1.4: Остерігайтеся візерунків!

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66445

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Стратегія «Шукайте шаблони» може бути особливо привабливою, але ви повинні бути обережними! Не забувайте про частину стратегії «і поясніть». Не всі закономірності очевидні, і не всі вони будуть тривати.

(Точки на колі)

Почніть з кола.

$index-14_1-300x298.png$

Якщо я поставив дві точки на коло і з'єднаю їх, лінія ділить коло на дві частини.

$index-14_2-298x300.png$

Якщо я поставлю три точки на коло і з'єднаю кожну пару точок, лінії ділять коло на чотири частини.

$index-14_3-296x300.png$

Припустимо, ви ставите сто крапок на коло і з'єднаєте кожну пару крапок, тобто кожна точка з'єднана з 99 іншими точками. Скільки штук ви отримаєте? Лінії можуть перетинати один одного, але припустимо, що точки обрані так, щоб три або більше ліній ніколи не зустрічалися в одній точці.

Подумайте/Пара/Поділитися

Після того, як ви деякий час попрацювали над проблемою самостійно, поговоріть про свої ідеї з партнером (навіть якщо ви її не вирішили). Які стратегії ви спробували? Що ви з'ясували? Які питання у вас все ще є?

Природний спосіб роботи над цією проблемою - використовувати меншу кількість точок і шукати візерунок, чи не так? Якщо ви ще цього не зробили, спробуйте. Скільки штук, коли у вас чотири точки? П'ять крапок? Як би ви описали шаблон?

Тепер спробуйте шість точок. Ви хочете намалювати велике коло і простір з шести точок, щоб полегшити підрахунок. Потім уважно порахуйте, скільки штук у вас вийде. Це, мабуть, гарна ідея працювати з партнером, щоб ви могли перевірити роботу один одного. Переконайтеся, що ви рахуєте кожен шматок один раз і не рахуйте жодного шматочка двічі. Як ви можете бути впевнені, що ви це робите?

Ви були здивовані? Для перших кількох кроків, здається, що коли ви додаєте крапку, ви подвоюєте кількість штук. Але це означало б, що для шести точок, ви повинні отримати 32 штуки, і ви отримаєте тільки 30 або 31, залежно від того, як розташовані точки. Незалежно від того, що ви робите, ви не можете отримати 32 штуки. Візерунок просто не тримається.

Математики люблять шукати закономірності і знаходити їх. Ми збуджуємося шаблонами. Але ми також дуже скептично ставимося до шаблонів! Якщо ми не можемо пояснити, чому виникне закономірність, то ми не готові просто вірити в це.

Наприклад, якщо мій шаблон номера починається: 2, 4, 8,... Я можу знайти безліч способів продовження шаблону, кожен з яких має сенс у деяких контекстах. Ось деякі можливості:

2, 4, 8, 2, 4, 8, 2, 4, 8, 2, 4, 8,...

Це повторюваний візерунок, перебираючи цифри 2, 4, 8, а потім починаючи з 2.

2, 4, 8, 32, 256, 8192,...

Щоб отримати наступне число, помножте попередні два числа разом.

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,...
2, 4, 8, 14, 22, 32, 44, 58, 74...

Подумайте/Пара/Поділитися

Для двох останніх шаблонів вище опишіть словами, як створюється числова послідовність.
Знайдіть принаймні два інші способи продовжити послідовність 2, 4, 8,.,., яка виглядає відрізняється від усіх тих, які ви бачили досі. Напишіть своє правило словами, а наступні п'ять членів числової послідовності напишіть.

Отже, як ви можете бути впевнені, що ваш шаблон відповідає цій проблемі? Ви повинні зв'язати їх разом! Пам'ятайте проблему «Квадрати на шаховій дошці»? Можливо, ви помітили такий візерунок:

Якщо шахова дошка має 5 квадратів на стороні, то є

5 × 5 = 25 квадратів розміром 1 × 1.
4 × 4 = 16 квадратів розміром 2 × 2.
3 × 3 = 9 квадратів сторони 3 × 3.
2 × 2 = 4 квадрата розміром 4 × 4.
1 × 1 = 1 квадрат розміром 5 × 5.

Таким чином, існує загальна кількість

\[1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 55 \nonumber \]

квадрати на шаховій дошці 5 × 5. Ви, напевно, можете здогадатися, як продовжити візерунок на дошці будь-якого розміру, але як ви можете бути абсолютно впевнені, що візерунок продовжується таким чином? Що робити, якщо це схоже на «Точки на колі», і очевидний візерунок руйнується через кілька кроків? Ви повинні зв'язати викрійку до проблеми, щоб було зрозуміло, чому візерунок повинен тривати таким чином.

Першим кроком у поясненні шаблону є чітке її записування. Це підводить нас до іншої стратегії вирішення проблем.

Стратегія вирішення проблем 11 (Використовуйте змінну!).

Одним з найпотужніших інструментів, які ми маємо, є використання змінної. Якщо ви виявите, що робите обчислення на таких речах, як «кількість квадратів» або «кількість точок», дайте цим величинам ім'я! З ними стає набагато простіше працювати.

Думати/Пара/Поділитися

На даний момент просто попрацюйте над описом шаблону зі змінними.

Дотримуйтеся шахової дошки 5 × 5 на даний момент, і розгляньте невеликий квадрат розміром k × k. Опишіть візерунок: Скільки квадратів розміром k × k поміститься на шаховій дошці розміром 5 × 5?
Що робити, якщо шахова дошка більша? Виходячи з наведеного вище візерунка, скільки квадратів розміром k × k повинно поміститися на шаховій дошці розміром 10 × 10?
Що робити, якщо ви не знаєте, наскільки велика шахова дошка? Виходячи з наведеного вище візерунка, скільки квадратів розміром k × k має поміститися на шаховій дошці розміром n × n?

Тепер настає жорстка частина: пояснення закономірності. Давайте зосередимося на дошці 8 × 8. Оскільки він вимірює 8 квадратів з кожного боку, ми бачимо, що ми отримуємо 8 × 8 = 64 квадратів розміром 1 × 1. А так як є тільки одна дошка, ми отримуємо всього один квадрат розміром 8 × 8. Але як щодо всіх розмірів між ними?

Думати/Пара/Поділитися

Використовуючи відео з шахової дошки в попередньому розділі як модель, попрацюйте з партнером, щоб уважно пояснити, чому число квадратів 3 × 3 буде 6 · 6 = 36, і чому кількість квадратів 4 × 4 буде 5 · 5 = 25.

Існує багато різних пояснень, крім того, що знайдено у відео. Спробуйте знайти власне пояснення.

Ось як може виглядати остаточне обгрунтування (дивіться відео з шахової дошки як конкретний приклад цього рішення):

Рішення (шаблон шахової дошки).

Нехай n - сторона шахової дошки і нехай k - сторона квадрата. Якщо квадрат буде поміститися на шаховій дошці взагалі, має бути вірним, що k ≤ n. В іншому випадку квадрат занадто великий.

Якщо я поставив k × k квадрат у верхньому лівому куті шахової дошки, він займає k пробілів поперек і є (n — k) пробіли праворуч від нього. Таким чином, я можу ковзати k × k квадрат вправо (n — k) раз, поки він не потрапить у верхній правий кут шахової дошки. Квадрат знаходиться в (n — k + 1) різних положеннях, вважаючи вихідне положення.

Якщо я переміщаю квадрат k × k назад у верхній лівий кут, я можу зрушити його вниз на один рядок і повторити весь процес знову. Оскільки під квадратом є (n — k) рядки, я можу зрушити його вниз (n — k) раз, поки він не потрапить у нижній ряд. Це робить (n — k + 1) загальні ряди, які квадрат рухається поперек, рахуючи верхній ряд.

Отже, у кожному рядку є (n — k + 1) рядки з квадратами (n — k + 1). Це робить (n — k + 1) ² загальних квадратів.

Таким чином, розв'язком є сума (n — k + 1) ² для всіх k ≤ n. В символах:

\[\text{number of squares on an n} \times \text{n board} = \sum_{k = 1}^{n} (n - k + 1)^{2} \ldotp \nonumber \]

Як тільки ми переконалися, що візерунок продовжується, ми можемо використовувати його для вирішення проблеми. Так що вперед!

Скільки квадратів на шаховій дошці 10 × 10?
Який розрахунок ви б зробили, щоб вирішити цю проблему для шахової дошки 100 × 100?

Існує шаблон числа, який описує кількість штук, які ви отримуєте від проблеми «Крапки на колі». Якщо ви хочете вирішити проблему, йдіть на це! Подумайте про всі ваші стратегії вирішення проблем. Але будьте впевнені, що коли ви знайдете шаблон, ви можете пояснити, чому він є правильним шаблоном для цієї проблеми, а не просто інший шаблон, який, здається, працює, але може не продовжувати.