2.5: Система числення майя

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66300

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Фон

$clipboard_e03b37ee92d0686e8debd30e784a5cccf.png$ Як ви могли собі уявити, розробка базової системи є важливим кроком у тому, щоб зробити процес підрахунку більш ефективним. Наша власна система base-ten напевно виникла через те, що у нас 10 пальців (включаючи великі пальці) на двох руках. Це природний розвиток. Однак інші цивілізації мали різні бази, крім десяти. Наприклад, вихідці з Квінсленда використовували систему base−two, розраховуючи наступним чином: «один, два, два і один, два, багато». Деякі сучасні південноамериканські племена мають базово-п'ятіркову систему підрахунку таким чином: «один, два, три, чотири, рука, рука і одна, рука і два» і так далі. Вавилоняни використовували систему база-60 (сексигезімальна). У цьому розділі ми завершуємо конкретний приклад цивілізації, яка фактично використовувала базову систему, відмінну від 10.

Цивілізація майя, як правило, датується 1500 до н.е. до 1700 н.е. півострів Юкатан (див. карту [31]) в Мексиці став ареною для розвитку однієї з найпередовіших цивілізацій стародавнього світу. Майя мали складну ритуальну систему, яку контролював клас священиків. Цей клас священиків розвивав філософію з часом як божественну і вічну [32]. Календар, і розрахунки, пов'язані з ним, були, таким чином, дуже важливі для ритуального життя священицького класу, а значить і народу майя. Насправді багато з того, що ми знаємо про цю культуру, походить від їх календарних записів та астрономічних даних. Ще одним важливим джерелом інформації про майя є праці батька Дієго де Ланда, який поїхав до Мексики місіонером в 1549 році.

Існували дві системи числення, розроблені майя - одна для простого народу і одна для священиків. Ці дві системи не тільки використовували різні символи, але й використовували різні базові системи. Для священиків система числення регулювалася ритуалом. Дні року вважалися богами, тому формальними символами для днів прикрашалися голови [33], як зразок зліва [34] Оскільки основний календар був заснований на 360 днів, священницька система числення використовувала змішану базову систему, що використовує кратні 20 і 360. Це робить для заплутаної системи, подробиці якої ми будемо пропускати.

Система числення майя

Замість цього ми зупинимося на системі числення «простих» людей, яка використовувала більш послідовну базову систему. Як ми вже заявляли раніше, майя використовували систему base−20, яка називається «vigesimal» системою. Як і наша система, вона є позиційною, тобто позиція числового символу вказує на його місце значення. У наступній таблиці ви можете побачити значення місця у вертикальному форматі [35].

Повноваження	Значення «База−десять»	Назва місця
20 ⁷	12 800 000 000	Хаблат
20 ⁶	64 000 000	Алау
20 ⁵	3 200 000	Кінчіл
20 ⁴	160 000	Кабала
20 ³	8 000	Пік
20 ²	400	Бак
20 ¹	20	Кал
20 ⁰	1	Гун

Для того, щоб записати цифри, в цій системі було потрібно всього три символу. Горизонтальна смуга представляла кількість 5, крапка представляла кількість 1, а спеціальний символ (вважається оболонкою) представляв нуль. Система майя, можливо, була першою, хто використав нуль як заповнювач/число. Перші 20 чисел наведені в таблиці праворуч [36].

$clipboard_ed3c8bca0f0a31881ec207d63705c2ad9.png$ На відміну від нашої системи, де ті місця починаються праворуч, а потім рухаються вліво, системи майя розміщують ті, що знаходяться внизу вертикальної орієнтації і рухається вгору, коли значення місця збільшується.

Коли числа записуються у вертикальній формі, ніколи не повинно бути більше чотирьох точок в одному місці. При написанні чисел майя кожна група з п'яти точок стає однією смугою. Крім того, ніколи не повинно бути більше трьох барів в одному місці... чотири бари будуть перетворені на одну точку в наступному місці вгору. Це те ж саме, що 10 перетворюється на 1 в наступному місці, коли ми носимо під час додавання.

Приклад$\PageIndex{1}$

Яке значення цього числа, яке показано у вертикальному вигляді?

$clipboard_e7c9b06d3de8908d50fbb94f327b4fedf.png$

Рішення

Починаючи знизу, ми маємо ті місця. У цьому місці дві смуги і три точки. Оскільки кожен бар коштує 5, у нас є 13, коли ми вважаємо три точки в одному місці. Дивлячись на значення місця над ним (двадцяті місця), ми бачимо, що є три точки, тому ми маємо три двадцяті роки.

$clipboard_ef579f6d4bb1f6b6856fb5a6928be6f69.png$

Отже, ми можемо записати це число в базовій десятці як

(3 × 20 ¹) + (13 × 20 ⁰) = (3 × 20) + (13 × 1)

= 60 +13

= 73

Приклад$\PageIndex{2}$

Яке значення має наступне число майя?

$clipboard_ebd72070a5fc91b2759d1235e63654fda.png$

Рішення

Це число має 11 на місці одиниць, нуль на місці 20 і 18 на 20 ² = 400 місце. Значить, значення цього числа в базовій десятці дорівнює

(18 × 400) + (0 × 20) + (11 × 1) = 7211.

Спробуйте зараз 10

Перетворіть число майя нижче на базу 10.

$clipboard_e62c621e07f95b45ad304f6a9f6bf1b42.png$

Приклад$\PageIndex{3}$

Перетворіть число основу-10 3575 ₁₀ в цифри майя.

Рішення

Ця проблема робиться в два етапи. По-перше, нам потрібно перетворити на базове число 20. Ми зробимо це за допомогою методу, наданого в останньому розділі тексту. Другий крок полягає в перетворенні цього числа в символи майя.

Найвища потужність 20, яка розділиться на 3575 - це 202 = 400, тому ми починаємо з поділу, що, а потім виходимо звідти:

3575 ÷ 400 = 8,9375

0,9375 × 20 = 18,75

0,75 × 20 = 15,0

Це означає, що 357510 = 8,18,15 ₂₀

Другий крок - перетворити це на позначення майя. Це число вказує на те, що у нас 15 в позиції одиниць. Це три смуги в нижній частині числа. У нас також є 18 на 20 місце, так що це три бари і три точки в другій позиції. Нарешті, у нас є 8 в 400 's місце, так що це один бар і три точки на вершині. Отримуємо наступне

$clipboard_e54ac772002670d09863e0bae9a21601e.png$

Зверніть увагу, що в попередньому прикладі було використано нове позначення, коли ми писали 8,18,15 ₂₀. Коми між трьома числами 8, 18 та 15 тепер розділяють значення місця для нас, щоб ми могли тримати їх окремо один від одного. Це використання коми дещо відрізняється від того, як вони використовуються в десятковій системі. Коли ми пишемо число в базі 10, наприклад 7,567,323, коми використовуються в основному як помічник для читання числа легко, але вони не відокремлюють значення одного місця один від одного. Нам знадобиться це позначення кожного разу, коли база, яку ми використовуємо, більше 10.

Написання чисел з основами, більшими за 10

Коли основа числа більше 10, відокремте кожну «цифру» комою, щоб поділ цифр був зрозумілим.

Наприклад, у базі 20, щоб написати число, що відповідає 17×20 ² + 6×20 ¹ + 13×20 ⁰, ми б написали 17,6,13 ₂₀.

Спробуйте зараз 11

Перетворіть базове число 10 10553 ₁₀ в цифри майя.

Спробуйте зараз 12

Перетворіть базове число 10 5617 ₁₀ в цифри майя.

Додавання чисел майя

При додаванні чисел майя разом, ми приймемо схему, яку майя, ймовірно, не використовували, але яка трохи полегшить нам життя.

Приклад$\PageIndex{4}$

Додайте в майя числа 37 і 29 [37]:

$clipboard_ea07dae8519a28f672a34d7044f12ad9f.png$

Рішення

Спочатку намалюйте коробку навколо кожного з вертикальних місць. Це допоможе зберегти значення місця від змішування.

$clipboard_eb72d3ca97ac0867c49762122462e32c8.png$

Далі покладіть всі символи з обох чисел в єдиний набір місць (коробок), а праворуч від цього нового числа намалюйте набір порожніх коробок, де ви розмістите остаточну суму:

$clipboard_e1a2377fa0af2d6997ed7034090c61b8c.png$

Тепер ви готові приступити до перенесення. Почніть з місця, яке має найнижче значення, так само, як і з арабськими цифрами. Почніть з нижнього місця, де кожна точка коштує 1. Є шість точок, але максимум чотири дозволені в будь-якому місці; як тільки ви отримаєте п'ять точок, ви повинні перетворити на бар. Оскільки п'ять крапок складають один бар, ми малюємо смугу через п'ять точок, залишаючи нас з однією крапкою, яка знаходиться під межею чотирьох точок. Поставте цю крапку в нижнє місце порожнього набору коробок, які ви тільки що намалювали:

$clipboard_e4881d7458e632c95e9f405a36b6526ae.png$

Тепер подивіться на бруски в нижньому місці. Їх п'ять, а максимальне число, яке може вмістити місце, - три. Чотири стовпчики дорівнюють одній точці в наступному найвищому місці.

Всякий раз, коли у нас є чотири смуги в одному місці, ми автоматично перетворимо це на точку в наступному місці вгору. Намалюємо коло навколо чотирьох стовпчиків і стрілку вгору до розрізу точок більш високого місця. В кінці цієї стрілки намалюйте нову точку. Ця точка представляє 20 точно так само, як і інші точки в цьому місці. Не рахуючи обведених стовпчиків в нижньому місці, залишається одна планка. Одна планка знаходиться під межею трьох смуг; поставте її під крапку в безлічі порожніх місць праворуч.

$clipboard_e98a354ff9084a57f3a2833dee4510ea1.png$

Тепер на наступному найвищому місці всього три точки, тому намалюйте їх у відповідному порожньому полі.

$clipboard_e68331351f4f75e2de336628968601bc3.png$

Тут ми бачимо, що у нас є 3 двадцятих (60) і 6, загалом 66. Перевіряємо і відзначаємо, що 37 + 29 = 66, тому ми зробили це доповнення правильно. Чи простіше просто зробити це в base−ten? Напевно, але це тільки тому, що він вам більш звичний. Ваше завдання тут полягає в тому, щоб спробувати вивчити нову базову систему і як додавання можна зробити дещо іншими способами, ніж те, що ви бачили в минулому. Однак зауважте, що концепція перенесення все ще використовується, як і в нашому власному алгоритмі додавання.

Спробуйте зараз 13

Спробуйте додати 174 і 78 в майя, спочатку перетворивши на числа майя, а потім повністю працюючи в цій системі. Не додавайте в базову десятку (десяткову) до самого кінця, коли перевіряєте свою роботу.