6.3: Оператори - підсумовування Ейлера-Маклорена
- Page ID
- 66109
Наступна аналогія вивчає незвичайні функції. Більшість функцій перетворюють числа в інші числа, але особливі види функцій оператори перетворюють функції в інші функції. Знайомим прикладом є оператор похідної D. Він перетворює функцію синуса в функцію косинуса, або гіперболічну функцію синуса в гіперболічну функцію косинуса. У операторних\(D(\sin) = \cos\) позначеннях, and\(D(\sin h) = \cos h\); опущення дужок дає менш захаращений вираз\(D \sin = \cos\) і\(D \sin h = \cos h\). Щоб зрозуміти і навчитися користуватися операторами, плідним інструментом є міркування за аналогією: Оператори поводяться так само, як звичайні функції або навіть як числа.
Зсув вліво
Як і число, оператор похідної\(D\) може бути зведений у квадрат, щоб\(D^{2}\) make (оператор другої похідної) або зробити будь-яку цілу потужність\(D\). Аналогічно оператор похідної може бути поданий до полінома. У цьому використанні звичайний многочлен, такий як\(P(x) = x^{2} + x/10 + 1\) виробляє операторний поліном\(P(D) = D^{2} + D/10 + 1\) (диференціальний оператор для злегка затухаючої системи пружина-маса).
Як далеко поширюється аналогія з числами? Наприклад, чи\(\cos hD \text{ or } \sin D\) мають сенс? Оскільки ці функції можуть бути записані за допомогою експоненціальної функції, давайте досліджуємо експоненціальний оператор\(e^{D}\).
Що\(e^{D}\) означає?
Безпосереднє тлумачення\(e\) полягає в тому, що вона перетворює функцію\(f\) в\(e^{Df}\).
Однак таке тлумачення є нелінійним. Він\(2f\) перетворюється в\(e^{2Df}\), який є квадратом\(e^{Df}\), тоді як лінійний оператор, який виробляє\(e^{Df}\) з\(f\) буде виробляти 2\(e^{Df}\) з\(2f\). Щоб отримати лінійну інтерпретацію, використовуйте ряд Тейлора так,\(D\) ніби це число для побудови\(e^{D}\) з лінійних операторів.
\[e^{D} = 1 + D + \frac{1}{2}D^{2} + \frac{1}{6}D^{3} + ... .\label{6.4} \]
Що це\(e^{D}\) робить з простими функціями?
Найпростіша ненульова функція - постійна функція\(f = 1\). Ось ця функція подається на\(e^{D}\):
\[\underbrace{(1 + D + ...)}_{e^{D}} \underbrace{1}_{f} = 1. \label{6.5} \]
Наступна найпростіша функція\(x\) перетворюється в\(x + 1\).
\[(1 + D + \frac{D^{2}}{2} + ...)x = x + 1. \label{6.6} \]
Що цікавіше,\(x^{2}\) перетворюється в\((x + 1)^{2}\).
\[(1 + D + \frac{D^{2}}{2} + \frac{D^{3}}{6} ...) x^{2} = x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}. \label{6.7} \]
Що таке\(e^{D}x^{3}\) і, взагалі,\(e^{D}x^{n}\)?
Що\(e^{D}\) взагалі робить?
Попередні приклади слідують шаблону\(e^{D}x^{n} = (x+1)^{n}\). Оскільки більшість функцій\(x\) можуть бути розширені в повноваженнях\(x\) і\(e^{D}\) перетворює кожен\(x^{n}\) термін в\((x + 1)^{n}\), висновок полягає в тому, що\(e^{D}\)\(f(x)\) перетворюється в\(f(x + 1)\). Дивно,\(e^{D}\) це просто L, оператор лівого зсуву.
Проблема 6.15 Зсув вправо або вліво
Намалюйте графік, щоб показати, що\(f(x) \rightarrow f(x + 1)\) це зсув вліво, а не вправо. \(e^{- D}\)Застосовуйте кілька простих функцій, щоб охарактеризувати його поведінку.
Проблема 6.16 Робота на більш жорсткій функції
Застосуйте розширення Тейлора\(e^{D}\) для гріха х, щоб показати це\(e^{D} \sin x = \sin(x + 1)\).
Проблема 6.17 Загальний оператор зміни
Якщо\(x\) має розміри, то\(D = d/dx\) похідний оператор не є безрозмірним, а\(e^{D}\) є незаконним виразом. Щоб зробити загальний вираз\(e^{aD}\) законним, які повинні бути розміри? Що\(e^{aD}\) робить?
підсумовування
Подібно до того, як оператор похідної може представляти оператор зсуву вліво (as\(L = e^{D}\)), оператор зсуву вліво може представляти операцію підсумовування. Це операторне подання призведе до потужного методу апроксимації сум без замкнутої форми.
Підсумовування аналогічно більш звичній операції інтеграції. Інтеграція відбувається у певному та невизначеному ароматах: Певна інтеграція еквівалентна невизначеній інтеграції з подальшою оцінкою в межах інтеграції. Як приклад, ось певна інтеграція\(f(x) = 2x\).
Взагалі зв'язок між вхідною функцією g і результатом невизначеного інтегрування є\(DG = g\), де\(D\) є похідний оператор і\(G = \int g\) є результатом невизначеного інтегрування.
Таким чином\(D\) і являють собою зворотні один одного\(D\int = 1\) або з'єднання\(D = 1/\int\), представлене шлейфом на схемі. (\(\int D \nleq 1\)через можливу константу інтеграції.)
Що таке аналогічна картинка для підсумовування?
Аналогічно інтеграції визначте певне підсумовування як невизначене підсумовування, а потім оцінку в межах. Але застосовуйте аналогію з обережністю, щоб уникнути помилки off-by-one або fencepost (Проблема 2.24). Сума\(\sum_{2}^{4}f(k)\) включає три прямокутники\(f(2), f(3)\), і\(f(4)\) тоді як певний інтеграл\(\sum_{2}^{4}f(k)\) dk не включає жодного\(f(4)\) прямокутника. Замість того, щоб виправляти невідповідність шляхом перевизначення звичної операції інтеграції, інтерпретуйте невизначене підсумовування, щоб виключити останній прямокутник. Потім невизначене підсумовування з подальшою оцінкою в межах\(a\) і\(b\) видає суму, індекс якої коливається від\(a\) до\(b − 1\).
Як приклад візьмемо\(f(k) = k\). Тоді невизначена сума\(\sum\) f - функція,\(F\) визначена\(F(k) = k(k − 1)/2 + C\) (де C - константа підсумовування). Оцінювання\(F\) між 0 і\(n\) дає\(n(n − 1)/2\), що є\(\sum_{0}^{n - 1}k\). На наступній схемі ці кроки є прямим шляхом.
У зворотному шляху новий оператор Δ інвертує так\(\sum\) само, як диференціація інвертує інтеграцію. Тому операторне подання для Δ забезпечує один для\(\sum\). Оскільки Δ і оператор похідної\(D\) є аналогічними, їх уявлення, ймовірно, аналогічні. Похідна - це межа
\[\frac{d f}{d x}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \label{6.8} \]
Тому оператор похідної\(D\) є лімітом оператора.
\[D = lim_{h \rightarrow 0} \frac{L_{h} - 1}{h}, \label{6.9} \]
де оператор Lh\(f(x)\) перетворюється в\(f(x + h)\) тобто,\(Lh\) лівий зрушує повз\(h\).
Поясніть, чому\(L_{h} ≈ 1 + hD\) для малого ч\(L = e^{D}\).
Що таке аналогічне подання Δ?
Операторна межа для D використовує нескінченно малий зсув вліво; відповідно, обернена операція інтеграції сумує прямокутники нескінченно малої ширини. Оскільки підсумовування\(\sum\) сумує прямокутники одиничної ширини, його обернене Δ має використовувати одиничний зсув вліво, а саме,\(L_{h}\) з\(h = 1\). Як розумна здогадка,
\[Δ = lim_{h \rightarrow 1} \frac{L_{h} - 1}{h} = L - 1. \label{6.10} \]
Цей Δ називається оператором скінченної різниці, побудована як be\(1/\sum\). Якщо побудова правильна, то\((L − 1)\sum\) це ідентифікаційний оператор 1. Іншими словами, (L − 1)\(\sum\) повинні перетворювати функції в себе.
Наскільки добре працює ця здогадка в різних легких випадках?
Щоб перевірити гіпотезу,\((L−1)\sum\) спочатку застосуйте оператор до легкої функції\(g = 1\). Потім\(\sum g\) є функція, яка очікує, щоб його подали аргумент, і (\(\sum g)(k)\)є результатом годування його\(k\). З цим позначенням, (\(\sum g)(k) = k + C\). Подача цієї функції\(L − 1\) оператору відтворює\(g\).
\[[(L - 1) \sum g](k) = \underbrace{(k + 1 + C)}_{(L\sum g)(k)} - \underbrace{(k + C)}_{(1\sum g)(k)} = \underbrace{1}_{g(k)}. \label{6.11} \]
З наступною найпростішою функцією, визначеною\(g(k) = k\) невизначеною сумою (\(\sum g)(k)\)is\(k(k − 1)/2 + C\). Проходячи\(\sum g\) через\(L − 1\) знову відтворюється\(g\).
\[[(\mathrm{L}-1) \Sigma \mathrm{g}](\mathrm{k})=\underbrace{\left(\frac{(\mathrm{k}+1) \mathrm{k}}{2}+\mathrm{C}\right)}_{(\mathrm{L} \Sigma \mathrm{g})(\mathrm{k})}-\underbrace{\left(\frac{\mathrm{k}(\mathrm{k}-1)}{2}+\mathrm{C}\right)}_{(1[\mathrm{~g})(\mathrm{k})}=\underbrace{\mathrm{k}}_{\mathrm{g}(\mathrm{k})} . \label{6.12} \]
Підсумовуючи, для тестових функцій\(g(k) = 1\) і\(g(k) = k\), операторний продукт\((L − 1)\sum\) повертає g назад до себе, тому він діє як оператор ідентичності. Така поведінка\((L−1)\sum 1\) є загальним дійсно 1, і\(\sum = 1/(L−1)\). Тому що\(L = e^{D}\), у нас є\(\sum = 1/(e^{D} − 1)\). Розширення правої сторони в серії Тейлора дає дивовижне уявлення про оператор підсумовування.
\[\sum = \frac{1}{e^{D} - 1} = \frac{1}{D} - \frac{1}{2} + \frac{D}{12} - \frac{D^{3}}{720} + \frac{D^{5}}{30240} - ... .\label{6.13} \]
\(D = 1\)Тому що провідним терміном\(1/D\) є інтеграція. Таким чином, підсумовування - це приблизно інтеграція правдоподібного висновку, який вказує на те, що представлення оператора не є нісенітницею.
Застосовуючи цей операторний ряд до функції f, а потім оцінюючи на границі a та b, формулу підсумовування Ейлера—Маклоріна.
\ [\ почати {вирівняний}
\ сума_ {a} ^ {b - 1} f (k) =&\ int_ {a} ^ {b} f (k) д к+\ фракція {f (b) +f (a)} {2} +\ frac {f^ {(1)} (b) -f^ {(1)} (a)} {12}\\
& \- гідророзриву {f^ {(3)} (b) -f^ {(3)} (a)} {720} +\ розриву {f^ {(5)} (b) -f^ {(5)} (а)} {30240} -\ cdots
\ кінець {вирівняний}\ мітка {6.14}\]
де\(f^{(n)}\) вказує n-у похідну від\(f\).
Сумі не вистачає звичайного кінцевого терміну\(f(b)\). У тому числі цей термін дає корисну альтернативу.
\ [\ почати {вирівняний}
\ сума_ {a} ^ {b} f (k) =&\ int_ {a} ^ {b} f (k) д к+\ frac {f (b) +f (a)} {2} +\ frac {(1)} (b) -f^ {(1)} (a)} {12}\
&\ frac {f^ {(3)} (b) -f^ {(3)} (a)} {720} +\ f^ {(5)} (b) -f^ {(5)} (a)} {30240} -\ cdots
\ кінець {вирівняний}\ мітка {6.15}\]
Як перевірку спробуйте легкий випадок:\(\sum_{0}{n}k\). Використання підсумовування Ейлера — Маклорена\(f(k) = k, a = 0\), і\(b = n\). Інтегральний термін потім сприяє\(n^{2}/2\); постійний термін\([f(b) + f(a)]/2\) сприяє\(n/2\); а пізніше терміни зникають. Результат знайомий і правильний:
\[\sum_{0}^{n}k = \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2} + 0 = \frac{n(n + 1)}{2}. \label{6.16} \]
Більш суворим випробуванням підсумовування Ейлера—Маклорена є приблизний\(lnn!\), який є сумою\(\sum_{1}^{n}ln k\) (розділ 4.5). Тому сума\(f(k) = ln k\) між (включно) лімітами\(a = 1 \text{and} b = n\). Результат -
\[\sum_{1}^{n} ln k = \int_{1}^{n} ln k dk + \frac{ln n}{2} + ... . \label{6.17} \]
Інтеграл, від\(1/D\) оператора, вносить площу під\(ln k\) кривою. Виправлення, від оператора 1/2, включає трикутні виступи (Проблема 6.20). Три крапки включає виправлення вищого порядку (Задача 6.21) важко оцінити за допомогою зображень (Проблема 4.32), але простий за допомогою підсумовування Ейлера - Маклорина (Задача 6.21).
Задача 6.19 Цілі суми
Використовуйте підсумовування Ейлера — Маклорена, щоб знайти замкнуті форми для наступних сум:
(а)\(\sum_{0}^{n} k^{2}\) (б)\(\sum_{0}^{n} (2k + 1)\) (с)\(\sum_{0}^{n} k^{3}\).
Завдання 6.20 Граничні випадки
У підсумовуванні Ейлера — Маклорена постійний член становить\([f(b) + f(a)]/2\) половину першого члена плюс половина останнього члена. Картина для підсумовування\(ln k\) (Розділ 4.5) показала, що виступи складають приблизно половину останнього члена, а саме\(ln n\). Що, наочно, сталося з половиною першого терміну?
Проблема 6.21 Умови вищого замовлення
Наближене\(ln 5!\) використання підсумовування Ейлера — Маклорена.
Задача 6.22 Базельська сума
Базельська сума\(\sum_{1}^{\infty}n^{-2}\) може бути апроксимована картинками (Задача 4.37).
Однак наближення занадто грубе, щоб допомогти вгадати замкнуту форму. Як і Ейлер, використовуйте підсумовування Ейлера - Маклорена для підвищення точності, поки ви не зможете впевнено вгадати замкнуту форму.
Підказка: Підсумуйте перші кілька термінів явно.