2.6: Додавання та віднімання з іншими основами

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66291

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Додавання в інших базах

Як ми бачили в попередньому розділі з системою числення майя, ми можемо додавати або віднімати в інших базах. Нижче наведено ряд кроків, але, загалом, ми додаємо, як завжди, знаходячи його еквівалентне число від бази 10 до нової бази.

Додавання в базу b

Перепишіть додаток вертикально, якщо ще немає.
Почніть з тих місць (як зазвичай), але знайдіть число, яке сума представляє в основі b.
Якщо сума більше підстави b, то перенесіть на значення b ¹ місця.
Повторіть кроки 2 і 3 для значень b ², b ³,... місце.

Приклад$\PageIndex{1}$

Додайте в базові два: 111 _два + 11 _два

Рішення

Записуючи це вертикально, отримуємо

$ 111_{two} $

$\\ + \underline{11_{two}} $

Давайте додамо ті місця, як зазвичай. Якби ми були в базі 10, 1+1=2; 2 в базі 10 еквівалентно 0 в базі 2, і ми переносимо 1 на місце 2. Нагадаємо, база два є {0,1}. Отже, одне місце дорівнює 0:

$ 11^{+1}1_{two} $

$\\ + \underline{ 1 \;\;\; 1_{two}} $

$\; 1 \;\; 0_{two} $

Додавання на місці 2, 1+1+1=3 в базі 10, але 3 є 1 в базі 2, і ми переносимо 1 на місце ^{2 2}:

$ 1^{+1}11_{two} $

$ + \underline{\;\;\;11_{two}} $

$ 0 \;\;\; 10_{two} $

Додавши в ² місце, ми отримуємо 1+1=2 в базі 10, але 2 в базі 10 дорівнює 0 в базі 2, і ми переносимо 1 на місце 2 ³:

$ +1\;1\;11_{two} $

$ + \underline{\;\;\;\;\;11_{two}} $

$ 1 \;\;\; 010_{two} $

Отже, 111 _два + 11 _два = 1010 _два. Зверніть увагу, ще один спосіб зробити це - перетворити кожне число в базу 10 і додати, як зазвичай, а потім перетворити результат назад в базу 2.

Приклад$\PageIndex{2}$

Додати в базову п'ятірку: 44 _п'ять + 42 _п'ять

Рішення

Давайте спробуємо це, перетворивши кожне число в базу 10, додавши їх, а потім конвертуємо суму назад в базу 5:

44 _п'ять = 4 (5) + 4 (1) = 24 _десять

42 _п'ять = 4 (5) + 2 (1) = 22 _десять

Далі складаємо базові 10 чисел:

24 + 22 = 46 _десять

Перетворюючи 46 в базовій десятці в число в базі 5, ми використовуємо техніку попередніх розділів і отримуємо 141 _п'ять. Таким чином, 46 в базі 10 еквівалентно 141 в базі 5.

Віднімання в інших базах

Віднімання в базі b

Перепишіть віднімання вертикально, якщо ще немає.

Почніть з тих місць (як зазвичай), але знайдіть число, яке представляє різниця в базі b.

Якщо ті місця мінуенда менше, ніж ті місця віднімання, то запозичити від значення місця ліворуч в цій основі b. Потім відніміть, як зазвичай.

Повторіть кроки 2 і 3 для значень місця b ², b ³.

Приклад$\PageIndex{3}$

Відніміть в базі 5:240 _п'ять - 40 _п'ять

Рішення

$ 240_{five} $

$- \underline{40_{five}} $

Якщо взяти ті місця, 0-0 =0, що дорівнює 0 в базі 5, то ті місце залишається 0.

$ 240_{five} $

$- \underline{40_{five}} $

$ 0$

Тепер займемо 5 місце: 4-4=0. Оскільки 0 знаходиться в базі 5, то місце 5 дорівнює 0.

$ 240_{five} $

$- \underline{40_{five}} $

$ 00\;$

Давайте подивимося на 5 ² місце. Зверніть увагу, ми можемо просто опустити два вниз і отримати

$ 240_{five} $

$- \underline{40_{five}} $

$ 200_{5}\;\;$

Таким чином, 240 _п'ять - 40 _п'ять = 200 _п'ять.

Що робити, якщо нам доведеться позичити? Ми можемо відняти з запозиченням легко в базі 10, але що робити, якщо ми хотіли відняти два числа, які включали запозичення? Давайте подивимося.

Приклад$\PageIndex{4}$

Відніміть в базі 5:404 _п'ять - 323 _п'ять

Рішення

Переписуючи це вертикально, отримуємо

$ 404_{five} $

$- \underline{323_{five}} $

Віднімаючи в одному місці, отримуємо 4-3=1. Так як 1 знаходиться в базі 5, то ті місце - 1.

$\; 404_{five} $

$- \underline{323_{five}} $

$ 1$

Дивлячись на 5 місце, зверніть увагу, що 0 менше, ніж 2, і ми повинні позичити з місця 52. Нагадаємо, ми знаходимося в базі 5, тому, коли ми позичаємо, ми все ще зменшуємо 4 до 3, але ми несемо 5, так як ми знаходимося в базі 5:

$\; 4^3 0^5 4_{five} $

$- \underline{3\;2\;3_{five}} $

$ 0\;3\;1_{five}$

Тепер віднімаємо як зазвичай: 5-2 = 3. Оскільки 3 знаходиться в базі 5, то місце 5 - 3. Віднімаючи на місці 5 ², ми отримуємо 3-3=0; отже, місце 5 ² дорівнює 0.

Таким чином, 404 _п'ять - 323 _п'ять = 31 _п'ять.

Висновок

У цьому розділі ми коротко накидали розвиток чисел і нашу систему підрахунку, з акцентом на «коротку» частину. Існують численні джерела інформації та досліджень, які заповнюють багато томів книг на цю тему. На жаль, ми не можемо почати наближатися до висвітлення всієї інформації, яка там є.

Ми лише подряпали поверхню багатства досліджень та інформації, яка існує щодо розвитку чисел та підрахунку протягом усієї історії людства. Важливо відзначити, що система, яку ми використовуємо щодня, є продуктом тисячолітнього прогресу і розвитку. Він являє собою внески багатьох цивілізацій і культур. Вона не сходить до нас з неба, дар від богів. Це не створення видавця підручника. Це дійсно так само людське, як і ми, як і решта математики. За кожним символом, формулою та правилом є людське обличчя, яке можна знайти або, принаймні, шукати.

Крім того, ми сподіваємось, що тепер ви маєте базову оцінку того, наскільки цікаві та різноманітні системи числення можуть отримати. Крім того, ми впевнені, що ви також почали визнавати, що ми сприймаємо нашу власну систему числення як належне, що коли ми намагаємося адаптуватися до інших систем або баз, ми виявляємо, що дійсно повинні зосередитися і думати про те, що відбувається.

Спробуйте зараз Відповіді

1. 1+6×3+3×6+2×12 = 61 кішка.

2. Зліва направо:

Шнур 1 = 2,162

Шнур 2 = 301

Шнур 3 = 0

Шнур 4 = 2,070

3. 41065 ₇ = 9994 ₁₀

4. 143 ₁₀ = 1033 ₅

5. 21021 ₃ = 196 ₁₀

6. 657 ₁₀ = 22101 ₄

7 8377 ₁₀ = 20271 ₈

8. 9352 ₁₀ = 244402 ₅

9. 1500 ₁₀ = 200120 ₃

10. 1562

11. 10553 ₁₀ = 1,6,7,13 ₂₀

$clipboard_e7548f62e1f32a2979fb187c315bc3ec3.png$

12. 5617 ₁₀ = 14,0,17 ₂₀. Зверніть увагу, що в 20-х місцях є нуль, тому вам потрібно буде використовувати відповідний нульовий символ між тими і 400-х місцями.

$clipboard_e89e7512138970320ff474a9ab55c0cfe.png$

13. Показаний зразок розчину.

$clipboard_e04e15dbab44baaee8c71766372f8b564.png$

Додавання в базу b

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Рішення

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Рішення

Віднімання в базі b

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Рішення

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Рішення

Спробуйте зараз Відповіді