Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.4: Вирішення проблем та оцінка

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66372

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Нарешті, ми об'єднаємо розглянуті нами математичні інструменти та використаємо їх для вирішення більш складних завдань. У багатьох проблемах спокусливо взяти дану інформацію, підключити її до будь-яких формул, які вам під рукою, і сподіватися, що результат - це те, що ви повинні були знайти. Швидше за все, такий підхід добре послужив вам в інших класах математики.

    Такий підхід погано працює з реальними проблемами. Натомість до вирішення проблем найкраще підійти спочатку, починаючи з кінця: визначаючи саме те, що ви шукаєте. Звідти ви потім працюєте назад, запитуючи «яка інформація та процедури мені знадобиться, щоб знайти це?» Дуже мало цікавих питань можна відповісти в одному математичному кроці; часто вам потрібно буде об'єднати шлях рішення, ряд кроків, які дозволять вам відповісти на питання.

    Визначення: Процес вирішення проблем

    1. Визначте питання, на яке ви намагаєтеся відповісти.
    2. Працюйте назад, визначаючи інформацію, яка вам знадобиться, та стосунки, які ви будете використовувати, щоб відповісти на це питання.
    3. Продовжуйте працювати назад, створюючи шлях рішення.
    4. Якщо вам не вистачає необхідної інформації, знайдіть її або оцініть. Якщо у вас є непотрібна інформація, ігноруйте її.
    5. Вирішіть проблему, слідуючи своєму шляху вирішення.

    У більшості проблем, над якими ми працюємо, ми будемо наближати рішення, тому що ми не матимемо ідеальної інформації. Почнемо з декількох прикладів, де зможемо наблизити рішення, використовуючи базові знання з нашого життя.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Скільки разів б'ється ваше серце за рік?

    Рішення

    Цим питанням задається частота серцевих скорочень за рік. Оскільки рік - це довгий час для вимірювання серцевих скорочень, якби ми знали частоту серцевих скорочень за хвилину, ми могли б масштабувати цю кількість до року. Отже, інформація, яка нам потрібна для відповіді на це питання, - це удари серця в хвилину. Це те, що ви можете легко виміряти, підраховуючи пульс під час перегляду годин протягом хвилини.

    Припустимо, ви вважаєте 80 ударів в хвилину. Щоб перетворити це в удари на рік:

    \( \dfrac{80 \text{ beats}}{1 \text{ minute}} \cdot \dfrac{60 \text{ minutes}}{1 \text{ hour}} \cdot \dfrac{24 \text{ hours}}{1 \text{ day}} \cdot \dfrac{365 \text{ days}}{1 \text{ year}} = 42,048,000 \text{ beats per year} \)

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Наскільки товстий один аркуш паперу? Скільки він важить?

    Рішення

    Хоча у вас може бути під рукою аркуш паперу, спробувати виміряти його було б складно. Замість цього ми могли б уявити собі стопку паперу, а потім масштабувати товщину і вагу до одного аркуша. Якщо ви коли-небудь купували папір для принтера або ксерокс, то напевно купили пачку, яка містить 500 аркушів. Ми могли б оцінити, що пачка паперу має товщину близько 2 дюймів і важить близько 5 фунтів. Масштабування цих вниз,

    \( \dfrac{2 \text{ inches}}{\text{ ream}} \cdot \dfrac{1 \text{ ream}}{500 \text{ pages}} = 0.004 \text{ inches per sheet} \\ \dfrac{5 \text{ inches}}{\text{ ream}} \cdot \dfrac{1 \text{ ream}}{500 \text{ pages}} = 0.004 \text{ pounds per sheet, or \(0.16\)унцій на аркуш.}\)

    Приклад\(\PageIndex{3}\)

    Рецепт кексів з цукіні стверджує, що він дає 12 кексів, з 250 калорій на кекс. Ви замість цього вирішите зробити міні-кекси, а рецепт дає 20 кексів. Якщо ви з'їсте 4, скільки калорій ви будете споживати?

    Рішення

    Існує кілька можливих шляхів вирішення, щоб відповісти на це питання. Ми вивчимо один.

    Щоб відповісти на питання про те, скільки калорій міститимуть 4 міні-кекси, ми хотіли б дізнатися кількість калорій в кожному міні-кексі. Щоб знайти калорії в кожному міні-кексі, ми могли б спочатку знайти загальну кількість калорій для всього рецепту, а потім розділити його на кількість вироблених міні-кексів. Щоб знайти загальну кількість калорій для рецепта, ми могли б помножити калорії на стандартний кекс на кількість на кекс. Зверніть увагу, що це створює багатоступінчастий шлях рішення. Часто простіше вирішити проблему невеликими кроками, ніж намагатися знайти спосіб переходу безпосередньо від заданої інформації до рішення.

    Тепер ми можемо виконати наш план:

    \(12 \text{ muffins} \cdot \dfrac{250 \text{ calories}}{\text{muffin}} = 3000 \text{ calories for the whole recipe} \\ \dfrac{3000 \text{ calories}}{20 \text{ mini-muffin}} \text{ gives 150 calories per mini-muffin} \\ 4 \text{ mini-muffins} \cdot \dfrac{150 \text{ calories}}{\text{mini-muffin}} = \text{total } 600 \text{ calories consumed} \)

    Приклад\(\PageIndex{4}\)

    Потрібно замінити дошки на вашій палубі. Про те, скільки будуть коштувати матеріали?

    Рішення

    Є два підходи, які ми могли б застосувати до цієї проблеми:

    1. Оцініть кількість дощок нам знадобиться і знайдіть вартість однієї дошки, або
    2. Оцініть площу палуби і знайдіть приблизну вартість квадратного фута для палубних дощок. Ми візьмемо останній підхід.

    Для цього шляху рішення ми зможемо відповісти на питання, якщо ми знаємо вартість квадратного фута для терасної дошки і квадратний метр настилу. Щоб знайти вартість квадратного фута для настильних дощок, ми могли б обчислити площу однієї дошки та розділити її на вартість цієї дошки. Ми можемо обчислити квадратний метр колоди за допомогою геометричних формул. Отже, для початку нам знадобиться інформація: розміри колоди, а також вартість і розміри однієї палубної дошки.

    Припустимо, що вимірюючи палубу, вона прямокутна, розміром 16 футів на 24 фути, для загальної площі 384 футів\(^2\).

    З відвідування місцевого домашнього магазину ви виявите, що 8-футова на 4-дюймова кедрова палубна дошка коштує близько 7,50 доларів. Площа цієї дошки, що робить необхідне перетворення з дюймів в фути, становить:

    \( 8 \text{ feet} \cdot 4 \text{ inches} \cdot \dfrac{1 \text{ foot}}{12 \text{ inches}} = 2.667 \text{ ft}^2. \\ \text{The cost per square foot is then } \dfrac{$7.50}{2.667 \text{ ft}^2} = $2.8125 \text{ per ft}^2. \\ \text{This will allow us to estimate the material cost for the whole } 384 \text{ ft}^2 \text{ deck: } \$384 \text{ ft}^2 \cdot \dfrac{$2.8125}{\text{ft}^2} = $1080 \text{ total cost} \)

    Звичайно, цей кошторис витрат передбачає відсутність відходів, що рідко буває. Загальноприйнято додавати щонайменше 10% до кошторису витрат для обліку відходів.

    Приклад\(\PageIndex{5}\)

    Чи варто купувати гібрид Hyundai Sonata замість звичайного Hyundai Sonata?

    Рішення

    Щоб прийняти це рішення, треба спочатку вирішити, якою буде наша основа для порівняння. Для цілей цього прикладу ми зосередимося на витратах на паливо та закупівлю, але вплив на навколишнє середовище та витрати на технічне обслуговування є іншими факторами, які покупець може враховувати.

    Було б цікаво порівняти вартість газу для запуску обох автомобілів протягом року. Щоб визначити це, нам потрібно буде знати милі на галон обидва автомобілі, а також кількість миль, які ми очікуємо проїхати через рік. З цієї інформації ми можемо знайти кількість галонів, необхідних за рік. Використовуючи ціну газу за галон, ми можемо знайти поточну вартість.

    З веб-сайту Hyundai, 2013 Sonata отримає 24 милі на галон (mpg) у місті та 35 миль на галон на шосе. Гібрид отримає 35 миль на галон у місті та 40 миль на галон на шосе.

    Середній водій проїжджає близько 12 000 миль на рік. Припустимо, що ви очікуєте проїхати близько 75% цього в місті, тому 9,000 міських миль на рік і 3000 кілометрів шосе на рік.

    Потім ми можемо знайти кількість галонів, які кожен автомобіль вимагатиме за рік.

    \( \text{Sonata: } 9000 \text{ city miles} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{24 \text{ city miles}} + 3000 \text{ highway miles} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{35 \text{ city miles}} = 460.7 \text{ gallons} \\ \text{Hybrid: } 9000 \text{ city miles} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{35 \text{ city miles}} + 3000 \text{ highway miles} \cdot \dfrac{1 \text{ gallon}}{40 \text{ city miles}} = 332.1 \text{ gallons} \\ \text{If gas in your area averages about \($\)3.50 ми можемо використовувати це для пошуку поточної вартості:}\\ text {Соната:} 460.7\ текст {галони}\ cdot\ dfrac {$3.50} {\ текст {галон}} = $1612.45\\ текст {гібрид:} 332.1\ текст {галони}\ cdot\ dfrac {$3.50} {\ текст {галон}} = $16162.35\)

    Гібрид заощадить $450,10 на рік. Витрати на газ для гібрида приблизно\( \dfrac{$450.10}{$1612.45} = 0.279 = 27.9% \) нижче, ніж витрати на стандартну Сонату.

    Хоча тут корисні як абсолютні, так і відносні порівняння, вони все ще важко відповісти на початкове запитання, оскільки «чи варто» означає, що існує певний компроміс щодо економії газу. Дійсно, гібридна Соната коштує близько $25 850, в порівнянні з базовою моделлю для звичайної Sonata, в $20 895.

    Щоб краще відповісти на питання «чи варто», ми могли б вивчити, скільки часу знадобиться економія газу, щоб компенсувати додаткові початкові витрати. Гібрид коштує на 4965 доларів дорожче. При економії газу в $451.10 на рік знадобиться близько 11 років, щоб економія газу компенсувала більш високі початкові витрати.

    Можна зробити висновок, що якщо ви розраховуєте володіти автомобілем 11 років, гібрид дійсно того вартий. Якщо ви плануєте володіти автомобілем менше 11 років, це все одно може коштувати того, так як вартість перепродажу гібрида може бути вище, або з інших негрошових причин. Це випадок, коли математика може допомогти керувати вашим рішенням, але вона не може прийняти його за вас.

    Спробуйте зараз 6

    Якщо ви подорожуєте з Сіетла, штат Вашингтон до Spokane WA на триденну конференцію, чи має сенс їздити чи літати?

    Спробуйте зараз Відповіді

    1. Ціна продажу становить $799 (0,70) = $559,30. Після оподаткування ціна становить $559.30 (1.092) = $610,76
    2. 2001-2002: Абсолютна зміна: 0,43 трильйона доларів. Відносна зміна: 7,45% 2005-2006: Абсолютна зміна: 0,54 трлн. Відносна зміна: 6,83% 2005-2006 побачили більший абсолютний приріст, але менший відносний приріст.
    3. Без додаткової інформації важко судити про ці аргументи. Це ускладнюється складністю Medicare. Як з'ясовується, 716 мільярдів доларів - це не скорочення поточних витрат, а скорочення майбутніх збільшень витрат, значною мірою зменшуючи майбутнє зростання виплат за охорону здоров'я. При цьому хоча б числові претензії в обох твердженнях можна було б вважати хоча б частково вірними. Ось одне джерело додаткової інформації, якщо ви зацікавлені: http://factcheck.org/2012/08/a-campa... of-mediscare/
    4. \( 18 \text{ inches} \cdot \dfrac{1 \text{ foot}}{12 \text{ inches}} \cdot \dfrac{19.8 \text{ pounds}}{1000 \text{ feet}} \cdot \dfrac{16 \text{ ounces}}{1 \text{ pound}} ≈ 0.475 \text{ ounces} \)
    5. Оригінальна пісочниця має обсяг 64 футів\(^3\). Менша пісочниця має об'єм 24 фути\(^3\). \( \dfrac{48 \text{ bags}}{64 \text{ ft}^3} = \dfrac{x \text{ bags}}{24 \text{ ft}^3} \)результати в\(x =\) 18 мішках
    6. Наданої інформації недостатньо, щоб відповісти на питання, тому доведеться зробити деякі припущення, і шукати деякі значення.

    Припущення:

    1. Ми володіємо автомобілем. Припустимо, він отримує 24 милі до галона. Будемо розглядати тільки вартість газу.
    2. Нам не потрібно буде орендувати автомобіль в Спокане, але потрібно буде добиратися на таксі з аеропорту до конференц-готелю в центрі міста і назад.
    3. Ми можемо змусити когось висадити нас в аеропорту, тому нам не потрібно розглядати паркування в аеропорту.
    4. Ми не будемо розглядати, чи втратимо ми гроші, потребуючи відпусток на роботу, щоб їздити.

    Значення шукали (ваші значення можуть відрізнятися)

    1. Вартість перельоту: $184
    2. Вартість таксі: $25 в кожну сторону (оцінка, згідно з сайтом готелю)
    3. Відстань водіння: 280 миль в кожну сторону
    4. Вартість газу: $3.79 за галон

    Вартість перельоту: $184 вартість польоту +$50 в тарифах таксі = $234.

    Вартість водіння: 560 миль туди і назад потребують 23,3 галонів газу, вартістю 88,31$.

    Виходячи з цих припущень, водіння обходиться дешевше. Однак наше припущення, що ми включаємо лише вартість газу, може бути не хорошим. Податкове законодавство дозволяє відраховувати $0.55 (у 2012 році) за кожну пройдену милю, значення, яке припадає на газ, а також частину вартості автомобіля, страхування, обслуговування тощо Виходячи з цього числа, вартість водіння становила б 319 доларів.