2.1: Вступ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66290

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Коли ми починаємо нашу подорож історією математики, одне питання, яке потрібно задати, - «З чого ми починаємо?» Залежно від того, як ви переглядаєте математику або цифри, ви можете вибрати будь-яку з ряду точок запуску, з якої почати. Говард Евес пропонує наступний перелік можливостей [1].

З чого почати вивчення історії математики...

На перші логічні геометричні «докази» традиційно приписували Фалесу Мілетському (600 р. До н.е.).
З формулюванням методів вимірювання зроблені єгиптянами і месопотамцями/вавилонянами.
Де доісторичні народи доклали зусиль, щоб організувати поняття розміру, форми та кількості.
У долюдські часи в дуже простому сенсі числа та розпізнаванні образів, які можуть відображатися певними тваринами, птахами тощо.
Ще до цього в дивовижних співвідношеннях чисел і форм зустрічалися у рослин.
З спіральними туманностями, природним ходом планет і іншими всесвітніми явищами.

Ми не можемо вибрати жодної відправної точки взагалі і натомість погодитися з тим, що математика завжди існувала і просто чекала на крила людей, щоб виявити. Кожна з цих позицій може бути певною мірою захищена, і яку з них ви приймаєте (якщо така є) багато в чому залежить від ваших філософських уявлень про математику та цифри.

Тим не менш, нам потрібна відправна точка. Не приймаючи судження про дійсність будь-якої з цих конкретних можливостей, ми виберемо в якості відправної точки виникнення ідеї числа і процес підрахунку в якості нашого стартового майданчика. Це робиться насамперед як практичне питання, враховуючи характер цього курсу. У наступному розділі ми спробуємо зосередитися на двох основних ідеях. Першим буде експертиза основних систем числення та підрахунку та символів, які ми використовуємо для чисел. Ми розглянемо нашу власну сучасну (західну) систему числення, а також систему кількох обраних цивілізацій, щоб побачити відмінності та різноманітність, які можливі, коли люди починають рахувати. Друга ідея, яку ми розглядаємо, - це базові системи. Порівнюючи нашу власну базову десятку (десяткову) систему з іншими основами, ми швидко усвідомлюємо, що система, до якої ми так звикли, коли трохи змінилася, кине виклик нашим уявленням про числа і те, що символи для цих чисел насправді означають.

Визнання більше проти менше

Ідея числа і процес підрахунку йде далеко за межі історії, почала фіксуватися. Існують деякі археологічні докази, які свідчать про те, що люди рахували ще 50 000 років тому [2]. Однак ми насправді не знаємо, як цей процес почався або розвивався з часом. Найкраще, що ми можемо зробити, - це добре здогадатися про те, як все прогресувало. Напевно, не важко повірити, що навіть найраніші люди мали певне відчуття більше і менше. Навіть деяким дрібним тваринам було показано, що такий сенс. Наприклад, один натураліст розповідає про те, як він би таємно видаляв по одному яйцю щодня з гнізда сивки. Мати старанно відкладала зайве яйце кожен день, щоб заповнити відсутню яйцеклітину. Деякі дослідження показали, що курей можна навчити розрізняти парну і непарну кількість шматочків їжі [3]. Маючи на увазі такі висновки, неважко уявити, що ранні люди мали (принаймні) подібне відчуття більше і менше. Однак наші домисли про те, як і коли ці ідеї виникли серед людей, просто такі; освічені здогадки, засновані на наших власних припущеннях про те, що могло або могло бути.

Необхідність простого підрахунку

Оскільки суспільства та людство розвивалися, просто маючи відчуття більш-менш, парного чи непарного тощо, виявилося б недостатнім для задоволення потреб повсякденного життя. У міру формування племен і груп стало важливо вміти знати, скільки членів було в групі, і, можливо, скільки було в таборі ворога. Звичайно, їм було важливо знати, чи збільшується або зменшується в розмірах отара овець чи інших одержимих тварин. «Як би там не було, скільки з них у нас?» це питання, яке нам не важко уявити, як вони задають собі (або один одному).

Для того, щоб підрахувати предмети, такі як тварини, часто припускають, що одним з найдавніших методів цього буде «підрахунок палиць». Це об'єкти, які використовуються для відстеження кількості елементів, що підлягають підрахунку. За допомогою цього методу кожна «палиця» (або камінчик, або будь-який інший лічильний пристрій) являє собою одну тварину або предмет. Цей метод використовує ідею листування один на один. У листуванні один до одного елементи, які підраховуються, однозначно пов'язані з деяким інструментом підрахунку.

$clipboard_e087ebefa48f3e4059e4d0901bccb73e7.png$ На малюнку праворуч ви бачите кожну палицю, відповідну одному коню. Вивчаючи колекцію паличок в руках, можна знати, скільки тварин має бути присутнім. Ви можете собі уявити корисність такої системи, принаймні для меншої кількості предметів, за якими слід стежити. Якщо пастух хотів «відрахувати» своїх тварин, щоб переконатися, що вони всі присутні, він міг подумки (або методично) призначити кожну палицю одній тварині і продовжувати робити це, поки не буде задоволений, що всі враховуються.

Звичайно, в нашій сучасній системі ми замінили палички більш абстрактними об'єктами. Зокрема, верхня паличка замінюється нашим символом «1», друга палиця замінюється на «2», а третя паличка представлена символом «3», але ми тут випереджуємо себе. Ці сучасні символи зайняли багато століть, щоб з'явитися.

Іншим можливим способом використання методу підрахунку «tally stick» є виготовлення міток або різання насічок на шматки дерева, або навіть зав'язування вузлів у струні (як ми побачимо пізніше). У 1937 році Карл Абсолом виявив вовчу кістку, яка сягає, можливо, 30 000 років. Вважається, що це лічильний пристрій [4]. Іншим прикладом такого роду інструменту є кістка Ішанго, виявлена в 1960 році в Ішанго і показана нижче [5]. Повідомляється, що йому від шести до дев'яти тисяч років і показує, що, здається, маркування використовується для підрахунку якогось роду.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Розмітки на рядах (а) і (b) кожному складають до 60. Рядок (b) містить прості числа від 10 до 20. Рядок (c), здається, ілюструє метод подвоєння та множення, який використовують єгиптяни. Вважається, що це може представляти і лічильник місячних фаз.

Вимовлені слова

У міру розвитку методів підрахунку, а також з прогресуванням мови, природно очікувати, що вимовлені слова для чисел з'являться. На жаль, розвиток цих слів, особливо відповідних числам від одного до десяти, простежити непросто. Однак останні десять ми бачимо деякі закономірності:

Одинадцять походить від «ein lifon», що означає «один залишився».

Дванадцять походить від «twe lif», що означає «два залишилися».

Тринадцять походить від «трьох і десяти», як і чотирнадцять через дев'ятнадцять.

Двадцять, здається, походять від «twe−tig», що означає «два десятки».

Сотня, ймовірно, походить від терміна, що означає «десять разів».

Письмові цифри

Коли ми говоримо про «письмові» цифри, ми повинні бути обережними, оскільки це може означати різні речі. Важливо мати на увазі, що сучасній папері всього трохи більше 100 років, тому «писемність» в минулі часи часто набувала форм, які могли б виглядати досить незнайомими нам сьогодні.

Як ми бачили раніше, деякі можуть розглядати дерев'яні палички з вирізаними в них виїмками як написання, оскільки це засоби запису інформації на носії, яку можуть «читати» інші. Звичайно, використовувані символи (прості виїмки), безумовно, не залишали великої гнучкості для передачі найрізноманітніших ідей або інформації.

Інші середовища, на яких могло відбуватися «писемність», включають різьблення в кам'яних або глиняних табличках, ганчірковий папір, виготовлений вручну (12 століття в Європі, але раніше в Китаї), папірус (винайдений єгиптянами і використовувався до греків) та пергаменти зі шкур тварин. І це лише деякі з багатьох можливостей.

Це лише кілька прикладів ранніх методів підрахунку і простих символів для представлення чисел. На цю тему були зроблені великі книги, статті та дослідження, і вони могли б надати достатньо інформації, щоб заповнити весь цей курс, якщо ми дозволимо це. Діапазон і різноманітність творчої думки, яка використовувалася в минулому для опису чисел і підрахунку предметів і людей приголомшує. На жаль, ми не встигаємо вивчити їх усі, але цікаво і цікаво подивитися на одну систему більш детально, щоб побачити, наскільки геніальними були люди.