6.9: Порядки
- Page ID
- 66519
Скільки вам було років, коли вам був мільйон секунд? (Це 1 000 000.)
- Перш ніж розібратися, запишіть припущення. Який у вас інстинкт кишечника? Близько дня? Тиждень? Через місяць? Рік? Ви вже досягли цього віку? А може, ти так довго не проживеш?
- Тепер розберемося! Коли було/буде ваш мільйонний день народження?
Скільки вам було років, коли вам був мільярд секунд? (Це 1 000 000 000.)
- Знову ж таки, перш ніж розібратися, запишіть припущення.
- Тепер розберемося! Коли було/буде ваш мільярдний день народження?
Ви були здивовані відповідями? Люди (у будь-якому випадку більшість людей), як правило, мають дуже хороший сенс для невеликих, повсякденних чисел, але мають дуже погані інстинкти щодо великих чисел. Одна проблема полягає в тому, що ми схильні мислити адитивно, ніби один мільярд - це близько мільйона плюс мільйон більше (дати або взяти). Але нам потрібно мислити багатоплікативно в таких ситуаціях. Один мільярд - це 1000 × мільйон.
Таким чином, ви могли б просто взяти свою відповідь на проблему 17 і помножити його на 1000, щоб отримати відповідь на проблему 18. Звичайно, вам, мабуть, все одно доведеться зробити деякі розрахунки, щоб зрозуміти відповідь.
Коли ваш трильйон другий день народження? Що ви зробите, щоб відсвяткувати?
Борг США - це загальна сума, яку запозичив уряд. (Це запозичення покриває дефіцит - різницю між тим, що витрачає уряд, і тим, що він збирає в податках.) Влітку 2013 року борг США становив близько 10 трильйонів доларів. (Це означає, що більше 10 трильйонів, але менше 100 трлн. Якби ви виписали зображення точок і коробки, точки були б так далеко, як 10 000 000 000 000 місце.)
- Якщо США виплачують по одній копійці кожну секунду, чи буде погашений державний борг у вашому житті? Поясніть свою відповідь.
- У заголовку від квітня 2013 року говориться: «США заплатять 35 мільярдів доларів у другому кварталі». Припустимо, США виплачують 35 мільярдів доларів щокварталу (так чотири рази на рік). Про те, скільки років знадобиться для сплати загального держборгу?
Ось деякі великі проблеми, про які слід подумати. Чи можете ви їх вирішити?
- Припустимо, у вас мільйон драже, і ви облицьовуєте ними підлогу. Наскільки велику площу вони покриють? Класна кімната? Футбольне поле? Щось більше? Що робити, якщо це був мільярд драже?
- Припустимо, у вас є мільйон драже, і ви складаєте їх. Яким би він був високим? Настільки ж високий, як ви? Як дерево? Як хмарочос? Що робити, якщо це був мільярд драже? Про те, скільки драже (який порядок величини) вам потрібно було б скласти, щоб досягти Місяця? Поясніть свої відповіді.
Проблеми Фермі
Джеймс Босвелл писав:
Знання буває двох видів. Ми самі знаємо тему, або ми знаємо, де ми можемо знайти інформацію про нього.
Але математика доводить це неправильно. Існує насправді третій вид знань: Знання, які ви самі з'ясовуєте. Насправді це те, що вчені і математики заробляють на життя: вони створюють нові знання! Починаючи з того, що вже відомо, вони задають питання «а що якщо...». І врешті-решт, вони з'ясовують щось нове, те, чого ніхто ніколи не знав раніше!
Навіть для знань, які ви могли б подивитися вгору (або запитати когось), часто можна з'ясувати відповідь (або близьке наближення до відповіді) самостійно. Потрібно використовувати трохи знань, і трохи кмітливості.
Проблеми Фермі, названі на честь фізика Енріко Фермі, передбачають використання ваших знань, створення освічених здогадок та виконання розумних розрахунків, щоб придумати відповідь, яка спочатку може здатися невідповідною.
Ось класична проблема Фермі: скільки вчителів початкової школи в штаті Гаваї?
Ви можете подумати: як я можу відповісти на це? Чому б просто не погуглити його? (Але деякі проблеми Фермі, з якими ми зустрінемося, матимуть — ахнути! — відповіді, що не піддаються гуглу.)
Спочатку давайте визначимося з нашими термінами. Ми скажемо, що ми дбаємо про викладачів в класі (не адміністраторів, керівників чи іншого шкільного персоналу), які мають постійну посаду (не підрозділ, помічник, вчитель ресурсної кімнати або учнівський вчитель) у класі К-5 класу.
Але давайте зупинимося і подумаємо. Чи знаєте ви населення Гаваїв? Це близько 1 000 000 чоловік. (Це, звичайно, не точно. Але це вправа - це оцінка. Ми намагаємося отримати на порядок відповіді.)
Скільки з цих людей є учнями початкової школи? Ну а що ви знаєте про населення Гаваїв? Або те, що ви підозрюєте, є правдою? Розумним припущенням було б те, що населення рівномірно розподілено по всіх вікових групах. Це дало б населенню, яке виглядає приблизно так:
| віковий діапазон | Кількість людей |
|---|---|
| 0 — 9 | 125 000 |
| 10 — 19 | 125 000 |
| 20 — 29 | 125 000 |
| 30 — 39 | 125 000 |
| 40 — 49 | 125 000 |
| 50 — 59 | 125 000 |
| 60 — 69 | 125 000 |
| 70 — 79 | 125 000 |
Ми припустимо, що люди не живуть за 80. Звичайно, деякі люди роблять! Але ми всі про спрощення припущень прямо зараз. Це дає нам вісім вікових категорій, з приблизно 125 000 людей у кожній категорії.
Ще краще припущення (оскільки у нас є великий університет, який приваблює багато студентів) полягає в тому, що навколо коледжу є «удар». І деякі люди живуть за 80 років, але, ймовірно, менше людей у старших вікових дужках. Може, поломка щось на зразок цього? (Якщо у вас є кращі здогадки, використовуйте їх!)
| віковий діапазон | Кількість людей |
|---|---|
| 0 — 9 | 125 000 |
| 10 — 19 | 130 000 |
| 20 — 29 | 140 000 |
| 30 — 39 | 125 000 |
| 40 — 49 | 125 000 |
| 50 — 59 | 125 000 |
| 60 — 69 | 120 000 |
| > 70 | 105 000 |
Отже, скільки студентів К—5 на Гаваях? Це охоплює близько шести років діапазону 0-9. Якщо ми все ще йдемо з приблизно однаковою кількістю людей у кожному віці, у кожному класі має бути близько 12 500 на загальну суму 12500 × 6 = 75 000 K—5 учнів.
Гаразд, але нам дуже хотілося дізнатися про викладачів К—5. Одна приємна річ про початкову школу: у класі, як правило, є лише один викладач. Тому нам потрібна оцінка того, скільки класів, і це скаже нам, скільки вчителів.
Отже, скільки учнів у кожному класі? Це, мабуть, трохи змінюється, з меншими класами дитячого садка (оскільки вони більш бурхливі і потребують більшої уваги) та більших класів п'ятого класу. Є також менші класи в приватних школах та чартерних школах, але більші класи в державних школах. Розумний середній показник може становити 25 учнів на клас у всіх класах К-5 та всіх школах.
Таким чином, це робить 75 000 ÷ 25 = 3000 К—5 класів на Гаваях. І це має бути те ж саме, що і кількість викладачів К—5.
Наскільки хороша ця оцінка? Чи можете ви придумати спосіб перевірити і дізнатися напевно?
Отже, тепер ви бачите процес вирішення проблеми Фермі:
- Визначте свої умови.
- Запишіть те, що знаєте.
- Складіть кілька розумних здогадки/оцінок.
- Зробіть кілька простих розрахунків.
Спробуйте свої сили в деяких з них:
Скільки грошей ваш університет заробляє на доході від паркування щороку?
Скільки туристів відвідує Вайкікі за рік?
Скільки газу було б зекономлено на Гаваях, якби кожен десятий чоловік перейшов на автопул?
Наскільки високо альпініст може піднятися на гору на енергетиці в одній шоколадці?
Скільки піци споживають щомісяця студенти вашого університету?
Скільки коштувало б забезпечити безкоштовний денний догляд кожному чотирирічному віці в США?
Скільки книг у головній бібліотеці вашого університету?
Складіть власну проблему Фермі... що б вам було цікаво обчислити? Тоді спробуйте її вирішити!