Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.10: Метод Коупленда (попарні порівняння)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66193

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Поки жоден з наших методів голосування не задовольняє критерію Кондорцета. Метод Коупленда спеціально намагається задовольнити критерій Кондорсе, розглядаючи попарні (один до одного) порівняння.

    Метод Коупленда

    У цьому методі порівнюється кожна пара кандидатів, використовуючи всі переваги, щоб визначити, який з двох є більш кращим. Більш бажаний кандидат отримує 1 бал. Якщо є нічия, кожному кандидату нараховується\(\frac{1}{2}\) бал. Після того, як всі попарні порівняння зроблені, кандидат, який набрав найбільшу кількість очок, а значить, і найбільш парно виграє, оголошується переможцем.

    Варіації методу Коупленда використовуються в багатьох професійних організаціях, включаючи обрання Ради повірених Фонду Вікімедіа, який керує Вікіпедією.

    Приклад 9

    Розглянемо приклад нашої групи відпустки з початку глави. Визначте переможця за допомогою методу Коупленда.

    \ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|}
    \ лінія & 1 & 3 & 3 & 3\\
    \ рядок 1^ {\ текст {st}}\ текст {вибір} &\ mathrm {A} &\ mathrm {A} &\ mathrm {O} &\ mathrm {H}\
    \ hline 2^ {текст {і}}\ текст {вибір} &\ mathrm {O} &\ mathrm {H} &\ mathrm {H} &\ mathrm {A}\
    \ hline 3^ {\ текст {rd}}\ текст {вибір} &\ mathrm {H} &\ mathrm {O} &\ mathrm {A} &\ mathrm {O}\
    \ hline
    \ end {масив}\)

    Рішення

    Нам потрібно подивитися на кожну пару варіантів і побачити, який вибір виграє в порівнянні один до одного. Ви можете згадати, що ми зробили це раніше при визначенні переможця Condorcet. Наприклад, порівнюючи Гаваї та Орландо, ми бачимо, що 6 виборців, які затінені нижче в першій таблиці нижче, віддадуть перевагу Гаваї Орландо. Зверніть увагу, що Гаваї не повинні бути першим вибором виборців - ми уявляємо, що Анахайм не був варіантом. Якщо це допоможе, можна уявити видалення Анахайма, як у другій таблиці нижче.

    clipboard_ef4925a32eeac5bf4c4257c865a254706.png

    Виходячи з цього, в порівнянні Гаваї проти Орландо, Гаваї виграють і отримує 1 очко.

    Порівнюючи Анахайм з Орландо, 1 виборець у першій колонці явно віддає перевагу Анахайму, як і 3 виборці у другій колонці. 3 виборці в третій колонці явно віддають перевагу Орландо. 3 виборці в останньому стовпці вважають за краще Гаваї як свій перший вибір, але якби їм довелося вибирати між Анахаймом і Орландо, вони б вибрали Анахайм, свій другий вибір загалом. Так, загалом 1+3+3=7 виборців віддають перевагу Анахайму перед Орландо, а 3 віддають перевагу Орландо перед Анахаймом. Отже, порівнюючи Анахайм та Орландо: 7 голосів до 3 голосів: Анахайм отримує 1 бал.

    Всі разом,

    \(\begin{array} {ll} {\text{Hawaii vs Orlando: }} & {6\text{ votes to }4\text{ votes: Hawaii gets }1\text{ point}} \\ {\text{Anaheim vs Orlando:}} & {7\text{ votes to }3\text{ votes: Anaheim gets }1\text{ point}} \\ {\text{Hawaii vs Anaheim: }} & {6\text{ votes to }4\text{ votes: Hawaii gets }1\text{ point}} \end{array}\)

    Гаваї є переможцем за методом Коупленд, заробивши найбільшу кількість очок.

    Зверніть увагу, що цей процес узгоджується з нашим визначенням переможця Condorcet.

    Приклад 10

    Розглянемо голосування рекламної групи, яку ми досліджували раніше. Визначте переможця за допомогою методу Коупленд.

    \ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|l|l|l|}
    \ hline & 3 & 4 & 4 & 6 & 1\
    \ hline 1^ {\ текст {st}}\ текст {вибір} &\ текст {B} &\ текст {C} &\ текст {B} &\ текст {D} &\ текст {B}\ текст {E}\\
    \ hline 2^ {\ текст {nd}}\ текст {вибір} &\ текст {C} &\ текст {A} &\ текст {D} &\ текст {C} &\ текст {E} &\ текст {A}\
    \ hline 3^ {\ текст {rd}}\ текст {вибір} &\ текст {A} &\ текст {D} &\ текст {C} &\ текст {A} &\ текст {A} & текст {D}}\\
    \ hline 4^ {\ текст {th}}\ текст {вибір} &\ текст {D} &\ текст {B} &\ текст {A} &\ текст {E} &\ текст {C} &\ текст {B}
    \\ hline 5^ {\ текст {th}}\ текст {вибір} &\ текст {E} &\ текст {E} &\ текст {E} &\ текст {D} &\ текст {C}\\
    \ hline
    \ end {масив}\)

    Рішення

    З кандидатами 5 можна зробити 10 порівнянь:

    \( \begin{array} {ll} {\text{A vs B: }11\text{ votes to }9\text{ votes}} & {\text{A gets }1\text{ point}} \\ {\text{A vs C: }3\text{ votes to }17\text{ votes}} & {\text{C gets }1\text{ point}} \\ {\text{A vs D: }10\text{ votes to }10\text{ votes }} & {\text{A gets }\frac{1}{2}\text{ point, D gets }\frac{1}{2}\text{ point}} \\ {\text{A vs E: }17\text{ votes to }3\text{ votes}} & {\text{A gets }1\text{ point}} \\ {\text{B vs C: }10\text{ votes to }10\text{ votes}} & {\text{B gets }\frac{1}{2}\text{ point, C gets }\frac{1}{2}\text{ point}} \\ {\text{B vs D: }9\text{ votes to }11\text{ votes}} & {\text{D gets }1\text{ point}} \\ {\text{B vs E: }13\text{ votes to }7\text{ votes}} & {\text{B gets }1\text{ point}} \\ {\text{C vs D: }9\text{ votes to }11\text{ votes}} & {\text{D gets }1\text{ point}} \\ {\text{C vs E: }17\text{ votes to }3\text{ votes}} & {\text{C gets }1\text{ point}} \\ {\text{D vs E: }17\text{ votes to }3\text{ votes}} & {\text{D gets }1\text{ point}} \end{array}\)

    На загальну суму до них:

    A отримує\(2\frac{1}{2}\) бали

    B отримує\(1\frac{1}{2}\) очки

    C отримує\(2\frac{1}{2}\) бали

    D отримує\(3\frac{1}{2}\) очки

    E отримує\(0\) бали

    Використовуючи метод Коупленда, ми оголошуємо D переможцем.

    Зверніть увагу, що в цьому випадку D не є переможцем Condorcet. Хоча метод Коупленд також вибере кандидата Condorcet як переможця, метод все ще працює у випадках, коли немає переможця Condorcet.

    Спробуйте зараз 5

    Розглянемо ще раз вибори від Спробуйте зараз 1. Знайдіть переможця, використовуючи метод Коупленд. Оскільки у нас є деякі неповні бюлетені переваг, нам доведеться коригувати. Наприклад, порівнюючи M з B, ми проігноруємо 20 голосів у третьому стовпці, які не оцінюють жодного кандидата.

    \ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
    \ лінія & 44 & 14 & 20 & 20 & 22 & 80 & 39
    \\\ рядок 1^ {\ текст {st}}\ текст {вибір} &\ математика {G} &\ математика {G} &\ mathrm {G} &\ mathrm {M} &\ математика {M} &\ математика {B} &\ математика {B}\\
    \ hline 2^ {\ текст {nd}}\ текст {вибір} &\ математика {M} &\ математика {B} &\ математика {G} &\ математика {B} &\ mathrm {M} &\\
    \ рядок 3^ {текст {rd}}\ текст {вибір} &\ mathrm {B} &\ mathrm {M} &\ математика {B} &\ математика {G} &\ mathrm {G} &\\
    \ hline
    \ end {масив}\)

    Відповідь

    Використання методу Коупленда:

    Озираючись на нашу роботу від Try it Now #2, ми бачимо

    G vs M:\(44+14+20 = 78\) віддайте перевагу G,\(70+22+80=172\) віддайте перевагу M: M бажаний - 1 бал

    G проти B:\(44+14+20+70=148\) віддайте перевагу G,\(22+80+39 = 141\) віддайте перевагу B: G кращий - 1 бал

    M vs B:\(44+70+22=136\) віддайте перевагу M,\(14+80+39=133\) віддайте перевагу B: M бажаний - 1 бал

    М заробляє 2 бали; G заробляє 1 бал. М виграє за методом Коупленд.