Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.4: Розподіл і десяткові

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66498

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Коли ви вивчали дроби, у вас було багато різних способів думати про них. Але перший спосіб, до якого ми продовжуємо повертатися, - це думати про дріб як відповідь на проблему поділу.

    Приклад\(\PageIndex{1}\):

    Припустимо, 6 пирогів повинні ділитися порівну між 3 дітьми. Це дає 2 пирога на дитину. Пишемо:

    \[\frac{6}{3} = 2 \ldotp \nonumber \]

    6-pies-3-children.png

    Дріб\(\frac{6}{3}\) еквівалентний відповіді на задачу ділення\(6 \div 3 = 2\). Вона являє собою кількість пирогів, які отримує одна ціла дитина.

    Таким же чином...

    обмін 10 пирогів серед 2 дітей дає\(\frac{10}{2} = 5\) пироги на дитину,

    обмін 8 пирогів серед 2 дітей дає\(\frac{8}{2} = 4\) пироги на дитину,

    обмін 5 пирогів серед 5 дітей дає\(\frac{5}{5} = 1\) пироги на дитину, і

    відповідь на обмін 1 пирогами серед 2 дітей є\(\frac{1}{2}\), який ми називаємо «половинка».

    Пов'язуємо цифру «\(\frac{1}{2}\)» з картинкоюonehalf.png.

    Таким же чином картинкаonethird.png представляє «одну третину», тобто\(\frac{1}{5}\).

    (Це кількість пирога, яку отримає окрема дитина, якщо один пиріг ділиться між трьома дітьми.)

    Картинаonefifth.png називається «одна п'ята» і дійсно\(\frac{1}{5}\), кількість пирога, яку отримує окрема дитина, коли один пиріг ділиться п'ятьма дітьми.

    А картинкаthreefifths.png називається «три п'яті», щоб представити\(\frac{3}{5}\), кількість пирога, яку людина отримує, якщо три пирога діляться п'ятьма дітьми.

    Ми знаємо, як зробити поділ у нашій моделі «Dots & Boxes».

    Приклад: 3906 ÷ 3

    Припустимо, вас попросять обчислити\(3906 \div 3\). Одним із способів інтерпретації цього питання (є й інші) є:

    «Скільки груп з 3 вписується в 3906?»

    У нашій моделі «Точки та коробки» дивіденд 3906 виглядає так:

    divide1-300x74.png

    і три точки виглядають так:divide2.png

    Отже, ми дійсно запитуємо:

    «Скільки групdivide2.png вписується в картину 3906?»

    divide3-300x153.png

    Зверніть увагу, що ми маємо на малюнку:

    • Одна група з 3 в коробці тисяч.
    • Три групи по 3 в коробці сотні.
    • Нульові групи по 3 в коробці десятки.
    • Дві групи по 3 в одній коробці.

    Це показує, що 3 переходить в 3906 тисячу, три сотні і два рази. Тобто,

    \[3906 \div 3 = 1302 \ldotp \nonumber \]

    Звичайно, не кожна проблема поділу працює рівномірно! Ось інший приклад.

    Приклад: 1024 ÷ 3

    Припустимо, вас попросять обчислити\(1024 \div 3\). Одним із способів інтерпретації цього питання є:

    «Скільки груп з 3 вписується в 1024?»

    Отже, ми шукаємо групи з трьох точок на цій картинці:

    1024div3a.png

    Одну групу з трьох легко помітити:

    1024div3b.png

    Щоб знайти більше груп з трьох точок, ми повинні «розбухнути» крапку:

    1024div3c.png

    Нам потрібно знову розбухнути:

    1024div3d.png

    Це залишає одну вперту крапку, яка залишається в коробці, і не більше групи з трьох. Отже, робимо висновок:

    \[1024 \div 3 = 341\; \text{R} 1,\; meaning\; 1024 = 341 \cdot 3 + 1 \ldotp \nonumber \]

    У словах: 1024 дає 341 групи по 3, плюс одна зайва точка.

    Ми можемо об'єднати ці дві ідеї - дроби як відповідь на проблему поділу та те, що ми знаємо про поділ у моделі «Точки та коробки», щоб допомогти нам більше думати про зв'язок між дробами та десятковими числами.

    Приклад: 1/8

    Дріб\(\frac{1}{8}\) - результат ділення 1 на 8. Давайте насправді обчислити\(1 \div 8\) в моделі «точки і коробки», використовуючи десяткові знаки. Ми хочемо знайти групи з восьми на наступному малюнку:

    18a.png

    Зрозуміло, що жодного не можна знайти, тому давайте не вибухнемо:

    18b.png

    (Ми ліниві і не малюємо всі крапки. Коли ви будете слідувати, ви можете намалювати точки, а не кількість точок, якщо це допоможе вам відстежувати.)

    Зараз є одна група з 8, залишивши двох позаду. Написуємо галочку зверху, щоб відстежувати кількість груп по 8, і залишаємо дві точки позаду в коробці.

    18c.png

    Ми можемо розірвати дві точки в\(\frac{1}{10}\) коробці:

    18d.png

    Це дає дві групи по 8, залишаючи чотири позаду. Пам'ятайте: дві галочки представляють дві групи по 8. І в\(\frac{1}{100}\) коробці залишилося чотири точки.

    18e.png

    Не вибухають ці чотири залишилися крапки:

    18f.png

    Тепер у нас є п'ять груп по 8 і немає залишку.

    18g.png

    Пам'ятайте: галочки відстежували, скільки груп по вісім було в кожному ящику. У нас є

    • Одна група з 8 крапок в\(\frac{1}{10}\) коробці
    • Дві групи по 8 крапок в\(\frac{1}{100}\) коробці.
    • П'ять груп по 8 крапок в\(\frac{1}{1000}\) коробці.

    Отже, робимо висновок, що:

    \[\frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0.125 \ldotp \nonumber \]

    Звичайно, це хороша звичка перевіряти нашу відповідь:

    \[0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 200} = \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 40} = \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8} = \frac{1}{8} \ldotp \nonumber \]

    На свій розсуд

    Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером. Обов'язково покажіть свої роботи.

    1. Виконайте поділ у моделі «Dots & Boxes», щоб показати\(\frac{1}{4}\), що, як десяткова, є\(0.25\).
    2. Виконайте поділ у моделі «Dots & Boxes», щоб показати\(\frac{1}{2}\), що, як десяткова, є\(0.5\).
    3. Виконайте поділ у моделі «Dots & Boxes», щоб показати\(\frac{3}{5}\), що, як десяткова, є\(0.6\).
    4. Виконайте поділ у моделі «Dots & Boxes», щоб показати\(\frac{3}{6}\), що, як десяткова, є\(0.1875\).
    5. Простіше кажучи, який дріб представлений кожним з цих десяткових знаків? $0.75,\ квадратний 0.625,\ квадратний 0.16,\ квадратний 0.85,\ квадратний 0.0625\ ldotp$$

    Повторення десяткових знаків

    Не всі дроби призводять до простих десяткових уявлень.

    Приклад: 1/3

    Розглянемо дріб\(\frac{1}{3}\). Ми шукаємо групи з трьох на наступному малюнку:

    13a.png

    Unexploding вимагає, щоб ми шукали групи з 3 в:

    13b-1.png

    Тут є три групи по 3, які залишають одну позаду:

    13c.png

    Не вибухає дає:

    13d.png

    Ми знаходимо ще три групи з 3, залишаючи одну позаду:

    13f.png

    Не вибухає дає:

    13g1.png

    13g2.png

    І ми ніби потрапляємо в нескінченно повторюваний цикл.

    Ми зараз перебуваємо в філософськи цікавому положенні. Як люди, ми не можемо проводити цю чи будь-яку діяльність нескінченну кількість разів. Але здається дуже спокусливим написати:

    \[\frac{1}{3} = 0.33333 \ldots, \nonumber \]

    з крапкою «\ крапки», що означає «продовжуйте вічно з цим візерунком». Ми можемо собі уявити, що це означає, але ми не можемо насправді записати ті нескінченно багато 3 представлені\ крапки

    позначення

    Багато людей використовують вінкулум (турнік) для представлення нескінченно довгих повторюваних десяткових знаків. Наприклад,\(0. \bar{3}\) засіб «повторити 3 назавжди»:

    \[0. \bar{3} = 0.33333 \ldots, \nonumber \]

    і\(0.296 \overline{412}\) означає «повторити 412 назавжди»:

    \[0.296 \overline{412} = 0.296412412412412 \ldots \nonumber \]

    Тепер ми в змозі дати, можливо, більш задовольняє відповідь на питання\(1024 \div 3\). У наведеному вище прикладі ми знайшли відповідь

    \[1024 \div 3 = 341\; \text{R} 1 \ldotp \nonumber \]

    Але тепер ми знаємо, що можемо продовжувати ділити цю останню вперту точку на 3. Пам'ятайте, що являє собою одну точку в одному місці, так що якщо ми продовжуємо ділити на три, це дійсно представляє\(\frac{1}{3}\). Отже, ми маємо:

    \[1024 \div 3 = 341\; \text{R} 1 = 341 \frac{1}{3} = 341.3333333 \ldots = 341. \bar{3} \ldotp \nonumber \]

    Приклад: 6/7

    Як ще один (більш складний) приклад, ось робота, яка перетворює дріб\(\frac{6}{7}\) в нескінченно довгий повторюваний десятковий. Переконайтеся, що ви розумієте кроки від одного рядка до наступного.

    67a.png

    67b.png

    67c.png

    67d.png

    67e.png

    67f.png

    67g.png

    67h.png

    67i.png

    67j.png

    67l.png

    67m.png

    67o.png

    З цим 6 в останньому правому полі, ми повернулися до самого початку проблеми. (Ви розумієте, чому? Пам'ятайте, ми почали з шістки в коробці!)

    Це означає, що ми просто повторимо виконану роботу і отримаємо таку ж послідовність відповідей:\(857142\). А потім знову, а потім знову, а потім знову. У нас є:

    \[\begin{split} \frac{6}{7} &= 0.857142857142857142857142 \ldots \\ &= 0. \overline{857142} \ldotp \end{split} \nonumber \]

    На свій розсуд

    Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером. Обов'язково покажіть свої роботи.

    1. Обчислюйте\(\frac{4}{7}\) як нескінченно довге повторюване десяткове число.
    2. Обчислюйте\(\frac{1}{9}\) як нескінченно довге повторюване десяткове число.
    3. Використовуйте модель «Точки та коробки» для обчислення\(133 \div 6\). Запишіть відповідь у вигляді десяткового дробу.
    4. Використовуйте модель «Точки та коробки» для обчислення\(255 \div 11\). Запишіть відповідь у вигляді десяткового дробу.