2.4: Розробка та використання різних числових баз

Вступ та основи

Під час попередніх обговорень ми мали на увазі позиційні базові системи. У цьому розділі глави ми розглянемо, що саме таке базова система і що це означає, якщо система є «позиційною». Ми зробимо це, спочатку подивившись на нашу власну звичну, базову десятку системи, а потім поглибимо наше дослідження, дивлячись на інші можливі базові системи. У наступній частині цього розділу ми повернемося до цивілізації майя і розглянемо їх унікальну базову систему, яка заснована на числі 20, а не цифрі 10.

Базова система - це структура, в межах якої ми розраховуємо. Найпростіший спосіб описати базову систему - подумати про власну систему base-ten. Система базової десятки, яку ми називаємо «десятковою» системою, вимагає всього десяти різних символів/цифр для запису будь-якого числа. Їх, звичайно, 0, 1, 2,..., 9.

Десяткова система також є прикладом позиційної базової системи, яка просто означає, що позиція цифри дає своє місце значення. Не всі цивілізації мали позиційну систему, хоча вони мали базу, з якою вони працювали.

У нашій системі base-ten число на кшталт 5,783,216 має значення для нас, тому що ми знайомі з системою та її місцями. Як ми знаємо, їх шість, так як в одному місці є 6. Так само існує сім «сотень тисяч», оскільки 7 проживає в цьому місці. Кожна цифра має значення, яке явно визначається її положенням всередині числа. Ми робимо різницю між цифрою, яка є лише символом, таким як 5, і числом, яке складається з однієї або декількох цифр. Ми можемо взяти це число і присвоїти кожній його цифрі значення. Один із способів зробити це - таблиця, яка наступна:

5 000 000	= 5 × 1 000 000		= 5 × 10 ^6	П'ять мільйонів
+700 000	= 7 × 100 000		= 7 × 10 ^5	сімсот тисяч
+80 000	= 8 × 10 000		= 8 × 10 ^4	вісімдесят тисяч
+3 000	= 3 × 1000		= 3 × 10 ^3	Три тисячі
+200	= 2 × 100		= 2 × 10 ^2	двісті
+10	= 1 × 10		= 1 × 10 ^1	Десятка
+6	= 6 × 1		= 6 × 10 ^0	Шість
5 783 216	П'ять мільйонів сімсот вісімдесят три тисячі двісті шістнадцять

З третього стовпця в таблиці ми бачимо, що кожне місце просто кратне десяти. Звичайно, це має сенс з огляду на те, що нашій базі десять. Цифри, які множать кожне місце, просто говорять нам, скільки з цього місця у нас є. Ми обмежені мати щонайменше 9 в будь-якому одному місці, перш ніж нам доведеться «перенести» на наступне місце. Ми не можемо, наприклад, мати 11 у сотні місць. Замість цього, ми б віднести 1 до тисячі місце і зберегти 1 в сотні місце. Це не дивно для нас, оскільки ми з готовністю бачимо, що 11 сотень - це те саме, що тисяча, сто. Перенесення є досить типовим явищем в базовій системі.

Однак базова десятка - не єдиний варіант, який ми маємо. Практично будь-яке натуральне число більше або рівне 2 може бути використано в якості основи для системи числення. Такі системи можуть працювати так само, як десяткова система, за винятком того, що кількість символів буде різною, і кожна позиція буде залежати від самої основи.

Інші бази

Наприклад, припустимо, що ми приймаємо систему база-п'ять. Єдині сучасні цифри, які нам знадобляться для цієї системи, - це 0,1,2,3 і 4. Які значення місця в такій системі? Щоб відповісти на це, ми починаємо з тих місць, як це роблять більшість базових систем. Однак, якби ми розраховували в цій системі, ми могли б дістатися лише до чотирьох (4), перш ніж нам довелося стрибати на наступне місце. Зрештою, наша база 5! Що таке наступне місце, до якого ми б стрибнули? Це не було б десятків, оскільки ми вже не в базовій десятці. Ми знаходимося в іншому числовому світі. Оскільки система базової десятки прогресує від 10 ⁰ до 10 ¹, так і базова п'ятірка рухається від 5 ⁰ до 5 ¹ = 5. Таким чином, переходимо від тих до п'ятірок. Після п'ятірок ми б переїхали на 52 місце, або двадцять п'ятірки. Зауважте, що в base−ten ми перейшли б від десятків до сотень, тобто, звичайно, 10 ².

Після п'ятірок ми б переїхали на 5 ² місце, або двадцять п'ятірки. Зауважте, що в base−ten ми перейшли б від десятків до сотень, тобто, звичайно, 10 ².

Візьмемо приклад і побудуємо таблицю. Розглянемо число 30412 в базовій п'ятірці. Ми напишемо це як 30412 ₅, де індекс 5 не є частиною числа, але вказує на базу, яку ми використовуємо. По-перше, зверніть увагу, що це НЕ число «тридцять тисяч, чотириста дванадцять». Треба бути обережним, щоб не нав'язувати на це число систему базової десятки. Ось як може виглядати наша таблиця. Ми будемо використовувати його для перетворення цього числа в нашу більш звичну систему base-ten.

	База 5	Цей стовпець переховується до base−ten		У базовій десятці
	3 × 5 ^4	= 3 × 625		= 1875
+	0 × 5 ^3	= 0 × 125		= 0
+	4 × 5 ^2	= 4 × 25		= 100
+	1 × 5 ^1	= 1 × 5		= 5
+	2 × 5 ^0	= 2 × 1		= 2
		Всього		1982

Як бачите, число 30412 ₅ еквівалентно 1,982 у базовій десятці. Ми скажемо 30412 ₅ = 1982 ₁₀. Все це може здатися вам дивним, але це тільки тому, що ви так звикли до єдиної системи, яку коли-небудь бачили.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Перетворити 6234 ₇ до числа бази-10

Рішення

Спочатку зауважимо, що нам дано число base-7, яке ми повинні перетворити. Таким чином, наші місця почнуться з тих (7 ⁰), а потім рухатися вгору до 7-х, 49 (7 ²) і т.д. ось розбивка:

	База 7	Перетворити	База 10
	= 6 × 7 ^3	= 6 × 343	= 2058
+	= 2 × 7 ^2	= 2 × 49	= 98
+	= 3 × 7	= 3 × 7	= 21
+	= 4 × 1	= 4 × 1	= 4
		Всього	2181

Таким чином, 6234 ₇ = 2181 ₁₀

Спробуйте зараз 3

Перетворіть 41065 ₇ в базове число 10.

Перетворення з бази 10 на інші бази

Перетворення з незнайомої бази в звичну десяткову систему не так вже й складно, як тільки ви отримаєте повісити її. Це лише питання ідентифікації кожного місця, а потім множення кожної цифри на відповідну потужність. Однак йти в іншому напрямку може бути трохи складніше. Припустимо, у вас є число base-ten, і ви хочете перетворити на base-five. Почнемо з декількох простих прикладів, перш ніж ми перейдемо до більш складного.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Перетворіть дванадцять на базове число п'ять.

Рішення

Ми, мабуть, легко бачимо, що ми можемо переписати це число наступним чином: 12 = (2 × 5) + (2 × 1)

Значить, у нас дві п'ятірки і 2. Отже, в базовій п'ятій, ми б написали дванадцять як 22 ₅. Таким чином, 12 ₁₀ = 22 ₅.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Перетворіть шістдесят дев'ять в базове число п'ять.

Рішення

Тепер ми бачимо, що у нас більше 25, тому ми переписуємо шістдесят дев'ять наступним чином: 69 = (2 × 25) + (3 × 5) + (4 × 1)

Тут у нас є дві двадцять п'ятірки, 3 п'ятірки, і 4 одиниці. Отже, в базовій п'ятій ми маємо 234. Таким чином, 69 ₁₀ = 234 ₅.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Перетворіть базову сімку номер 32617 на базу 10.

Рішення

Повноваження 7 є

7 ⁰ = 1

7 ¹ = 7

7 ² = 49

7 ³ = 343

І т.д...

3261 ₇ = (3×343) + (2×49) + (6×7) + (1×1) = 1170 ₁₀.

Таким чином, 3261 ₇ = 1170 ₁₀.

Спробуйте зараз 4

Перетворіть 143 на базове число 5.

Спробуйте зараз 5

Перетворіть базу-3 число 21021 ₃ в базу 10.

Взагалі, при перетворенні з базової десятки в якусь іншу базу часто корисно визначити найвищу потужність бази, яка поділиться на задане число хоча б один раз. В останньому прикладі 5 ² = 25 є найбільшою силою п'яти, яка присутня в 69, так що це була наша відправна точка. Якби ми перейшли на 5 ³ = 125, то 125 б не ділилися б на 69 хоча б раз.

Перетворення з бази 10 на базову b

1. Знайдіть найвищу потужність основи b, яка поділить на задане число хоча б один раз, а потім розділить.
2. Запишіть всю числову частину, потім використовуйте залишок від ділення на наступному кроці.
3. Повторіть крок другий, розділивши на наступну найвищу потужність підстави b, записуючи всю числову частину (включаючи 0), і використовуючи залишок на наступному кроці.
4. Продовжуйте до тих пір, поки залишок не стане менше підстави. Цей останній залишок буде знаходитися на місці «одиниць».
5. Зберіть всі ваші цілі числа частин, щоб отримати свій номер в базовій позначенні b

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Перетворіть базову десятку числа 348 в базову п'ятірку.

Рішення

Повноваження п'яти є

5 ⁰ = 1

5 ⁼ 5

5 ² = 25

5 ³ = 125

5 ⁴ = 625

І т.д...

Оскільки 348 менше, ніж 625, але більше 125, ми бачимо, що 5 ³ = 125 є найвищою силою п'яти присутніх у 348. Отже, розділимо 125 на 348, щоб побачити, скільки 125 ділимо на 348:

348÷125 = 2 з залишком 98

Записуємо всю частину, 2, і продовжуємо з залишком. Залишилося 98, тому ми бачимо, скільки 25 (наступна найменша сила п'яти) є в залишку:

98÷25 = 3 з залишком 23

Записуємо всю частину, 2, і продовжуємо з залишком. Залишилося 23, тому ми дивимося на наступне місце, 5:

23÷5 = 4 з залишком 3

Це залишає нам 3, що менше нашої бази, тому це число буде в місці «одиниць». Ми готові зібрати нашу базу-п'ятірку номер:

348 = (2 × 5 ³) + (3 × 5 ²) + (4 × 5 ¹) + (3 × 1)

Отже, наша базова п'ятирічне число - 2343. Ми скажемо, що 348 ₁₀ = 2343 ₅.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Перетворіть базову десятку числа 4,509 до базової сімки.

Рішення

Повноваження 7 є

7 ⁰ = 1

7 ¹ = 7

7 ² = 49

7 ³ = 343

7 ⁴ = 2401

7 ⁵ = 16807

І т.д...

Найвища потужність 7, яка розділиться на 4,509, дорівнює 7 ⁴ = 2401.

При діленні бачимо, що він піде в 1 раз із залишком 2108. Таким чином, у нас є 1 в 7 ⁴ місце.

Наступна потужність вниз становить 7 ³ = 343, який переходить в 2108 шість разів з новим залишком 50. Таким чином, у нас є 6 в 7 ³ місце.

Наступна потужність вниз становить 7 ² = 49, який переходить в 50 один раз з новим залишком 1. Таким чином, є 1 в 7 ² місце.

Наступна потужність вниз є 7 ¹ але залишився тільки залишок 1, так що це означає, що є 0 в місці 7 і ми все ще маємо 1 як залишок.

Це, звичайно, означає, що у нас є 1 в одному місці.

4 509 ÷ 7 ⁴ = 1 Р 2108

2018 ÷ 7 ³ = 6 Р 50

50 ÷ 7 ² = 1 Р 1

1 ÷ 7 ¹ = 0 Р 1

1 ÷ 7 ⁰ = 1

4 509 ₁₀ = 16101 ₇

Складання всього цього разом означає, що 4,509 ₁₀ = 16101 ₇.

Спробуйте зараз 6

Перетворіть 657 ₁₀ до базового числа 4.

Спробуйте зараз 7

Перетворіть 8377 ₁₀ до базового 8 числа.

Інший метод перетворення з бази 10 в інші бази

Коли ви читаєте рішення цього останнього прикладу і намагалися вирішити проблеми «Спробуйте зараз», вам, можливо, доводилося неодноразово зупинятися і думати про те, що відбувається. Той факт, що ви, ймовірно, з усіх сил намагаєтеся слідувати поясненню і відтворювати процес самостійно, в основному пов'язано з тим, що недесяткові системи вам так незнайомі. Насправді, єдина система, яка вам, ймовірно, комфортно з є десяткова система.

Як початківці математики, ви завжди повинні задавати питання на кшталт «Як я можу спростити цей процес?» Загалом, це одна з головних речей, яку роблять математики... вони шукають способи прийняти складні ситуації та зробити їх простішими чи більш звичними. У цьому розділі ми спробуємо це зробити.

Для цього ми почнемо з погляду на нашу власну десяткову систему. Те, що ми робимо, може здатися очевидним і, можливо, навіть інтуїтивним, але в цьому справа. Ми хочемо знайти процес, який ми легко розпізнаємо, працює і має сенс для нас у знайомій системі, а потім використовувати його, щоб розширити наші результати на іншу, незнайому систему.

Почнемо з десяткового числа, 4863 ₁₀. Ми перетворимо це число в базу 10. Так, я знаю, що це вже в базі 10, але якщо ви уважно стежите за тим, що ми робимо, ви побачите, що це робить речі дуже добре працювати з іншими базами пізніше. Спочатку відзначимо, що найвища потужність 10, яка поділиться на 4863 хоча б раз, дорівнює 10 ³ = 1000. Загалом, це перший крок у нашому новому процесі; ми знаходимо найвищу силу, що дана база, яка поділить хоча б один раз на наше задане число.

Тепер розділимо 1000 на 4863:

4863 ÷ 1000 = 4,863

Це говорить про те, що в 4863 (очевидно) чотири тисячі. Однак це також говорить про те, що в 4863 тисячі 0,863. Ця дробова частина є нашим залишком і буде перетворена в нижчі сили нашої бази (10). Якщо ми візьмемо, що десяткове число і помножити на 10 (так як це база, в якій ми знаходимося), ми отримаємо наступне:

0,863 × 10 = 8,63

Навіщо множити на 10 в цей момент? Тут потрібно визнати, що 0,863 тисячі - це те ж саме, що і 8,63 сотні. Подумайте про це, поки він не зануриться.

(0.863) (1000) = 863

(8,63) (100) = 863

Ці два твердження рівнозначні. Отже, те, що ми дійсно робимо тут, множивши на 10 - це перефразування або перетворення з одного місця (тисячі) на наступне місце вниз (сотні).

0,863×10 ⇒ 8.63

(Частини тисяч) × 10 ⇒ Сотні

Зараз у нас є 8 сотень і залишок 0,63 сотні, що дорівнює 6,3 десятка. Ми можемо зробити це знову з 0.63, який залишається після цього першого кроку.

0,63 × 10 ⇒ 6,3

Сотні × 10 ⇒ Десятки

Отже, у нас шість десятків і 0,3 десятка, що те ж саме, що і 3, наше останнє місце значення.

Тепер ось лінія удару. Давайте складемо все разом в одному місці:

4863 ÷ 1000 = 4 .863

0,863 × 10 = 8,63

0,63 × 10 = 6,3

0,3 × 10 = 3,0

Зверніть увагу, що на кожному кроці залишок переноситься вниз до наступного кроку і множиться на 10, основу. Також на кожному кроці вся числова частина, яка обведена по колу, дає цифру, яка належить саме в тому конкретному місці. Що дивно, це те, що це працює для будь-якої бази! Отже, щоб перетворити з базового числа 10 на якусь іншу базу, b, у нас є наступні кроки, які ми можемо виконати:

Перетворення з бази 10 на базову b: інший метод

1. Знайдіть найвищу потужність основи b, яка поділить на задане число хоча б один раз, а потім розділить.
2. Тримайте цілу числову частину, а дробову частину помножте на підставу b.
3. Повторіть крок другий, зберігаючи всю числову частину (включаючи 0), переносячи дробову частину до наступного кроку, поки не буде отримано лише ціле число.
4. Зберіть всі ваші цілі числа частин, щоб отримати свій номер в базовій позначенні b.

Цю процедуру ми проілюструємо на деяких прикладах.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Перетворіть базове число 10, 348 ₁₀, в базу 5.

Рішення

Це насправді перетворення, яке ми зробили в попередньому прикладі. Повноваження п'яти є

5 ⁰ = 1

5 ⁼ 5

5 ² = 25

5 ³ = 125

5 ⁴ = 625

І т.д...

Найвища потужність п'яти, яка піде в 348 хоча б раз - 5 ³. Ділимо на 125 і далі приступаємо:

348 ÷ 5 ³ = 2 .784

0,784 × 5 = 3,92

0,92 × 5 = 4,6.

0,6 × 5 = 3,0

Зберігаючи все ціле число частин, зверху знизу, дає 2343 як наше базове число 5. Таким чином, 2343 ₅ = 348 ₁₀.

Ми можемо порівняти наш результат з тим, що ми бачили раніше, або просто перевірити за допомогою нашого калькулятора, і виявити, що ці два числа дійсно еквівалентні один одному.

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Перетворіть базове число 10, 3007 ₁₀, в базу 5.

Рішення

Найвища потужність 5, яка ділиться хоча б один раз на 3007, дорівнює 5 ⁴ = 625. Таким чином, ми маємо:

3007 ÷ 625 = 4 8112

0,8112 × 5 = 4 056

0,056 × 5 = 0,28

0,28 × 5 = 1,4

0,4 × 5 = 2,0

Це дає нам, що 3007 ₁₀ = 44012 ₅. Зверніть увагу, що в третьому рядку, що множення на 5 дав нам 0 для всієї нашої числової частини. Ми цього не відкидаємо! Нуль говорить нам, що нуль в цьому місці. Тобто в цьому числі немає 5 ².

Цей останній приклад показує важливість використання калькулятора в певних ситуаціях і подбати про те, щоб уникнути очищення пам'яті або дисплея калькулятора, поки ви не дійдете до самого кінця процесу.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Перетворіть базове число 10, 63201 ₁₀, в базу 7.

Рішення

Повноваження 7 є

7 ⁰ = 1

7 ¹ = 7

7 ² = 49

7 ³ = 343

7 ⁴ = 2401

7 ⁵ = 16807

І т.д...

Найвища потужність 7, яка поділить хоча б один раз на 63201 - 7 ⁵. Коли ми робимо початкове ділення на калькуляторі, ми отримуємо наступне:

63201 ÷ 7 ⁵ = 3,760397453

Десяткова частина фактично заповнює дисплей калькуляторів, і ми не знаємо, якщо він закінчується в якийсь момент або, можливо, навіть повторюється вниз по дорозі. Отже, якщо ми очистимо наш калькулятор на цьому етапі, ми введемо помилку, яка, ймовірно, збереже цей процес від коли-небудь закінчення. Щоб уникнути цієї проблеми, залишаємо результат в калькуляторі і просто віднімаємо з цього 3, щоб отримати дробову частину все само собою. НЕ ОКРУГЛЯЙТЕ! Віднімання, а потім множення на сім дає:

63201 ÷ 7 ⁵ = 3 .760397453

0,760397453 × 7 = 5 .322782174

0,322782174 × 7 = 2 .259475219

0,259475219 × 7 = 1 .816326531

0,816326531 × 7 = 5 .714285714

0,714285714 × 7 = 5 .000000000

Так, вірте чи ні, що останній продукт рівно 5, до тих пір, поки ви нічого не очищаєте на калькуляторі. Це дає нам кінцевий результат: 63201 ₁₀ = 352155 ₇. Якщо округлити, навіть до двох знаків після коми на кожному кроці, очищаючи наш калькулятор на кожному кроці по шляху, ми отримаємо ряд чисел, які не закінчуються, а починають повторюватися нескінченно. (Спробуйте!) Ми закінчуємо тим, що не має ніякого сенсу, принаймні, не в цьому контексті. Тому будьте обережні, щоб використовувати калькулятор обережно для цих проблем перетворення.

Також пам'ятайте, що якщо ваш перший поділ на 7 ⁵, то ви очікуєте мати 6 цифр у підсумковій відповіді, що відповідають місцям для 7 ⁵, 7 ⁴ і так далі до 7 ⁰. Якщо ви опинилися з більш ніж 6 цифр через помилки округлення, ви знаєте, що щось пішло не так.

Спробуйте зараз 8

Перетворіть число базою-10, 9352 ₁₀, в базу 5.

Спробуйте зараз 9

Перетворіть число базою-10, 1500, в базу 3.

Будьте обережні, щоб не очистити свій калькулятор на цьому. Крім того, якщо ви не будете обережні на кожному кроці, ви можете не отримати всі цифри, які ви шукаєте, тому рухатися повільно і з обережністю.