить тільки ті елементи, які є в обох множинок. Перехрестя позначено\(A ⋂ B\). Більш формально,\(x ∊ A ⋂ B\;\) якщо\(\;x ∊ A\) і\(x ∊ B\).

    Доповнення набору\(A\) містить все, чого немає в наборі\(A\). Доповнення позначено\(A’\)\(A^c\), або, іноді\(A\),

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Розглянемо набори:\(A\) = {червоний, зелений, синій}\(B\) = {червоний, жовтий, помаранчевий}\(C\) = {червоний, помаранчевий, жовтий, зелений, синій, фіолетовий}

    Рішення
    1. Знайти\(A ⋃ B\) Об'єднання містить всі елементи в будь-якому наборі:\(A ⋃ B\) = {червоний, зелений, синій, жовтий, помаранчевий} Зверніть увагу, що ми перераховуємо червоний лише один раз.
    2. Знайти\(A ⋂ B\) Перетин містить всі елементи обох множин:\(A ⋂ B\) = {red}
    3. Знайти\(A^c ⋂ C\) тут ми шукаємо всі елементи, які не знаходяться в комплекті\(A\) і також знаходяться в\(C\). \(A^c ⋂ C\)= {помаранчевий, жовтий, фіолетовий}

    Спробуйте зараз 2

    Використовуючи набори з попереднього прикладу, знайдіть\(A ⋃ C\) і\(B^c ⋂ A\).

    Зверніть увагу, що в наведеному вище прикладі важко було б просто попросити\(A^c\), оскільки все, від кольорової фуксії до цуценят та арахісового масла, входить в доповнення набору. З цієї причини доповнення зазвичай використовуються лише з перехрестями або коли у нас є універсальний набір на місці.

    Визначення: Універсальний набір

    Універсальний набір - це набір, який містить всі цікавлять нас елементи. Це повинно бути визначено контекстом.

    Доповнення є відносно універсального набору, тому\(A^c\) містить всі елементи в універсальному наборі, яких немає в\(A\).

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    1. Якби ми обговорювали пошук книг, універсальним набором могли б стати всі книги в бібліотеці.
    2. Якби ми групували ваших друзів у Facebook, універсальним набором були б усі ваші друзі Facebook.
    3. Якщо ви працювали з наборами чисел, універсальним набором можуть бути всі цілі числа, всі цілі числа або всі дійсні числа

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Припустимо, універсальний набір дорівнює\(U\) = всі цілі числа від 1 до 9. Якщо\(A\) = {1, 2, 4}, то\(A^c\) = {3, 5, 6, 7, 8, 9}.

    Як ми бачили раніше з виразом\(A^c ⋂ C\), операції набору можна згрупувати разом. Символи групування можна використовувати так, як вони з арифметикою - для примусового порядку операцій.

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Припустимо, H = {кішка, собака, кролик, миша}, F = {собака, корова, качка, свиня, кролик} W = {качка, кролик, олень, жаба, миша}

    1. Знайти\((H ⋂ F) ⋃ W\)
    2. Знайти\(H ⋂ (F ⋃ W)\)
    3. Знайти\((H ⋂ F)^c ⋂ W\)
    Рішення

    а) Починаємо з перетину:\(H ⋂ F\) = {собака, кролик}

    Тепер ми об'єднуємо цей результат з\(W\):\((H ⋂ F) ⋃ W\) = {собака, качка, кролик, олень, жаба, миша}

    б) Починаємо з союзу:\(F ⋃ W\) = {собака, корова, кролик, качка, свиня, олень, жаба, миша}

    Тепер ми перетинаємо цей результат з\(H\):\(H ⋂ (F ⋃ W)\) = {собака, кролик, миша}

    в) Починаємо з перетину:\(H ⋂ F\) = {собака, кролик}

    Тепер ми хочемо знайти елементи\(W\), яких немає в\(H ⋂ F\).

    \((H ⋂ F) c ⋂ W\)= {качка, олень, жаба, миша}