2.3: Індуї-арабська система числення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66309

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Еволюція системи

Наша власна система числення, що складається з десяти символів {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, називається індуїстсько-арабською системою. Це базова десятка (десяткова) система, оскільки значення місця збільшуються на степені десяти. Крім того, ця система є позиційною, що означає, що положення символу має відношення до значення цього символу в межах числа. Наприклад, положення символу 3 в числі 435 681 дає йому значення набагато більше, ніж значення символу 8 в тому ж числі. Пізніше ми вивчимо базові системи. Розвиток цих десяти символів і їх використання в позиційній системі приходить до нас в першу чергу з Індії [11].

Лише в 15 ^{столітті} символи, з якими ми знайомі сьогодні, вперше сформувалися в Європі. Однак історія цих чисел і їх розвитку налічує сотні років. Одним з важливих джерел інформації на цю тему є письменник аль-Біруні, чия картина показана тут [12]. Аль-Біруні, який народився в сучасному Узбекистані, кілька разів відвідував Індію і коментував індійську систему числення. Коли ми дивимося на походження чисел, з якими зіткнувся аль-Біруні, ми повинні повернутися до третього століття до н.е., щоб дослідити їх походження. Саме тоді використовувалися числівники Брахмі.

Числівники Брахмі були складнішими, ніж ті, що використовуються в нашій сучасній системі. Вони мали окремі символи для чисел від 1 до 9, а також різні символи для 10, 100, 1000,..., також для 20, 30, 40,... та інші для 200, 300, 400,..., 900. Символи Брахмі для 1, 2 та 3 показані нижче [13].

$clipboard_e798252e275ea76d0487eb9af7b894a19.png$

Ці числівники використовувалися аж до 4-го століття н.е., з варіаціями в часі та географічному розташуванні. Наприклад, в першому столітті н.е., один конкретний набір числівників Брахмі набув такого вигляду [14]:

$clipboard_e68fd510e0ecdf5af289ccde5745947a0.png$

Починаючи з ^4-го століття, ви насправді можете простежити кілька різних шляхів, які числівники Брахмі взяли, щоб дістатися до різних точок і втілень. Один із цих шляхів привів до нашої нинішньої системи числення і пройшов через те, що називаються числівниками Гупти. Цифри Гупта були видатними під час правління династії Гупта і були поширені по всій цій імперії, як вони завоювали землі протягом ^4-го по ^6-й століття. Вони мають наступну форму [15]:

$clipboard_e89e08594adaae4152362c7f49ca054a1.png$

Те, як цифри потрапили в форму Гупта, відкрито для значних дискусій. Було запропоновано безліч можливих гіпотез, більшість з яких зводяться до двох основних типів [16]. Перший тип гіпотези стверджує, що числівники походили від початкових букв назв чисел. Це не рідкість... грецькі числівники розвинені таким чином. Другий тип гіпотези стверджує, що вони були отримані з якоїсь більш ранньої системи числення. Однак є й інші гіпотези, які пропонуються, однією з яких є дослідник Іфра. Його теорія полягає в тому, що спочатку було дев'ять числівників, кожна з яких представлена відповідною кількістю вертикальних ліній. Однією з можливостей є така [17]:

$clipboard_e3a5c422ce4fcaa7ec9fee5c92f6c673f.png$

Оскільки ці символи зайняли б багато часу, щоб написати, вони врешті-решт перетворилися на скорописні символи, які можна було б написати швидше. Якщо порівняти їх з цифрами Гупти вище, ми можемо спробувати побачити, як міг відбутися цей еволюційний процес, але наша уява була б майже все, від чого нам доведеться залежати, оскільки ми не знаємо, як саме розгортався процес.

Числівники Гупта врешті-решт перетворилися на іншу форму числівників, які називалися числівниками Нагарі, і вони продовжували розвиватися до ^11-го століття, тоді вони виглядали так [18]:

$clipboard_e8e7cd6084a8ffa6efb41fd91f7c41954.png$

Зауважимо, що до цього часу символ для 0 з'явився! Майя в Америці мали символ для нуля задовго до цього, однак, як ми побачимо пізніше в розділі.

Ці числівники були прийняті арабами, швидше за все, у восьмому столітті під час ісламських вторгнень в північну частину Індії [19]. Вважається, що араби зіграли важливу роль у поширенні їх на інші частини світу, включаючи Іспанію (див. Нижче).

Інші приклади варіацій аж до одинадцятого століття включають:

Девангарі, восьме століття [20]:

$clipboard_e567ca40cbe092d09b37a273ea0b6c924.png$

Західноарабський Гобар, Х століття [21]:

$clipboard_ec041346496357ddad3a789b27a82ffa4.png$

Іспанія, 976 р. До н.е. [22]:

$clipboard_e45bcd90f8ca0c6d6eaba6fc4e9a076f3.png$

Нарешті, ще одна графіка [23] показує різні форми цих числівників, коли вони розвивалися і врешті-решт сходилися до 15 століття в Європі.

$clipboard_e2e65304df1db45fb66b67040adb577f7.png$

Позиційна система

Більш важливим, ніж форма числових символів, є розробка системи значень місця. Хоча це в невеликій суперечці, найдавніший відомий документ, в якому індійська система відображає позиційну систему, датується 346 CE Однак деякі докази свідчать про те, що вони, можливо, насправді розробили позиційну систему ще в першому столітті CE.

Індіанці не першими використовували позиційну систему. Вавилоняни (як ми побачимо в главі 3) використовували позиційну систему з 60 як основу. Однак не так багато доказів того, що вавилонська система мала великий вплив на більш пізні системи числення, за винятком греків. Також китайці мали систему base-10, ймовірно, отриману від використання лічильної дошки [24]. Деякі вважають, що позиційна система, яка використовується в Індії, була походить від китайської системи.

Де б вона не виникла, виявляється, що близько 600 CE індіанці відмовилися від використання символів для чисел вище дев'яти і почали використовувати нашу звичну систему, де положення символу визначає його загальну вартість [25]. Численні документи сьомого століття демонструють використання цієї позиційної системи.

Цікаво, що найбільш ранні датовані написи з використанням системи з символом нуля походять з Камбоджі. У 683 році 605 ^року сакської ери пишеться трьома цифрами і крапкою посередині. ^608-й рік використовує три цифри з сучасним 0 посередині [26]. Точка як символ нуля також з'являється у китайському творі (Chiu−chih li). Автор цього документа дає разюче чіткий опис того, як працює індійська система:

За допомогою [індійських] числівників здійснюється множення і ділення. Кожен числівник пишеться одним штрихом. Коли число зараховується до десяти, воно просувається на більш високе місце. На кожному місці, що звільнилося завжди ставиться крапка. Таким чином, числівник завжди позначається в кожному місці. Відповідно, помилки у визначенні місця бути не може. З числівниками обчислення легко... [27]»

Передача в Європу

До кінця не відомо, як система потрапила в Європу. Торговці та мандрівники середземноморського узбережжя, можливо, везли його туди. Він знайдений в іспанському рукописі десятого століття і, можливо, був введений в Іспанію арабами, які вторглися в регіон в 711 році н.е. і були там до 1492 року.

$clipboard_eb6d02658d0f2a1f105464aadfbfa8b14.png$ У багатьох суспільствах формується поділ між тими, хто використовував числа і обчислення для практичного, повсякденного бізнесу і тими, хто використовував їх в ритуальних цілях або для державного бізнесу [28]. Перші часто можуть використовувати старі системи, тоді як другі були схильні використовувати нові, більш елітні письмові номери. Конкуренція між двома групами виникла і тривала досить довго.

У 14-му ^{столітті} рукописі Боетіуса «Втіхи філософії» з'являється відомий малюнок двох математиків. Один - купець і використовує абаку («абацист»). Інший - філософ Піфагора («алгоритм»), який використовує свої «священні» числа. Вони знаходяться в змаганні, який судять богиня числа. До 1500 CE, однак, нові символи і система виграли і наполегливо до сьогоднішнього дня. Нещодавно газета «Сіетл Таймс» повідомила, що індуїстсько-арабська система цифр була включена до книги «Найбільші винаходи минулих 2000 років» [29].

Одне питання, на яке слід відповісти, полягає в тому, чому індіанці розвивали б таке позиційне позначення. На жаль, відповідь на це питання наразі не відома. Деякі припускають, що система має свої витоки з китайських рахункових дощок. Ці дошки були портативними, і вважається, що китайські мандрівники, які проходили через Індію, взяли з собою дошки і запалили ідею в індійській математиці [30]. Інші, такі як G.G. Joseph, пропонують, що саме індійське захоплення дуже великими числами змусило їх розробити систему, за допомогою якої такі великі числа можуть бути легко записані. У цій теорії система розвивалася цілком в індійських математичних рамках без значного впливу з боку інших цивілізацій.