6.1: Огляд моделі точок та коробок

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66497

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Почнемо з швидкого огляду вартості місця, різних основ та нашої моделі «Dots & Boxes» для роздумів над цими ідеями.

Правило 1←2

Всякий раз, коли в одній коробці є дві точки, вони «вибухають», зникають і стають однією крапкою в полі зліва.

Приклад: Дев'ять крапок 1←2 в системі

Ми починаємо з того, що розміщуємо дев'ять крапок в крайньому правому полі.

$Explode1a-300x87.png$

Дві точки в цій коробці вибухають і стають однією крапкою в полі зліва.

$Explode1b-300x83.png$

$Explode1c-300x84.png$

Знову дві точки в цій коробці вибухають і стають однією крапкою в полі ліворуч.

$Explode1d-300x81.png$

$Explode1e-300x82.png$

Робимо це знову!

$Explode1f-300x86.png$

$Explode1g-300x89.png$

Гей, тепер у нас є більше двох крапок у другій коробці, так що вони можуть вибухнути і рухатися!

$Explode1h-300x82.png$

$Explode1i-300x85.png$

А крайній правий ящик все ще має більше двох крапок.

$Explode1j-300x89.png$

$Explode1k-300x84.png$

Продовжуйте йти, поки жодна коробка не має двох крапок.

$Explode1l-300x86.png$

$Explode1m-300x83.png$

$Explode1n-300x86.png$

$Explode1o-300x88.png$

Після всього цього, читаючи зліва направо, ми залишаємося однією крапкою, а потім нульовими крапками, нульовими крапками та однією кінцевою крапкою.

Відповідь: Код 2←1 для дев'яти точок: 1001.

Правило 1←3

Щоразу, коли в одній коробці є три точки, вони «вибухають», зникають і стають однією крапкою в полі зліва.

Приклад: П'ятнадцять крапок у системі 1←3

Ось що відбувається з п'ятнадцятьма крапками:

$Explode3a-300x85.png$

$Explode3b-300x86.png$

$Explode3c-300x85.png$

$Explode3d-300x82.png$

$Explode3e-300x83.png$

$Explode3f-300x80.png$

$Explode3g-300x85.png$

Відповідь: Код 1←3 для п'ятнадцяти крапок: 120.

Визначення

Нагадаємо, що числа, записані в системі 1←2, називаються двійковими або базовими двома числами.

Числа, записані в системі 1←3, називаються базовими трьома числами.

Числа, записані в системі 1←4, називаються базовими чотирма числами.

Числа, записані в системі 1←10, називаються базовими десятьма числами.

У загальному випадку числа, записані в системі 1← b, називаються базовими числами b.

У базовій системі числення b кожне місце являє собою потужність b, що означає$b^{n}$ для деякого цілого числа n. Запам'ятайте це означає b помножити на себе n разів:

Саме правое місце - одиниці або одиниці місця. (Чому це сила b?)
Друге місце - це місце «б». (У базовій десятці це місце десятки.)
Третє місце - «$b^{2}$» місце. (У базовій десятій, це сотні місць. Зауважте, що$10^{2} = 100$.)
Четверте місце - «$b^{3}$» місце. (У базовій десятій, це тисячі місце, так як$10^{3} = 1000$.)
І так далі.

позначення

Всякий раз, коли ми маємо справу з числами, написаними в різних базах, ми використовуємо індекс, щоб вказати базу, щоб не було плутанини. Отже:

$102_{three}$є базовим трьома числами (читати його як «один-нуль-два базові три»). Це базовий код три для числа одинадцять.
$222_{four}$є базовим числом чотирьох (читати його як «два-два-два базові чотири»). Це базовий код чотирьох для числа сорок два.
$54321_{ten}$є базовим десятковим числом. (Добре сказати «п'ятдесят чотири тисячі триста двадцять один». Чому?)

Якщо база не написана, ми припускаємо, що це база десять.

Пам'ятайте: коли ви бачите індекс, ви бачите код для деякої кількості точок.

Подумайте/Пара/Поділитися

Ретельно опрацюйте два приклади вище, щоб переконатися, що ви пам'ятаєте та розумієте, як працює модель «Dots & Boxes». Тоді дайте відповідь на ці питання:

Коли ми пишемо 9 в базі 2, чому ми пишемо$1001_{two}$ замість просто$11_{two}$?

Коли ми пишемо 15 в базі 3, чому ми пишемо$120_{three}$ замість просто$12_{three}$?

Скільки різних цифр потрібно в базовій системі 7? У базовій системі 12? У базовій системі b? Звідки ти знаєш?

На свій розсуд

Працюйте над наступними вправами самостійно або з партнером.

У базі 4 чотири точки в одній коробці стоять одна точка в полі одне місце зліва.
1. Яка вартість кожної коробки?
2. Як ви пишете$29_{ten}$ в базі 4?
3. Як ви пишете$132_{four}$ в базі 10?
У нашій знайомій базовій системі десять, десять крапок в одній коробці стоять одна точка в коробці одне місце зліва.
1. Яка вартість кожного ящика?
2. Коли ми пишемо базову десятку номер 7842:
  - Яку кількість представляє «7»?
  - «4» - це чотири групи якого значення?
  - «8» - це вісім груп якого значення?
  - «2» - це дві групи якого значення?
Запишіть наступні числа точок у базі два, базові три, базові п'ять та вісім основ. Намалюйте модель «Dots & Boxes», якщо вона допоможе вам запам'ятати, як це зробити! (Примітка: всі ці числа записані в десятій основі. Коли ми не говоримо інакше, ви повинні припустити базову десятку.) $ (a)\; 2\ qquad (b)\; 17\ квадратний (c)\; 27\ квадратний (d)\; 63\ ldotp$$
Перетворіть ці числа в нашу більш звичну базу десять системи. Намалюйте точки і коробки і «не вибухають» точки, якщо це допоможе вам запам'ятати. $ (a)\; 1101_ {два}\ qquad (b)\; 102_ {три}\ qquad (c)\; 24_ {п'ять}\ qquad (d)\; 24_ {дев'ять}\ ldotp$$

Подумайте/Пара/Поділитися

Швидко обчислити кожне з наведених нижче дій. Напишіть свою відповідь в тій же базі, що і проблема.

$131_{ten}$разів десять.

$263207_{eight}$разів вісім.

$563872_{nine}$разів дев'ять.

Використовуйте систему 1←10, щоб пояснити, чому множення цілого числа в базовій десятці на десять призводить до простого додавання нуля до правого кінця числа.

Припустимо, у вас є ціле число, записане в основі b. Який ефект множення цього числа на b? Обґрунтуйте те, що ви говорите.