6.8: Операції з десятковими знаками
- Page ID
- 66512
Звичайно, ми можемо додавати, віднімати, множити і ділити десяткові числа, переписуючи їх як дроби і використовуючи алгоритми, які ми знаємо там. Звичайно, іноді це набагато більше роботи, щоб перетворити на дроби, ніж просто працювати безпосередньо з десятковими знаками (до тих пір, поки ви знаєте, що ви робите). Отже, давайте подумаємо про значення місця та обчислення з десятковими знаками.
Додавання та віднімання десяткових знаків
Пам'ятайте, що коли ми використовували модель «Dots & Boxes» для додавання, це виглядало так.
Потім ми виконуємо вибухи, поки в кожній коробці не буде менше десяти крапок, і ми виявимо, що:\[163 + 489 = 652 \ldotp \nonumber \]
Віднімання було трохи складніше.
Почнемо з представлення 921:
Оскільки ми хочемо «забрати» 551, це означає, що ми забираємо п'ять крапок з коробки сотень, залишаючи чотири крапки.
Тепер ми хочемо забрати п'ять крапок з коробки десятків, але ми не можемо цього зробити! Там всього дві точки. Що ми можемо зробити? Ну, у нас ще є кілька сотень, тож ми можемо «розірвати» сотні крапок, а замість цього поставити десять крапок у коробку десятків. Тоді ми зможемо забрати п'ять з них, залишивши сім.
(Зверніть увагу, що у нас також є одна менша точка в коробці сотень; є тільки три точки там зараз.)
Тепер ми хочемо взяти одну крапку з тих коробки, і це не залишає крапок там.
Робимо висновок, що: 921 - 551 = 370.
На свій розсуд
Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером.
- Для кожного розрахунку намалюйте модель «Dots & Boxes» і використовуйте її, щоб знайти результат розрахунку. $\ почати {спліт} &3.56 + 7.95\ квадроцикл 1.452 + 32.27\ квадрад 3.0205 + 409.2019\\ &15.225 - 7.209\ квадрад 14.793 - 8.95\ квадрад 12.5 - 3.0002\ ldotp\ кінець {спліт} $$
- Для кожного обчислення нижче швидко додайте десяткові знаки, використовуючи ті самі міркування, що і в попередніх задачах. $0.0066 + 0.9\ qquad 0.25 + 0.0088\ qquad 0. \ оверлайн {20} + 0. \ оверлайн {01}\ ldotp$$
- Хлоя додала 0,2 і 0,02 і отримала відповідь 0,4. Яка була ймовірною помилкою Хлої? Як її вчитель, як ви могли допомогти Хлої краще зрозуміти операцію додавання?
- У початковій школі учнів навчають складати та віднімати десяткові знаки за допомогою «вишикування десяткових крапок». Використовуйте модель «Dots & Boxes», щоб пояснити, чому це скорочення має сенс.
Множення та ділення: повноваження 10
Давайте швидко розглянемо модель «Dots & Boxes» для множення цілих чисел, перш ніж ми повернемося до розмови про десяткові числа.
Якщо ми хочемо обчислити 243192 × 4, це допомагає згадати, що означає множення. Одне тлумачення: Я хочу додати до себе 243192 в цілому чотири рази. Так буде:
- 2 × 4 точки в одному місці,
- 9 × 4 точки в десятках місце,
- 1 × 4 точки в сотні місце,
- і так далі.
Ось початок обчислень:
\[243192 \times 4 = 8\; | \; 16\; | \; 12\; | \; 4\; | \; 36\; | \; 8 \ldotp \nonumber \]
Щоб закінчити обчислення, нам потрібно зробити кілька вибухів, щоб записати результат у вигляді знайомого базового числа 10:
\[243192 \times 4 = 972768 \ldotp \nonumber \]
На свій розсуд
Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером.
- Виконуйте кожне обчислення, використовуючи міркування, як у прикладі множення вище. $ (a)\; 2.3\ раз 10\ квадратний (b)\; 3.56\ раз 10\ квадратний (c)\; 1.452\ раз 100\ ldotp$$
- Виконуйте кожне обчислення, використовуючи міркування, як у прикладах «Ділення та десяткові числа». $$7.1\ div 10\ qquad 98.55\ div 10\ qquad 145.2\ div 100\ ldotp$$
Ви знаєте, що множення цілого числа базової десятки на 10 призводить до додавання нуля до правого кінця числа. Ваша робота вище повинна переконати вас, що це не працює для десяткових знаків!
- Напишіть нове правило, яке працює як для цілих чисел, так і для десяткових знаків:
Якщо помножити ціле число або десяткове число на 10, простий спосіб знайти результат
___________________________.
- Обгрунтуйте претензію, яку ви висунули вище.
- З цим мисленням можна піти набагато далі. Який ефект ділення числа, записаного в десятковому численні, на десять? На сто? Обґрунтуйте те, що ви говорите.
Множення десяткових знаків
Ви напевно знаєте алгоритм множення десяткових чисел вручну. Але якщо добре продумати алгоритм, має сенс, виходячи з того, що представляють собою десяткові числа і що означає множити. Давайте почнемо з використання значення числа, щоб подумати про множення цілих чисел на десяткові числа.
Розглянемо вираз
\[16 \times \Box \ldotp \nonumber \]
Заповніть поле цілим числом або десятковим числом, щоб товар був:
- Більше 100.
- Більше 64, але менше 100.
- Мінімум 17, але менше 32.
- Рівний 16.
- Більше 8, але менше 16.
- Менше 8, але більше 0.
Обов'язково виправдайте свої відповіді. Ви повинні використовувати свій числовий сенс, а не обчислення вручну або за допомогою калькулятора!
Один із способів множення десяткових чисел шляхом перетворення їх у дроби, а потім використовуючи те, що ви знаєте про множення дробів. Є й інші способи думати про множення, які зосереджуються на сенсі числа та значення місця, а не на механіці обчислень.
Припустимо, студент хотів обчислити 321 × 0,4, але він ще не знав стандартного алгоритму. Що вона може зробити? Ось одна ідея:
Я знаю, що 321 × 0,4 = 1284. Оскільки я хочу помножити на 0,4, а не на 4, моя відповідь повинна бути\(\frac{1}{10}\) такою. Так\[321 \times 0.4 = 128.4 \ldotp \nonumber \]
Слід зауважити, що учень використовує асоціативне властивість множення:
\[321 \times 0.4 = 321 \times \frac{4}{10} = 321 \times \left(4 \times \dfrac{1}{10} \right) = (321 \times 4) \times \frac{1}{10} \ldotp \nonumber \]
Для кожного обчислення нижче результат обчислення відображається правильно, але десяткова крапка відсутня. Використовуйте значення числа та міркування, щоб правильно розмістити десяткову крапку, і коротко обґрунтувати, як ви знаєте, що маєте рацію.
(Не використовуйте калькулятор, не розробляйте множення вручну, і не використовуйте хитрість «підрахунку кількості десяткових знаків». Використовуйте свій номер сенс!)
\[\begin{split} &(a)\; 855 \times 1.7 = 14535 \qquad (b)\; 549 \times 0.33 = 18117 \\ &(c)\; 2.03 \times 1028 = 208684 \qquad (d)\; 999 \times 0.53 = 52947 \\ &(e)\; 30.02 \times 472 = 1416944 \qquad (f)\; 173 \times 0.09 = 1557 \ldotp \end{split} \nonumber \]
На свій розсуд
Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером.
- Запишіть кожне число, задане у вигляді дробу. (Запишіть їх як «неправильні дроби», а не «мішані числа».) $\ почати {спліт} & (а)\; 15.2\ qquad (b)\; 3.43\\ & (c)\; 0.0021\ qquad (d)\; 13.02026\ ldotp\ кінець {спліт} $$
- У вправі (1) вище, як кількість цифр праворуч від десяткової крапки порівнюється з кількістю нулів у знаменнику? Використовуйте те, що ви знаєте про значення місця, щоб пояснити, чому ваша відповідь завжди вірна (не лише для прикладів вище).
- Знайдіть кожен товар. $\ почати {спліт} & (a)\; 10\ раз 10000\ qquad (b)\; 100\ раз 1000\\ & (c)\; 100000\ раз 1000\ qquad (d)\; 10^ {м}\ раз 10^ {n}\ ldotp\ кінець {спліт} $$
- У вправі (3) вище, як число нулів у добутку пов'язане з кількістю нулів у двох множниках? Використовуйте те, що ви знаєте про значення місця, щоб пояснити, чому ваша відповідь завжди вірна (не лише для прикладів вище).
- Якщо записати 0.037 як дріб, скільки нулів буде в знаменнику?
- Що робити, якщо написати 0.59 як дріб, скільки нулів буде в знаменнику?
- Скільки нулів буде в знаменнику добутку 0,037 і 0,59? (Не обчислюйте продукт, щоб відповісти на це питання!)
- Використовуйте той факт, що 37 × 59 = 2183 і ваші відповіді на вправи вище знайти 0,037 × 0,59. Поясніть, як ви отримали свою відповідь.
Стандартний алгоритм множення десяткових чисел можна описати так:
Крок 1
Обчислити твір так, ніби два фактори були цілими числами. (Ігнорувати десяткові крапки.)
Крок 2
Підрахуйте кількість цифр праворуч від десяткової крапки в кожному множнику і складіть ці числа разом. Викличте результат
.
Крок 3
Сума, яку ви знайшли на кроці 2, буде кількістю цифр праворуч від десяткової крапки у добутку. Тому розміщуйте десяткову крапку відповідно, підрахувавши відповідну кількість знаків праворуч.
- Запишіть два приклади множення десяткових чисел за допомогою стандартного алгоритму вище.
- Використовуйте те, що ви знаєте про значення місця, дроби та множення, щоб ретельно пояснити, чому стандартний алгоритм, описаний вище, має сенс.
Ділення десяткових знаків
Як і слід було очікувати, поділ десяткових знаків пояснити складніше, ніж будь-яка інша операція. Важко адаптувати нашу модель «Dots & Boxes» для поділу. Припустимо, ми хочемо обчислити 15.37 ÷ 0.013. Ми можемо, звичайно, намалювати малюнок для 15.37, але як ми могли б зробити групи з 0,013 точок?
Почнемо з того, що поділимося тим, що ви вже знаєте. Виконайте цей розрахунок (від руки, а не за допомогою калькулятора), показавши всю свою роботу. Поясніть свій метод партнеру і подивіться, чи ваш партнер обчислюється таким же чином.
\[0.0351 \div 0.074 \ldotp \nonumber \]
На свій розсуд
Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером.
- Поясніть, чому ці два дроби еквівалентні. $$\ гідророзриву {12.33} {44.1}\ квадратний і\ квад\ гідророзрив {123.3} {441}\ ldotp$$
- Поясніть, чому ці два обчислення ділення дають однаковий результат. $$12.33\ div 44.1\ quad і\ quad 123.3\ div 441\ ldotp$$
- Поясніть, чому ці три дроби еквівалентні. $\ гідророзриву {325.5} {75.133},\ квад\ гідророзриву {3255} {751.33},\ квадратний і\ квадратний\ гідророзрив {32550} {7513.3}\ ldotp$$
- Поясніть, чому ці три обчислення ділення дають однаковий результат. $325.5\ div 75.133,\ quad 3255\ div 751.33,\ quad і\ quad 32550\ div 7513.3\ ldotp$$
- Заповніть поле, щоб рівняння було істинним. Обов'язково виправдайте свою відповідь. $$\ розрив {325.5} {75.133} =\ frac {\ Box} {75133}\ ldotp$$
Стандартний алгоритм ділення чисел, представлених скінченними десятковими розширеннями, приблизно такий:
Крок 1
Перемістіть десяткову крапку дільника до кінця числа.
Крок 2
Перемістіть десяткову крапку дивіденда на таку ж кількість позицій (однакова відстань і напрямок).
Крок 3
Розділіть новий десятковий дивіденд (з кроку 2) на новий дільник цілого числа (з кроку 1). Оскільки ми ділимо на ціле число, наші стандартні методи мають сенс.
Це досить механічний опис, і не дає багато розуміння того, чому цей алгоритм працює.
Запишіть як мінімум два приклади обчислень за допомогою алгоритму, описаного вище. (Складіть свої власні номери для тестування. Обов'язково показуйте кожен крок наочно.) Ви можете зробити поділ, намалювавши зображення «Точки та коробки» або іншим методом (але не використовуйте калькулятор). Тоді дайте відповідь на ці більш загальні питання.
- Припустимо, ви хочете обчислити a ÷ b, де a і b - десяткові числа. Уважно поясніть, чому (10 • а) ÷ (10 • б) дасть той же результат.
- Припустимо, ви хочете обчислити a ÷ b, де a і b - десяткові числа. Уважно поясніть, чому (100 • а) ÷ (100 • б) дасть той же результат.
- Припустимо, ви хочете обчислити a ÷ b де
і
є десятковими числами. Уважно поясніть, чому (10 к • а) ÷ (10 к • б) дасть той же результат. - Припустимо, b має кінцеве десяткове розширення. Уважно поясніть, чому можна знайти потужність 10, щоб 10 k • b - це ціле число.
Уважно поясніть, чому алгоритм, описаний вище в три етапи, працює для обчислення ділення десяткових чисел. Вам потрібно пояснити, що відбувається, коли ви «переміщуєте десяткову крапку» у кроках 1 та 2, і чому результат, який ви обчислюєте на кроці 3, такий же, як і початкова проблема.