1.3: Стратегії вирішення проблем
- Page ID
- 66456
Подумайте про першу проблему в цьому розділі, Проблему ABC. Що ви зробили, щоб вирішити це? Навіть якщо ви не розібралися в цьому повністю самостійно, ви, ймовірно, працювали в напрямку вирішення і з'ясували деякі речі, які не спрацювали.
На відміну від вправ, ніколи не існує простого рецепту вирішення проблеми. Ви можете стати краще і краще у вирішенні проблем, як нарощуючи свої базові знання, так і просто практикуючи. Коли ви вирішуєте більше проблем (і дізнаєтеся, як інші люди їх вирішували), ви вивчаєте стратегії та методи, які можуть бути корисними. Але жодна стратегія не працює кожен раз.
Джордж Поля був великим чемпіоном у галузі навчання ефективним навичкам вирішення проблем. Він народився в Угорщині в 1887 році, отримав ступінь доктора філософії в Будапештському університеті, був професором Стенфордського університету (серед інших університетів). Він написав багато математичних робіт разом з трьома книгами, найвідомішою, «Як це вирішити». Поля помер у віці 98 років у 1985 році. [1]
Джордж Поля, близько 1973
- Зображення Полі Тхане Пламбек з Пало-Альто, Каліфорнія (Flickr) [CC BY 2.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/2.0)], через Вікісховище
У 1945 році Поля опублікував коротку книгу «Як це вирішити», в якій давався чотириступінчастий метод розв'язання математичних задач:
- По-перше, ви повинні розібратися в проблемі.
- Після розуміння, потім складіть план.
- Виконувати задумане.
- Озирніться назад на свою роботу. Як це може бути краще?
Це все добре і добре, але як ви насправді робите ці кроки?!?! Кроки 1. і 2. особливо загадкові! Як ви «складаєте план?» Ось де вам потрібні деякі інструменти у вашому наборі інструментів, і певний досвід, на який слід звернути увагу.
Багато було написано з 1945 року, щоб більш детально пояснити ці кроки, але правда полягає в тому, що вони більше мистецтво, ніж наука. Тут математика стає творчим зусиллям (і де це стає так весело). Ми сформулюємо деякі корисні стратегії вирішення проблем, але жоден такий список ніколи не буде повним. Це дійсно лише початок, щоб допомогти вам на вашому шляху. Найкращий спосіб стати кваліфікованим вирішувачем проблем - добре вивчити довідковий матеріал, а потім вирішити безліч проблем!
Ми вже бачили одну стратегію вирішення проблем, яку ми називаємо «Мислення бажаного». Не бійтеся міняти проблему! Задайте собі питання «а що, якщо»:
- Що робити, якщо картина була іншою?
- Що робити, якщо цифри були простіше?
- Що робити, якщо я просто склав деякі цифри?
Ви повинні бути впевнені, щоб повернутися до початкової проблеми в кінці, але бажане мислення може бути потужною стратегією для початку роботи.
Це підводить нас до найважливішої стратегії вирішення проблем з усіх:
Стратегія вирішення проблем 2 (Спробуйте щось!).
Якщо ви дійсно намагаєтеся вирішити якусь проблему, вся справа в тому, що ви не знаєте, що робити прямо з стартових воріт. Потрібно просто щось спробувати! Покладіть олівець на папір (або стилус на екран або крейда на дошку або що завгодно!) і спробувати щось. Це часто є важливим кроком у розумінні проблеми; просто возитися з нею трохи, щоб зрозуміти ситуацію і з'ясувати, що відбувається.
І не менш важливо: якщо те, що ви спробували спочатку, не працює, спробуйте щось інше! Пограйте з проблемою, поки не відчуєте, що відбувається.
Минулого тижня Олексій позичив гроші у кількох своїх друзів. Він нарешті отримав зарплату на роботі, тому він приніс готівку в школу, щоб погасити свої борги. Спочатку він побачив Бріанну, і він віддав їй 1/4 грошей, які він приніс до школи. Потім Алекс побачив Кріса і дав йому 1/3 від того, що він залишив після того, як заплатив Бріанні. Нарешті, Алекс побачив Давида і дав йому 1/2 від того, що він залишився. Хто отримав найбільше грошей від Алекса?
Після того, як ви деякий час попрацювали над проблемою самостійно, поговоріть про свої ідеї з партнером (навіть якщо ви її не вирішили). Що ви спробували? Що ви розібралися з приводу проблеми? Ця проблема піддається двом конкретним стратегіям. Ви спробували будь-який з них, коли працювали над проблемою? Якщо ні, прочитайте про стратегію, а потім спробуйте її, перш ніж дивитися рішення.
Стратегія вирішення проблем 3 (Намалюйте картинку).
Деякі проблеми, очевидно, стосуються геометричної ситуації, і зрозуміло, що ви хочете намалювати малюнок і відзначити всю надану інформацію, перш ніж намагатися її вирішити. Але навіть для проблеми, яка не є геометричною, як ця, мислення візуально може допомогти! Чи можете ви уявити щось в ситуації картинкою?
Намалюйте квадрат, щоб зобразити всі гроші Алекса. Потім затіньте 1/4 квадрата — це те, що він подарував Бріанні. Як картинка може допомогти вам вирішити проблему?
Після того, як ви самі попрацювали над проблемою, використовуючи цю стратегію (або якщо ви повністю застрягли), можна спостерігати за чужим рішенням.
Стратегія вирішення проблем 4 (Make Up Numbers).
Частина того, що ускладнює цю проблему, полягає в тому, що мова йде про гроші, але немає цифр. Це означає, що цифри не повинні бути важливими. Так що просто складіть їх!
Ви можете працювати вперед: Припустимо, Алекс мав певну суму грошей, коли він з'явився в школі, скажімо, 100 доларів. Потім з'ясуйте, скільки він дає кожній людині. Або ви можете працювати назад: припустимо, у нього в кінці залишилася якась конкретна сума, наприклад, 10 доларів. Оскільки він дав Крісу половину того, що він залишив, це означає, що він мав 20 доларів, перш ніж зіткнутися з Крісом. Тепер працюйте назад і з'ясуйте, скільки отримала кожна людина.
Слідкуйте за рішенням тільки після того, як ви спробували цю стратегію на собі.
Якщо ви використовуєте стратегію «Make Up Numbers», дійсно важливо пам'ятати, про що ставилася оригінальна проблема! Ви не хочете відповідати щось на кшталт «Всі отримали 10 доларів». Це неправда в оригінальній задачі; це артефакт чисел, які ви склали. Тому після того, як ви все відпрацюєте, обов'язково перечитайте проблему і дайте відповідь на питання!
Скільки квадратів будь-якого можливого розміру знаходиться на шаховій дошці 8 × 8? (Відповідь не 64... Це набагато більше!)
Пам'ятайте, що першим кроком Поля є розуміння проблеми. Якщо ви не впевнені, що запитують, або чому відповідь не просто 64, обов'язково запитайте когось!
Після того, як ви деякий час попрацювали над проблемою самостійно, поговоріть про свої ідеї з партнером (навіть якщо ви її не вирішили). Що ви спробували? Що ви з'ясували з приводу проблеми, навіть якщо не вирішили її повністю?
Зрозуміло, що ви хочете намалювати картинку для цієї проблеми, але навіть з малюнком може бути важко дізнатися, чи знайшли ви правильну відповідь. Цифри стають великими, і відстежувати вашу роботу може бути важко. Ваша мета в кінці - бути абсолютно позитивним, що ви знайшли правильну відповідь. Ви ніколи не повинні питати вчителя: «Чи правильно це?» Замість цього, ви повинні заявити: «Ось моя відповідь, і ось чому я знаю, що це правильно!»
Стратегія вирішення проблем 5 (Спробуйте простішу задачу).
Поля запропонував таку стратегію: «Якщо ви не можете вирішити проблему, то є простіша проблема, яку можна вирішити: знайти її». Він також сказав: «Якщо ви не можете вирішити запропоновану проблему, спробуйте спочатку вирішити якусь пов'язану проблему. Чи можете ви уявити собі більш доступну пов'язану проблему?» У цьому випадку шахова дошка 8 × 8 досить велика. Чи можете ви вирішити проблему для менших дощок? Як 1 × 1? 2 × 2? 3 × 3?
Звичайно, кінцевою метою є вирішення початкової проблеми. Але робота з меншими дошками може дати вам деяке розуміння та допомогти вам розробити свій план (це крок Поля (2)).
Стратегія вирішення проблем 6 (Систематична робота).
Якщо ви працюєте над більш простими проблемами, корисно стежити за тим, що ви розібралися і що змінюється в міру ускладнення проблеми.
Наприклад, у цій задачі ви можете відстежувати, скільки квадратів 1 × 1 на кожній дошці, скільки квадратів 2 × 2 на кожній дошці, скільки квадратів 3 × 3 на кожній дошці тощо. Ви можете відстежувати інформацію в таблиці:
| розмір дошки | Кількість квадратів 1 × 1 | Кількість квадратів 2 × 2 | # з 3 × 3 квадратів | Кількість з 4 × 4 квадратів | ... |
| 1 на 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 2 на 2 | 4 | 1 | 0 | 0 | |
| 3 на 3 | 9 | 4 | 1 | 0 | |
| ... |
Стратегія вирішення проблем 7 (Використовуйте маніпулятори, щоб допомогти вам розслідувати).
Іноді навіть малювання малюнка може бути недостатньо, щоб допомогти вам дослідити проблему. Наявність фактичних матеріалів, які ви пересуваєте, іноді може дуже допомогти!
Наприклад, в цій задачі може бути складно відстежити, які квадрати ви вже порахували. Можливо, ви захочете вирізати квадрати 1 × 1, квадрати 2 × 2, квадрати 3 × 3 тощо. Насправді ви можете систематично переміщати менші квадрати по шаховій дошці, переконавшись, що ви рахуєте все один раз і не рахуєте нічого двічі.
Стратегія вирішення проблем 8 (шукайте та поясніть закономірності).
Іноді цифри в проблемі настільки великі, немає ніякого способу ви насправді підрахуєте все вручну. Наприклад, якби проблема в цьому розділі полягала приблизно в шаховій дошці 100 × 100, ви б не хотіли проходити підрахунок всіх квадратів вручну! Було б набагато більш привабливим знайти візерунок в менших дошках, а потім розширити цей шаблон, щоб вирішити проблему для шахової дошки 100 × 100 просто з розрахунком.
Якщо ви цього ще не зробили, розширте таблицю вище до шахової дошки 8 × 8, заповнивши всі рядки та стовпці. Використовуйте таблицю, щоб знайти загальну кількість квадратів в шаховій дошці 8 × 8. Потім:
- Опишіть всі шаблони, які ви бачите в таблиці.
- Чи можете ви пояснити і виправдати будь-яку з шаблонів, які ви бачите? Як ви можете бути впевнені, що вони продовжуватимуться?
- Який розрахунок ви б зробили, щоб знайти загальну кількість квадратів на шаховій дошці 100 × 100?
(Ми скоро повернемося до цього питання. Тож якщо ви зараз не впевнені, як пояснити та обґрунтувати знайдені шаблони, це нормально.)
Цей годинник був розбитий на три частини. Якщо ви додаєте цифри в кожному фрагменті, суми є послідовними числами. (Послідовні числа - це цілі числа, які з'являються один за одним, наприклад 1, 2, 3, 4 або 13, 14, 15.)
Чи можете ви розбити інший годинник на іншу кількість штук, щоб суми були послідовними числами? Припустімо, що кожен шматок має щонайменше два числа і що жоден номер не пошкоджений (наприклад, 12 не розділений на дві цифри 1 і 2).
Пам'ятайте, що ваш перший крок - розібратися в проблемі. Визначте, що тут відбувається. Які суми чисел на кожному творі? Вони послідовні?
Після того, як ви деякий час попрацювали над проблемою самостійно, поговоріть про свої ідеї з партнером (навіть якщо ви її не вирішили). Що ви спробували? Якого прогресу ви досягли?
Стратегія вирішення проблем 9 (Знайти математику, видалити контекст).
Іноді проблема має в ньому багато деталей, які є неважливими або хоча б неважливими для початку роботи. Мета полягає в тому, щоб знайти основну математичну задачу, а потім повернутися до вихідного питання і подивитися, чи зможете ви вирішити її за допомогою математики.
У цьому випадку турбуватися про годинник і саме те, як шматки ламаються, менш важливо, ніж турбуватися про пошук послідовних чисел, які підсумовуються правильній сумі. Запитайте себе:
- Яка сума всіх цифр на циферблаті годинника?
- Чи можу я знайти два послідовних числа, які дають правильну суму? Або чотири послідовних числа? Або якась інша сума?
- Як дізнатися, коли я закінчу? Коли я повинен перестати шукати?
Звичайно, вирішення питання про послідовних числах - це не те саме, що рішення початкової задачі. Ви повинні повернутися назад і подивитися, чи дійсно годинник може розірватися, так що кожен шматок дає вам одне з цих послідовних чисел. Може бути, ви можете вирішити математичну задачу, але це не означає вирішення проблеми годинника.
Стратегія вирішення проблем 10 (Перевірте свої припущення).
При вирішенні проблем легко обмежити своє мислення, додавши додаткові припущення, які не в проблемі. Будьте впевнені, що ви запитуєте себе: чи я занадто стримую своє мислення?
У проблемі годинника, оскільки перше рішення має годинник зламані радіально (всі три частини зустрічаються в центрі, тому це виглядає як нарізка пирога), багато людей припускають, що саме так годинник повинні зламатися. Але проблема не вимагає, щоб годинник зламалися радіально. Він може розбитися на такі шматки:
Ви припускали, що годинник зламаються певним чином? Спробуйте вирішити проблему зараз, якщо ви ще цього не зробили.