2.2: Число та система підрахунку цивілізації інків

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66303

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Фон

Як правило, бракує книг та дослідницьких матеріалів, що стосуються історичних основ Америки. Велика частина наявної «важливої» інформації зосереджена на східній півкулі, центральним фокусом якої є Європа. Причини цього можуть бути двоякими: по-перше, вважається, що в американських регіонах бракує спеціалізованої математики; по-друге, багато секретів стародавньої математики в Америці були ретельно охороняються [6]. Перуанська система, здається, тут не є винятком. Двоє дослідників, Леланд Локк та Ерланд Норденскіолд, провели дослідження, які намагалися виявити, які математичні знання знали інки та як вони використовували перуанську кіпу, систему підрахунку, що використовує шнури та вузли, у своїй математиці. Ці дослідники прийшли до певних переконань щодо кіпу, які ми підсумуємо тут.

Лічильні дошки

$clipboard_e74ec05d18f7443f89ac18b43aa961596.png$ Слід зазначити, що у інків не було складної системи обчислень. Там, де інші народи в регіонах, такі як майя, робили обчислення, пов'язані з їх ритуалами та календарями, інки, здається, більше стурбовані більш простим завданням ведення обліку. Для цього вони використовували те, що називається «кіпу» для запису кількості предметів. (Ми опишемо їх більш докладно через мить.) Однак, вони спочатку часто потрібно робити обчислення, результати яких будуть записані на quipu. Щоб зробити ці обчислення, вони іноді використовували б рахункову дошку, побудовану з кам'яної плити. У плиті були вирізані прямокутні і квадратні відсіки так, щоб посередині залишалася восьмикутна (восьмистороння) область. Підняли два протилежних кутових прямокутника. Ще дві секції були змонтовані на первісну поверхню плити так, щоб існувало фактично три рівні. На показаному малюнку найтемніші затінені кутові області представляють найвищий, третій рівень. Більш світлі затінені області, що оточують кути, є другими найвищими рівнями, тоді як чіткі білі прямокутники - це відсіки, врізані в кам'яну плиту.

Галька використовувалася для ведення рахунків, а їхні позиції на різних рівнях та відсіках давали підсумки. Наприклад, галька в меншому (білому) відсіку представляла собою одну одиницю. Зверніть увагу, що навколо зовнішнього краю фігури знаходиться 12 таких квадратів. Якщо в одне з двох (білих) великих прямокутних відсіків клали гальку, її величина збільшувалася вдвічі. Коли в восьмикутну область посередині плити ставили камінчик, її величина збільшувалася в три рази. Якщо на другому (затіненому) рівні ставився камінчик, його значення множилося на шість. І нарешті, якщо камінчик був знайдений на одному з двох найвищих кутових рівнів, його значення множилося на дванадцять. Різні об'єкти можна підраховувати одночасно, представляючи різні об'єкти різними кольоровими камінчиками.

Приклад$\PageIndex{1}$

Припустимо, у вас є наступна рахункова дошка з двома різними видами гальки, як показано на ілюстрації. Нехай тверда чорна галька представляє собаку, а смугаста галька - кішку. Скільки собак представлено?

$clipboard_e8b44fba2ba308c7442ff4b4b62955c04.png$

Рішення

У зовнішніх квадратних областях є дві чорні камінчики... вони представляють 2 собак.

У великих (білих) прямокутних відділеннях є три чорні камінчики. Вони представляють 6 собак. У середній області є один чорний камінчик... це являє собою 3 собак. На другому рівні три чорні камінчики... вони представляють 18 собак. Нарешті, на найвищому кутовому рівні є один чорний камінчик... це 12 собак. Тоді у нас є в цілому 2+6+3+18+12 = 41 собака.

Спробуйте зараз 1

Скільки кішок представлено на цій дошці?

Кіпу

$clipboard_ef996ea6cb9f402e9a5232e3711625ba3.png$ Цей вид дошки був хороший для швидких обчислень, але він не забезпечив хороший спосіб вести постійний запис величин або обчислень. Для цієї мети використовували кіпу. Кіпу являє собою сукупність шнурів з вузлами в них. Ці шнури і вузли акуратно розташовані так, щоб положення і тип шнура або вузла давали конкретну інформацію про те, як розшифрувати шнур.

Кіпу складається з основного шнура, який має інші шнури (гілки), прив'язані до нього. Дивіться зображення праворуч [7].

Локк називав гілки Н шнурами. Вони кріпляться до основного шнура. В шнури, в свою чергу, кріпилися до шнурів Н. Більшість з цих шнурів мали б вузли на них. Однак рідко зустрічаються вузли на основному шнурі, і, як правило, знаходяться в основному на шнурах H і B. Кіпу також може мати шнур «суматора», який узагальнює всю інформацію про групу шнурів в одному місці.

Локк зазначає, що існує три типи вузлів, кожен з яких представляє різне значення, залежно від виду використовуваного вузла та його положення на шнурі. У інків, як і ми, була десяткова (базова десятка) система, тому кожен вид вузла мав певне десяткове значення. Єдиний вузол, зображений посередині діаграми [8], використовувався для позначення десятків, сотень, тисяч і десяти тисяч. Вони були б на верхніх рівнях шнурів Н. Вузол вісімки на кінці використовувався для позначення цілого числа «одиниця». Кожне інше ціле число від 2 до 9 було зображено довгим вузлом, показаним зліва від малюнка. (Іноді довгі вузли використовувалися для представлення десятків і сотень.) Зверніть увагу, що довгий вузол має кілька витків... кількість витків вказує, яке ціле число представлено. Одиниці (одиниці) розташовувалися найближче до нижньої частини шнура, потім десятки прямо над ними, потім сотні і так далі.

$clipboard_e16f227c4839bcab754e34edb99fd9a91.png$

Для того, щоб полегшити читання цих фотографій, ми приймемо послідовну конвенцію. Для довгого вузла з витками в ньому (що представляє цифри від 2 до 9) скористаємося наступними позначеннями:

$clipboard_eea0fc9d2b25b74a4d98afc0e0ae45a61.png$

Чотири горизонтальні смуги представляють чотири повороти, а вигнута дуга праворуч пов'язує чотири повороти разом. Це означало б число 4.

Ми зобразимо єдиний вузол з великою крапкою (•) і зобразимо вузол вісімки з боковою вісімкою (∞).

Приклад$\PageIndex{1}$

Яке число зображено на показаному шнурі?

$clipboard_ef8f3390b12ab6d8fef2c3e68e80c8338.png$

Рішення

На шнурі ми бачимо довгий вузол з чотирма витками в ньому... це являє собою чотири в одному місці. Потім 5 одиночних вузлів з'являються в положенні десятки відразу над тим, що становить 5 десятків, або 50. Нарешті, 4 одиночних вузла зав'язуються сотнями, що представляють чотири 4 сотні, або 400. Таким чином, загальна сума, показана на цьому шнурі, дорівнює 454.

Спробуйте зараз 2

Які цифри зображені на кожному з чотирьох шнурів, що звисають з основного шнура?

$clipboard_ed8d053dea297649f8fe7fd23df1f57ea.png$

Кольори шнурів мали значення і могли відрізняти один предмет від іншого. Один колір може представляти лами, тоді як інший колір може представляти, наприклад, овець. Коли всі доступні кольори будуть вичерпані, їх доведеться використовувати повторно. Через це вміння читати кіпу стало складним завданням і цю роботу виконували спеціально навчені особистості. Вони називалися кіпукамайок, що означає хранитель кіпуса. Вони будували, охороняли і розшифровували квіпус.

$clipboard_e7f8ecd6554ab4929a065ee4678380ab2.png$ Як ви можете бачити з цієї фотографії фактичного quipu, вони можуть отримати досить складні.

Існували різні цілі для кіпу. Деякі вважають, що вони використовувалися для обліку своїх традицій та історії, використовуючи вузли для запису історії, а не якусь іншу формальну систему письма. Один письменник навіть припустив, що кіпу замінив писемність, оскільки вона сформувала роль у поштовій системі інків [9]. Ще одне запропоноване використання quipu - це інструмент перекладу. Після завоювання інків іспанцями і подальшого «звернення» в католицизм інків нібито міг використовувати кіпу, щоб зізнатися в своїх гріхах священику. Ще одним запропонованим використанням кіпу було запис чисел, пов'язаних з магією та астрономією, хоча це не є широко прийнятою інтерпретацією.

Таємниці кіпу ще до кінця не вивчені. Нещодавно Ашер та Ашер опублікували книгу «Код Кіпу: Дослідження засобів масової інформації, математики та культури», яка є «великою розробкою логіко-числової системи кіпу. [10]»

Ми настільки звикли бачити символи 1, 2, 3, 4 тощо, що може бути дещо дивним бачити такий творчий та інноваційний спосіб обчислення та запису чисел. На жаль, коли ми продовжуємо нашу математичну освіту в класі та середній школі, ми отримуємо дуже мало інформації про широкий спектр систем числення, які існували і які досі існують у всьому світі. Це не означає, що наша власна система не важлива чи ефективна. Той факт, що він вижив протягом сотень років і не показує жодних ознак скоро піти, свідчить про те, що ми, можливо, нарешті знайшли систему, яка працює добре і може не потребувати подальшого вдосконалення, але лише час покаже, чи є ця здогадка дійсною чи ні. Тепер ми перейдемо до короткого історичного погляду на те, як розвивалася наша нинішня система протягом історії.