6.6: Припинення або повторення?
- Page ID
- 66489
Ви бачили, що коли ви пишете дріб як десятковий, іноді десятковий закінчується, як:
\[\frac{1}{2} = 0.5 \quad \text{and} \quad \frac{33}{100} = 0.033 \ldotp \nonumber \]
Однак деякі дроби мають десяткові уявлення, які продовжуються назавжди у повторюваному шаблоні, наприклад:
\[\frac{1}{3} = 0.33333 \ldots \quad \text{and} \quad \frac{6}{7} = 0.857142857142857142857142 \ldots \nonumber \]
Це не зовсім очевидно, але це правда: це єдині дві речі, які можуть статися, коли ви пишете дріб як десятковий.
Звичайно, ви можете уявити (але ніколи не записувати) десяткове число, яке триває назавжди, але не повторюється, наприклад:
\[0.1010010001000010000001 \ldots \quad \text{and} \quad \pi = 3.14159265358979 \ldots \nonumber \]
Але ці числа ніколи не можуть бути записані як хороший дріб,\(\frac{a}{b}\) де
і
є цілими числами. Їх називають ірраціональними числами. Причина цієї назви: Дроби подібні\(\frac{a}{b}\) також називаються співвідношеннями. Ірраціональні числа не можна виразити у вигляді співвідношення двох цілих чисел.
Поки що ми подумаємо над питанням: які дроби мають десяткові уявлення, які закінчуються, а які дроби мають десяткові уявлення, які повторюються назавжди? Ми зосередимося тільки на одиничних дробах.
Одиничний дріб - це дріб, який має 1 в чисельнику. Це виглядає як\(\frac{1}{n}\) для якогось цілого числа
.
- Які з наступних дробів мають нескінченно довгі десяткові уявлення, а які ні? $$\ гідророзрив {1} {2}\ квад\ гідророзрив {1} {3}\ квад\ гідророзрив {1} {4}\ квад\ гідророзрив {1}\ квад\ гідророзрив {1} {6}\ квад\ гідророзрив {1} {7}\ квад\ гідророзрив {1} {8}\ квад\ гідророзрив {1} 1} {10}\ ldotp$$
- Спробуйте ще кілька прикладів самостійно. У вас є здогадки?
Дріб\(\frac{1}{b}\) має нескінченно довге десяткове розширення, якщо:
________________________________.
Заповніть таблицю нижче, яка показує десяткове розширення одиничних дробів, де знаменник - ступінь 2. (Можливо, ви захочете використовувати калькулятор для обчислення десяткових подань. Справа в тому, щоб шукати, а потім пояснювати закономірність, а не обчислювати вручну.)
Спробуйте ще більше прикладів, поки не зможете зробити гіпотезу: Що таке десяткове подання одиничного дробу\(\frac{1}{2^{n}}\)?
| Дріб | знаменник | Десяткова |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | \(2\) | \(0.5\) |
| \(\frac{1}{4}\) | \(2^{2}\) | \(0.25\) |
| \(\frac{1}{8}\) | \(2^{3}\) | \(0.125\) |
| \(\frac{1}{16}\) | ||
| \(\frac{1}{32}\) | ||
| \(\frac{1}{64}\) | ||
| \(\frac{1}{128}\) | ||
| \(\frac{1}{256}\) |
Заповніть таблицю нижче, яка показує десяткове розширення одиничних дробів, де знаменник - ступінь 5. (Можливо, ви захочете використовувати калькулятор для обчислення десяткових подань. Справа в тому, щоб шукати, а потім пояснювати закономірність, а не обчислювати вручну.)
Спробуйте ще більше прикладів, поки не зможете зробити гіпотезу: Що таке десяткове подання одиничного дробу\(\frac{1}{5^{n}}\)?
| Дріб | знаменник | Десяткова |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{5}\) | \(5\) | \(0.2\) |
| \(\frac{1}{25}\) | \(5^{2}\) | \(0.04\) |
| \(\frac{1}{125}\) | \(5^{3}\) | |
| \(\frac{1}{625}\) | ||
| \(\frac{1}{3125}\) | ||
| \(\frac{1}{15625}\) |
Маркус помітив закономірність у таблиці з проблеми 7, але мав проблеми пояснити саме те, що він помітив. Ось що він сказав своїй групі:
Я згадав, що коли ми писали дроби як десяткові числа раніше, ми намагалися зробити знаменник в ступінь десяти. Таким чином, ми можемо зробити це: $\ почати {спліт}\ розрив {1} {2} &=\ гідророзриву {1} {2}\ cdot\ гідророзриву {5} {5} =\ frac {5} {10} = 0.5\ ldotp\\ frac {1} {4} &=\ гідророзриву {1} {4}\ cdot\ frac {25}} =\ гідророзриву {25} {100} = 0.25\ ldotp\\ гідророзриву {1} {8} &=\ гідророзриву {1} {8}\ cdot\ гідророзриву {125} =\ frac {125} {1000} = 0.125\ ldotp\ кінець {спліт} $$Коли ми тільки є 2, ми завжди можемо перетворити їх в 10, додавши достатньо 5.
- Випишіть ще кілька прикладів того, що відкрив Маркус.
- Якби Маркус мав одиничний дріб\(\frac{1}{2^{n}}\), яким був би його перший крок, щоб перетворити її в десяткову? Як виглядатиме десяткове розширення і чому?
- Тепер подумайте про одиничні дроби зі ступенями 5 в знаменнику. Якби Маркус мав одиничний дріб\(\frac{1}{5^{n}}\), яким був би його перший крок, щоб перетворити її в десяткову? Як виглядатиме десяткове розширення і чому?
Маркус мав дуже гарне розуміння, але він не дуже добре пояснив це. Він насправді не означає, що ми «перетворюємо 2 в 10». І він не робить жодного доповнення, тому говорити про «додавання достатньо 5» досить заплутано.
- Заповніть заяву нижче, заповнивши чисельник дробу.
Одиничний дріб\(\frac{1}{2^{n}}\) має десяткове подання, яке закінчується. Представлення буде мати n десяткових знаків і буде еквівалентно дробу\(\frac{?}{10^{n}} \ldotp\)
- Напишіть кращу версію пояснення Маркуса, щоб виправдати, чому цей факт вірний.
Напишіть твердження про десяткових уявленнях одиничних дробів\(\frac{?}{5^{n}}\) і обгрунтуйте, що ваше твердження вірне. (Використовуйте оператор у задачі 9 як модель.)
Кожен з перелічених нижче дробів має кінцеве десяткове представлення. Поясніть, як ви могли це знати напевно, без фактичного обчислення десяткового подання. \[\frac{1}{10} \quad \frac{1}{20} \quad \frac{1}{50} \quad \frac{1}{200} \quad \frac{1}{500} \quad \frac{1}{4000} \ldotp \nonumber \]
Період повторюваної десяткової
Якщо знаменник дробу може бути врахований лише на 2 і 5, ви завжди можете сформувати еквівалентний дріб, де знаменник - це ступінь десяти.
Наприклад, якщо ми починаємо з дробу
\[\frac{1}{2^{a} 5^{b}}, \nonumber \]
ми можемо сформувати еквівалентний дріб
\[\frac{1}{2^{a} 5^{b}} = \frac{1}{2^{a} 5^{b}} \cdot \frac{2^{b} 5^{a}}{2^{b} 5^{a}} = \frac{2^{b} 5^{a}}{2^{a+b} 5^{a+b}} = \frac{2^{b} 5^{a}}{10^{a+b}} \ldotp \nonumber \]
Знаменником цього дробу є ступінь десяти, тому десяткове розширення кінцеве з (максимум)\(a+b\) знаками.
А як щодо дробів, де знаменник має інші прості множники крім 2-х і 5-х? Звичайно, ми не можемо перетворити знаменник у ступінь 10, тому що повноваження 10 мають лише 2 та 5 як прості множники. Таким чином, в цьому випадку десяткове розширення буде тривати назавжди. Але чому він матиме повторюваний візерунок? І чи є ще щось цікаве, що ми можемо сказати в цьому випадку?
Період повторюваного десяткового числа - це найменша кількість цифр, які повторюються.
Наприклад, ми побачили, що
\[\frac{1}{3} = 0.33333 \cdots = 0. \bar{3} \ldotp \nonumber \]
Повторювана частина - це лише одна цифра 3, тому період цього повторюваного десяткового числа дорівнює одиниці.
Так само ми знаємо, що
\[\frac{6}{7} = 0.857142857142857142857142 \ldots = 0. \overline{857142} \ldotp \nonumber \]
Найменша повторювана частина - це цифри 857142, тому період цієї повторюваної десяткової частини дорівнює 6.
Можна придумати це так: крапка - це довжина рядка цифр під вінкулом (горизонтальна смуга, яка вказує на повторювані цифри).
Заповніть таблицю нижче, яка показує десяткове розширення одиничних дробів, де знаменник має прості множники крім 2 і 5. (Можливо, ви захочете використовувати калькулятор для обчислення десяткових подань. Справа в тому, щоб шукати, а потім пояснювати закономірність, а не обчислювати вручну.)
Спробуйте ще більше прикладів, поки не зможете зробити гіпотезу: Що ви можете сказати про період дробу,\(\frac{1}{n}\) коли n має прості множники крім 2 і 5?
| Дріб | знаменник | Десяткова |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{3}\) | \(0.1 \bar{6}\) | \(1\) |
| \(\frac{1}{6}\) | \(0. \overline{142857}\) | \(6\) |
| \(\frac{1}{7}\) | ||
| \(\frac{1}{9}\) | ||
| \(\frac{1}{11}\) | ||
| \(\frac{1}{12}\) | ||
| \(\frac{1}{13}\) | ||
| \(\frac{1}{14}\) |
Уявіть, що ви робите поділ «Dots & Boxes», щоб обчислити десяткове представлення одиничного дробу, як\(\frac{1}{6}\). Ви починаєте з однієї точки в полі одиниць:
Щоб знайти десяткове розширення, ви «не вибухаєте» точки, формуєте групи з шести, бачите, скільки точок залишилося, і повторюєте.
Намалюйте власні фотографії, щоб слідувати цьому поясненню:
Малюнок 1: Коли ви не вибухаєте першу крапку, ви отримуєте 10 крапок у\(\frac{1}{10}\) вікні, що дає одну групу з шести з залишком 4.
Малюнок 2: Коли ви не вибухаєте ці чотири точки, ви отримуєте 40 точок у\(\frac{1}{100}\) полі, що дає шість груп з шести з рештою 4.
Малюнок 3: Розкрийте ці 4 точки, щоб отримати 40 в наступному полі праворуч.
Малюнок 4: Зробіть шість груп з 6 точок із залишком 4.
Оскільки залишок повторився (ми отримали залишок 4 знову), ми бачимо, що процес тепер повториться вічно:
- не вибухнути 4 точки, щоб отримати 40 в наступному полі праворуч,
- складіть шість груп по 6 крапок із залишком 4,
- не вибухнути 4 точки, щоб отримати 40 в наступному полі праворуч,
- складіть шість груп по 6 крапок із залишком 4,
- і так далі назавжди...
На свій розсуд
Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером.
- Використовуйте поділ «Точки та коробки» для обчислення десяткового представлення\(\frac{1}{11}\). Поясніть, як ви точно знаєте, що процес повториться назавжди.
- Використовуйте поділ «Точки та коробки» для обчислення десяткового представлення\(\frac{1}{12}\). Поясніть, як ви точно знаєте, що процес повториться назавжди.
- Які можливі залишки ви можете отримати, використовуючи ділення для обчислення дробу\(\frac{1}{7}\)? Як ви можете бути впевнені, що процес з часом повториться?
- Які можливі залишки ви можете отримати, використовуючи ділення для обчислення дробу\(\frac{1}{9}\)? Як ви можете бути впевнені, що процес з часом повториться?
Припустимо, що
це ціле число, і воно має деякі прості множники крім 2-х і 5-х. Напишіть переконливий аргумент, що:
- Десяткове представлення\(\frac{1}{n}\) буде продовжуватися назавжди (воно не закінчиться).
- Десяткове подання\(\frac{1}{n}\) буде нескінченним повторюваним десятковим.
- Період десяткового подання\(\frac{1}{n}\) буде меншим за n.
- Знайдіть «десяткове» розширення для наступних\(\frac{1}{2}\) основ. Не забудьте показати свою роботу: $$два,\ quad три,\ quad чотири,\ quad five,\ quad шість,\ quad seven\ ldotp$$
- Зробіть припущення: Якщо я напишу десяткове розширення\(\frac{1}{2}\) в базі b, коли це розширення буде кінцевим і коли це буде нескінченне повторюване десяткове розширення?
- Чи можете ви довести, що ваша здогадка вірна?