2.4: Що не так з множинністю?

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66179

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Вибори з Прикладу 2 можуть здатися абсолютно чистими, але існує проблема, яка ховається, коли є три або більше варіантів. Озираючись назад на нашу таблицю переваг, як би наші члени проголосували, якби вони мали лише два варіанти?

Анахайм проти Орландо: 7 з 10 віддадуть перевагу Анахайму над Орландо

$clipboard_e829948a3b7592a62c739c9407485fc5e.png$

Анахайм проти Гаваїв: 6 з 10 віддадуть перевагу Гаваям, а не Анахайму

$clipboard_ed2abe532b358ddf869b307c2227c4937.png$

Це не здається правильним, чи не так? Анахайм щойно виграв вибори, але 6 з 10 виборців, 60% з них, вважали б за краще Гаваї! Це навряд чи здається справедливим. Маркіз де Кондорсе, французький філософ, математик і політолог писав про те, як це могло статися в 1785 році, і для нього ми називаємо наш перший критерій справедливості.

Критерії справедливості

Критерії справедливості - це заяви, які, здається, повинні бути правдивими на чесних виборах.

Критерій Конкорцета

Якщо є вибір, який є кращим у кожному порівнянні один до одного з іншими варіантами, цей вибір повинен бути переможцем. Ми називаємо цього переможця переможцем Condorcet або кандидатом Condorcet.

Приклад 3

На виборах з Прикладу 2, який вибір є переможцем Condorcet?

Рішення

Вище ми бачимо, що Гаваї віддають перевагу перед Анахаймом. Порівнюючи Гаваї з Орландо, ми бачимо, що 6 з 10 віддадуть перевагу Гаваї Орландо.

$clipboard_e4468c87bcfcfc5678ee09fe28b81c155.png$

Оскільки Гаваї віддають перевагу в порівнянні один до одного з обох інших варіантів, Гаваї є переможцем Condorcet.

Приклад 4

Розглянемо вибори міської ради в окрузі, який історично становить 60% демократичних виборців і 40% республіканських виборців. Незважаючи на те, що міська рада є технічно безпартійним офісом, люди, як правило, знають приналежність кандидатів. На цих виборах є три кандидати: Дон і Кі, обидва демократи, і Елле, республіканець. Графік уподобань для голосів виглядає наступним чином:

\ (\ почати {масив} {|l|l|l|l|}
\ hline & 342 & 214 & 298
\\ hline 1^ {\ текст {st}}\ текст {вибір} &\ текст {Елле} &\ текст {Дон} &\ текст {ключ}
\\ hline 2^ {\ текст {nd}}\ текст {вибір} &\ текст {Ключ} &\ текст {Дон }\
\ hline 3^ {\ текст {rd}}\ текст {вибір} &\ текст {ключ} &\ текст {Elle} &\ текст {Elle}\
\ hline
\ end {масив}\)

Рішення

Ми бачимо, що в цих виборах взяло участь загальна кількість$342 + 214 + 298 = 854$ виборців. Обчислення відсотка голосів за перше місце:

Дон:$214/854 = 25.1\%$

Ключ:$298/854 = 34.9\%$

Елле:$342/854 = 40.0\%$

Таким чином, на цих виборах демократичні виборці розділили свій голос над двома кандидатами-демократами, що дозволило кандидату від республіканців Елле перемогти за методом множинності з 40% голосів.

Аналізуючи ці вибори ближче, ми бачимо, що вони порушують критерій Кондорсе. Аналізуючи порівняння один на один:

Elle vs Don: 342 віддають перевагу Elle; 512 воліють Дон: Дон кращий

Elle проти Key: 342 воліють Elle; 512 воліють Ключ: Ключ є кращим

Дон проти Ключа: 556 воліють Дон; 298 воліють Ключ: Дон є кращим

Тож незважаючи на те, що Дон мав найменшу кількість голосів на першому місці на виборах, він є переможцем Кондорцета, будучи кращим у кожному порівнянні один до одного з іншими кандидатами.

Спробуйте зараз 2

Розглянемо вибори від Спробуйте зараз 1. Чи є переможець Condorcet на цих виборах?

Відповідь

Визначення переможця Condorcet:

G vs M:$44+14+20 = 78$ віддайте перевагу G,$70+22+80=172$ віддайте перевагу M: M

G проти B:$44+14+20+70=148$ віддайте перевагу G,$22+80+39 = 141$ віддайте перевагу B: G

M vs B:$44+70+22=136$ віддайте перевагу M,$14+80+39=133$ віддайте перевагу B: M

М - переможець Condorcet, виходячи з інформації, яку ми маємо.