1.6: Обережне використання мови в математиці
- Page ID
- 66457
Цей розділ може здатися трохи побічним від ідеї вирішення проблем, але насправді це не так. Математика - це соціальна справа. Ми не просто вирішуємо проблеми, а потім відкладаємо їх в сторону. Вирішення проблем має (принаймні) три складові:
- Рішення проблеми. Це передбачає багато скретч-паперу та ретельне мислення.
- Переконавши себе в тому, що ваше рішення є повним і правильним. Це передбачає багато самостійної перевірки і задавання собі питань.
- Переконавши когось іншого, що ваше рішення є повним і правильним. Зазвичай це включає в себе ретельно написання проблеми або пояснення вашої роботи в презентації.
Якщо ви не в змозі зробити цей останній крок, то ви насправді не вирішили проблему. Ми поговоримо докладніше про те, як написати рішення найближчим часом. Перш ніж ми це зробимо, ми повинні подумати про те, як математики використовують мову (яка, виявляється, трохи відрізняється від того, як мова використовується в іншому житті).
Математичні твердження
Математичне твердження - це повне речення, яке є або істинним, або хибним, але не обидва відразу.
Тож «твердження» в математиці не може бути питанням, командою чи питанням думки. Це повне, граматично правильне речення (з підметом, дієсловом, і зазвичай об'єктом). Важливо, щоб твердження було або істинним, або помилковим, хоча ви можете не знати, який! (Частина роботи математика з'ясовує, які речення є істинними, а які помилковими.)
Для кожного англійського речення нижче визначте, чи це математичне твердження чи ні. Якщо це так, є твердження істинним чи хибним (або ви не впевнені)? Якщо це не математичне твердження, яким чином воно виходить з ладу?
- Синій - найкрасивіший колір.
- 60 - парне число.
- Ваша собака доброзичлива?
- Гонолулу — столиця Гаваї.
- Це речення помилкове.
- Всі троянди червоні.
- UH Manoa - найкращий коледж у світі.
- 1/2 = 2/4.
- Лягайте спати.
- Всього на шаховій дошці 8 × 8 квадратів 204.
Тепер напишіть три математичні твердження та три англійські речення, які не можуть бути математичними твердженнями.
Зверніть увагу, що «1/2 = 2/4» є цілком хорошим математичним твердженням. Це не схоже на англійське речення, а читають його вголос. Тема - «1/2». Дієслово «дорівнює». А об'єкт - «2/4». Це дуже хороший тест, коли ви пишете математику: спробуйте прочитати його вголос. Навіть рівняння повинні читати природно, як англійські речення.
Заява (5) відрізняється від інших. Називається він парадокс: твердження, яке є самосуперечливим. Якщо це правда, то робимо висновок, що воно помилкове. (Чому?) Якщо воно помилкове, то робимо висновок, що це правда. (Чому?) Парадокси не є хорошими як математичні твердження, оскільки це не може бути правдою і не може бути помилковим.
І/або
Розглянемо це речення:
Після роботи я піду на пляж, або займуся покупками продуктів.
У повсякденній англійській мові це, мабуть, означає, що якщо я піду на пляж, я не піду за покупками. Я буду займатися тим чи іншим, але не обома заходами. Це називається «ексклюзивним або».
Зазвичай ми можемо сказати з контексту, чи означає оратор «або той, або інший, або обидва», чи означає він «або той, чи інший, але не обидва». (Деякі люди використовують незручну фразу «і/або» для опису першого варіанту.)
Пам'ятайте, що в математичному спілкуванні ми повинні бути дуже точними. Ми не можемо покладатися на контекст або припущення щодо того, що мається на увазі або розуміється.
У математиці слово «або» завжди означає «той чи інший або обидва».
Слово «і» завжди означає «обидва вірні».
Для кожного речення нижче:
- Вирішіть, якщо вибір x = 3 робить твердження істинним або хибним.
- Виберіть інше значення, яке робить твердження істинним (або скажіть, чому це неможливо).
- Виберіть інше значення, яке робить твердження помилковим (або скажіть, чому це неможливо).
- х непарний або х парний.
- х непарний, а х - парний.
- x є простим або х непарним.
- х> 5 або х < 5.
- х> 5 і х < 5.
- х + 1 = 7 або х — 1 = 7.
- х ·1 = х або х ·0 = х.
- х ·1 = х і х ·0 = х.
- х ·1 = х або х ·0 = 0.
Кількісні показники
Вам вручають конверт, наповнений грошима, і вам кажуть: «Кожна купюра в цьому конверті - це купюра в 100 доларів».
- Що б переконати вас поза всякими сумнівами, що вирок вірний? Як ви могли переконати когось іншого, що вирок вірний?
- Що б переконати вас поза всякими сумнівами, що вирок є помилковим? Як ви могли переконати когось іншого, що вирок помилковий?
Припустимо, вам дали інше речення: «У цьому конверті є купюра в 100 доларів».
- Що б переконати вас поза всякими сумнівами, що вирок вірний? Як ви могли переконати когось іншого, що вирок вірний?
- Що б переконати вас поза всякими сумнівами, що вирок є помилковим? Як ви могли переконати когось іншого, що вирок помилковий?
У чому різниця між двома реченнями? Як ця різниця впливає на ваш метод, щоб вирішити, чи є твердження істинним чи хибним?
Деякі математичні твердження мають такий вигляд:
- «Кожен раз...»
- «Для всіх чисел..»
- «На кожен вибір»..
- «Це завжди так.»
Це універсальні висловлювання. Такі заяви стверджують, що щось завжди вірно, незважаючи ні на що.
- Щоб довести, що універсальне твердження є помилковим, необхідно знайти приклад, коли воно не вдається. Це називається контрприкладом до заяви.
- Щоб довести, що універсальне твердження вірно, ви повинні або перевірити кожен окремий випадок, або ви повинні знайти логічну причину, чому це було б правдою. (Іноді перший варіант неможливий, тому що випадків для перевірки може бути нескінченно багато. Ви б ніколи не закінчили!)
Деякі математичні твердження мають такий вигляд:
- «Іноді...»
- «Є деяка кількість.»
- «Для деякого вибору..»
- «Хоч раз...»
Це екзистенційні твердження. Такі заяви стверджують, що є певний приклад, коли твердження вірно, але воно не завжди може бути правдою.
- Щоб довести, що екзистенціальне твердження є істинним, ви можете просто знайти приклад, де воно працює.
- Щоб довести, що екзистенціальне твердження є помилковим, ви повинні або показати, що воно не вдається в кожному окремому випадку, або ви повинні знайти логічну причину, чому воно не може бути правдою. (Іноді перший варіант неможливий!)
Для кожної інструкції, наведеної нижче, виконайте наступне:
- Вирішіть, чи це універсальне твердження або екзистенціальне твердження. (Це може бути складно, оскільки в деяких твердженнях квантор «прихований» у значенні слів.)
- Вирішіть, чи є твердження правдивим чи помилковим, і зробіть все можливе, щоб виправдати своє рішення.
- Кожне непарне число є простим.
- Кожне просте число непарне.
- Для всіх позитивних чисел\(x, x^{3} > x\).
- Є деяка кількість\(x\) таких, що\(x^{3} = x\).
- Точки (1, 1), (2, 1) і (3, 0) лежать на одній лінії.
- Додавання (дійсних чисел) є комутативним.
- Ділення (дійсних чисел) є комутативним.
Озирніться назад на свою роботу. ви, ймовірно, виявите, що деякі з ваших аргументів є здоровими і переконливими, тоді як інші менш. У деяких випадках ви можете «знати» відповідь, але не зможете її виправдати. Це поки що нормально! Розділіть свої відповіді на чотири категорії:
- Я впевнений, що виправдання, яке я дав, є хорошим.
- Я не впевнений у виправданні, яке я дав.
- Я впевнений, що виправдання, яке я дав, не є хорошим, або я не зміг дати виправдання.
- Я не міг вирішити, чи є твердження правдивим чи хибним.
Умовні оператори
У вас є колода карт, де кожна карта має букву з одного боку і цифру з іншого боку. Ваш друг стверджує: «Якщо карта має голосну з одного боку, то на іншій стороні вона має парне число».
Ці картки стоять на столі.
Які карти ви повинні перевернути, щоб бути впевненим, що ваш друг говорить правду?
Після того, як ви деякий час подумали про проблему самостійно, обговоріть свої ідеї з партнером. Чи згодні ви, на яких картках потрібно перевіряти? Спробуйте домовитися про відповідь, яку ви обидва вірите.
Ось ще одна дуже схожа проблема, але люди, здається, легше вирішити цю проблему:
Ви відповідаєте за вечірку, де є молоді люди. Одні вживають алкоголь, інші безалкогольні напої. Деякі досить дорослі, щоб вживати алкоголь на законних підставах, інші неповнолітні. Ви несете відповідальність за те, щоб закони про пиття не були порушені, тому ви попросили кожну людину покласти його посвідчення особи з фотографією на столі. За одним столом знаходяться четверо молодих людей:
- Одна людина має банку пива, інша має пляшку коксу, але їх ідентифікатори трапляються обличчям вниз, тому ви не можете побачити їх вік.
- Однак ви можете побачити ідентифікатори двох інших людей. Один молодше питного віку, інший - вище нього. Вони обидва мають газовані прозорі напої в окулярах, і ви не впевнені, чи п'ють вони газовану воду або джин і тонік.
Які посвідчення особи та/або напої потрібно перевірити, щоб переконатися, що ніхто не порушує закон?
Після того, як ви деякий час подумали про проблему самостійно, обговоріть свої ідеї з партнером. Чи згодні ви, на яких картках потрібно перевіряти? Порівняйте ці дві проблеми. Яке питання простіше і чому?
Умовний оператор може бути записаний у вигляді
Якщо якесь твердження, то якесь твердження.
Де перше твердження - гіпотеза, а друге твердження - висновок.
Це кожне умовне твердження, хоча вони не всі вказані у формі «if/then». Визначте гіпотезу кожного твердження. (Можливо, ви захочете переписати речення як еквівалентне твердження «якщо/тоді».)
- Якщо помідори червоні, значить, вони готові до вживання.
Помідори червоні./Помідори готові до вживання. - Ціле число n є парним, якщо воно кратне 2.
n парне./n кратне 2. - Якщо n непарне, то n є простим.
n непарна. /n є простим. - Команда виграє, коли грає JJ.
Команда перемагає. /JJ грає.
Пам'ятайте, що математичне твердження повинно мати певне значення істинності. Це або правда, або помилково, без сірої області (хоча ми можемо не бути впевнені, що саме так). Як ви можете визначити, чи є умовний оператор істинним чи хибним? Безумовно, це залежить від того, чи гіпотеза і висновок є правдивими чи помилковими. Але як саме ви можете вирішити?
Ключ полягає в тому, щоб думати про умовне твердження, як обіцянку, і запитати себе: за яких умов я порушу свою обіцянку?
Ось умовний оператор:
Якщо я виграю в лотерею, то я дам кожному з моїх учнів 1000 доларів.
Є чотири речі, які можуть статися:
- Справжня гіпотеза, правдивий висновок: я виграю в лотерею, і я даю всім в класі 1000 доларів. Я стримав свою обіцянку, тому умовне твердження TRUE.
- Справжня гіпотеза, помилковий висновок: я виграю в лотерею, але вирішую не віддавати всім в класі 1000 доларів. Я порушив свою обіцянку, тому умовний оператор FALSE.
- Помилкова гіпотеза, правдивий висновок: я не виграю в лотерею, але я надзвичайно щедрий, тому я йду вперед і віддаю всім в класі 1000 доларів. Я не порушила свою обіцянку! (Ви розумієте, чому?) Таким чином, умовний оператор TRUE.
- Помилкова гіпотеза, помилковий висновок: я не виграю в лотерею, тому не даю всім в класі 1000 доларів. Я не порушила свою обіцянку! (Ви розумієте, чому?) Таким чином, умовний оператор TRUE.
Що з цього можна зробити висновок? Умовне твердження є помилковим лише тоді, коли гіпотеза істинна, а висновок помилковий. У кожному іншому випадку обіцянка (як би) не була порушена. Якщо математичне твердження не є помилковим, воно повинно бути істинним.
Ось ще один умовний оператор:
Якщо ви живете в Гонолулу, то ви живете на Гаваях.
Це твердження вірне чи хибне? Схоже, це повинно залежати від того, до кого відноситься займенник «ти», і чи живе ця людина в Гонолулу чи ні. Давайте продумуємо це:
- Сокім живе в Гонолулу, тому гіпотеза вірна. Оскільки Гонолулу знаходиться на Гаваях, вона живе на Гаваях. Твердження вірно щодо Sookim, оскільки і гіпотеза, і висновок вірні.
- DeeDee живе в Лос-Анджелесі. Твердження вірно щодо DeeDee, оскільки гіпотеза є помилковою.
Так що насправді це не біда! Твердження вірно в будь-якому випадку. Правильний спосіб зрозуміти таке твердження - як універсальне твердження: «Кожен, хто живе в Гонолулу, живе на Гаваях».
Це твердження вірне, і ось як ви можете це виправдати: «Виберіть випадкову людину, яка живе в Гонолулу. Ця людина живе на Гаваях (оскільки Гонолулу знаходиться на Гаваях), тому твердження вірно для цієї людини. Мені не потрібно розглядати людей, які не живуть в Гонолулу. Твердження автоматично вірно для тих людей, тому що гіпотеза помилкова!»
Як ми покажемо (універсальний) умовний оператор false?
Вам потрібно навести конкретний приклад, коли гіпотеза вірна, а висновок помилковий. Наприклад:
Якщо ви хороший плавець, то ви хороший серфер.
Чи знаєте ви когось, для кого гіпотеза вірна (ця людина хороший плавець), але висновок помилковий (людина не є хорошим серфером)? Тоді твердження помилкове!
Для кожного умовного оператора визначте, чи є він істинним чи хибним. Обґрунтуйте свою відповідь.
- Якщо\(2 \times 2 = 4\) тоді\(1 + 1 = 3\).
- Якщо\(2 \times 2 = 5\) тоді\(1 + 1 = 3\).
- Якщо\(\pi > 3\) тоді всі непарні числа прості.
- Якщо\(\pi < 3\) тоді всі непарні числа прості.
- Якщо число має 4 на місці, то число парне.
- Якщо число парне, то число має 4 на місці.
- Якщо добуток двох чисел дорівнює 0, то одне з чисел дорівнює 0.
- Якщо сума двох чисел дорівнює 0, то одне з чисел дорівнює 0.
Самостійно придумайте два умовних твердження, які є істинними і одним помилковим. Поділіться своїми трьома твердженнями з партнером, але не кажіть, які є правдивими, а які помилковими. Подивіться, чи зможе ваш партнер розібратися!