1.3: Тема C- Пропорція

Пропорція - це твердження про те, що два співвідношення рівні або еквівалентні.

Ось деякі пропорції:

Пропорція	Форма дробу	Читайте так...
\(1:2 = 2:4\)	\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\)	1 до 2, як 2 до 4
\(1:4 = 25:100\)	\(\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100}\)	1 до 4, як 25 до 100
\(18:9 = 10:5\)	\(\dfrac{18}{9} = \dfrac{10}{5}\)	18 до 9, як 10 - це 5
\(15:20 = 3:4\)	\(\dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}\)	15 до 20, як 3 до 4

Пропорції можуть бути використані для вирішення багатьох математичних задач. Незабаром ви навчитеся використовувати пропорції для вирішення проблем, пов'язаних з відсотками. Методи, які ви практикуєте на наступних кількох сторінках, важливі для цієї роботи з вирішення проблем.

Проблеми часто дають неповну інформацію; тобто один з термінів відсутній. Щоб вирішити такі завдання, ви спочатку знайдете порівняння або співвідношення, яке дано. Це може бути:

• Кількість однієї речі, яка змішується з більшою кількістю чогось іншого
• Шкала вимірювання, наведена на карті, така як 1 см на карті, являє собою відстань 100 км на суші
• Вартість за певну кількість позицій
• Час проїзду на певну відстань

Завдання потім дасть один член другого співвідношення в пропорції. Наприклад, якщо вам сказали, що 3 головки салату коштують 1,49 долара, вас можуть попросити знайти вартість 7 голів салату.

Відсутній термін - друга вартість. Пропорція складе:

\(\dfrac{\text{number of heads of lettuce}}{\text{cost}} = \dfrac{\text{number of heads of lettuce}}{\text{cost}}\)

\(\dfrac{3}{$1.49} = \dfrac{7}{?}\)

\(3: $1.49 = 7: ?\)

Найголовніше, що потрібно пам'ятати, - зберегти порядок порівняння однаковим у першому і другому співвідношеннях в пропорції. Якщо перше співвідношення порівнює час до відстані, то друге співвідношення в пропорції має порівнювати час до відстані.

\(\dfrac{time}{distance} = \dfrac{time}{distance}\)

Або це може бути:

\(\dfrac{distance}{time} = \dfrac{distance}{time}\)

Після того, як ви визначилися з порядком порівняння, це проста справа, щоб написати пропорцію, використовуючи цифри, наведені в задачі. Використовуйте букву, щоб позначити відсутній термін.

Як би ви знайшли відсутній термін?

• Ви можете використовувати свої навички з еквівалентними співвідношеннями (пошук вищих і нижчих термінів)
• Ви можете використовувати свої навички дробу перехресного множення, а потім ділення, щоб знайти відсутній термін.

Використання еквівалентних коефіцієнтів для вирішення пропорцій

Вирішити задачу пропорцій за допомогою еквівалентних коефіцієнтів

1. Крок 1
   Визначтеся з порядком порівняння і напишіть співвідношення, яке описує інформацію, наведену в задачі. Напишіть пропорцію, використовуючи слова елементів, які порівнюються у вигляді дробу.
2. Крок 2
   Напишіть ще два співвідношення з цифрами, що відповідають словам в першому співвідношенні. Відсутній термін (число) можна дати букву (напр. N).
3. Крок 3
   Подумки відкладіть співвідношення зі словами (перше співвідношення) в сторону.
4. Крок 4
   Помножте або розділіть повне співвідношення, щоб знайти відсутній термін.

5. Приклад A

   Використовуйте 1 чайну ложку розпушувача на кожні 2 склянки борошна. Якщо в рецепті використовується 6 склянок борошна, скільки потрібно розпушувача? Відсутній термін - чайні ложки розпушувача на 6 склянок борошна. Називайте цей термін N.

   Крок 1
   Співвідношення\(\dfrac{\text{baking powder}}{\text{flour}}\)

   Крок 2

   \(\dfrac{\text{baking powder}}{\text{flour}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{N}{6}\)

   Крок 3

   \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{N}{6}\)

   Крок 4

   \(\dfrac{1}{2} \times \left( \dfrac{3}{3} \right) = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6}\), Отже\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\), так\(N = 3\)

   Використовуйте 3 чайні ложки розпушувача на 6 склянок борошна.

Приклад B

Звіти свідчать про те, що 3 з 10 людей в якийсь час пропустять роботу через болі в спині. Якщо компанія має 1000 співробітників, скільки можна очікувати пропустити роботу через біль у спині. Відсутній термін - це кількість людей з 1000, які пропустять роботу через біль у спині. Називають цей термін П.

1. Крок 1
   Співвідношення\(\dfrac{\text{people who will miss work}}{\text{all people at work}}\)
2. Крок 2
3. \(\dfrac{\text{people who will miss work}}{\text{all the people at work}} = \dfrac{3}{10} = \dfrac{P}{1000}\)
4. Крок 3
5. \(\dfrac{3}{10} = \dfrac{P}{1000}\)
6. Крок 4
7. \(\dfrac{3}{10} \times \left( \dfrac{100}{100} \right) = \dfrac{3 \times 100}{10 \times 100} = \dfrac{300}{1000}\), Отже\(\dfrac{3}{10} = \dfrac{300}{1000}\), так\(P = 300\)

300 чоловік з 1000 людей можуть пропустити роботу через болі в спині.

Вправа 1

Напишіть співвідношення слів, щоб описати надану інформацію.

1. Три склянки борошна на одну чайну ложку дріжджів.
   Відповідь:\(\dfrac{flour}{yeast}\)
2. Чотири частини масла, десять частин бензину
3. Один сантиметр являє собою 100 кілометрів.
4. 100 грам за 6,89 доларів
5. 3 яєць на кожну склянку молока
6. 5 чоловіків і 7 жінок

Відповіді на вправу 1

Б.\(\dfrac{\text{oil}}{\text{gasoline}}\)

С.\(\dfrac{\text{centimetres}}{\text{kilometres}}\)

Д.\(\dfrac{\text{grams}}{\text{dollars}}\)

Е.\(\dfrac{\text{eggs}}{\text{milk}}\)

Ф.\(\dfrac{\text{men}}{\text{women}}\)

Вправа 2

Використовуйте еквівалентні співвідношення, щоб знайти відповіді.

А. одна чашка цукру і чотири склянки води зроблять велику їжу колібрі. Скільки цукру потрібно на 8 склянок води?

\(\dfrac{\text{sugar}}{\text{water}} \rightarrow \dfrac{1}{4} = \dfrac{N}{8} \rightarrow \dfrac{1}{4} \times \left( \dfrac{2}{2} \right) = \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{2}{8} \rightarrow N=2\)

Б. звіти показують, що на кожні 100 транспортних засобів, перевірених поліцією, 20 транспортних засобів не відповідають стандарту безпеки. Якби перевірено лише 50 транспортних засобів, скільки не відповідало б стандарту безпеки?

C. Чотири літри фарби покривають 24 квадратні метри стіни. Скільки фарби потрібно для покриття 72 квадратних метра?

В сухому молоці використовується 1 частина сухого молока на 3 частини води. Скільки порошку потрібно додавати в 9 частин води?

Відповіді на вправу 2

Б. 10 автомобілів не відповідали б нормам безпеки

C. 12 літрів фарби

Д. 3 частини сухого молока

Вправа 3

Використовуйте еквівалентні співвідношення, щоб знайти відсутній термін у цих пропорціях.

1. \(3:5 = Y:15\)
2. \(1:2 = P:8\)
3. \(5:7 = 10:N\)
4. \(2:3 = 8:W\)
5. \(4:7 = 16:A\)
6. \(1:3 = 2:N\)
7. Мотоцикл KX 250 використовує суміш однієї частини масла до 30 частин бензину. Скільки масла потрібно додавати в 3000 мл бензину?
   

Відповіді на вправу 3

А.\(Y=9\)

Б.\(P=4\)

С.\(N=14\)

Д.\(W=12\)

Е.\(A=28\)

Ф.\(N=6\)

Г.\(N = 100 \rm mL\)

Використання перехресного множення для вирішення пропорції

Огляд крос-продукції:

Помножте чисельник кожного дробу на знаменник іншого дробу.

\(\dfrac{2}{5} \nearrow \dfrac{4}{10}\)

\(\dfrac{2}{5} \searrow \dfrac{4}{10}\)

\(2 \times 10 = 5 \times 4\)

\(20 = 20\)

\(2 \times 10 = 20\)і\(5 \times 4 = 20\)

Тому:\(\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}\)

Пам'ятайте, що коли перехресні вироби однакові, фракції еквівалентні.

При знаходженні відсутніх термінів в пропорції можна використовувати перехресне множення. Уважно дотримуйтесь прикладів.

Приклад A

\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{N}{45}\)

Перехресне множення:

\(2 \times 45 = 3 \times N\)

\(90 = 3N\)

Ідея полягає в тому, щоб мати невідомий термін N сам по собі на одній стороні знака рівності. Для цього запам'ятайте ці речі, які ви вже знаєте:

• Ділення і множення - протилежні операції
• Все, що робиться з однієї сторони рівняння або пропорції, потрібно зробити з іншого боку, щоб рівняння було рівним.

3 N означає N множиться на 3. Щоб позбутися від 3, розділіть на 3.

Ви також повинні розділити іншу сторону рівняння на 3.
\(\dfrac{90}{3} = \dfrac{3N}{3}\)

Вирішити шляхом зменшення\(\dfrac{3}{3}\) і ділення 90 на 3.

\(\dfrac{90}{3} = \dfrac{3N}{3}\)

\(\dfrac{90}{3} = \dfrac{1N}{1}\)

\(\dfrac{90}{3} = N\)

\(90 \div 3 = N\)

\(30 = N\)

Зменшення фракції\(\dfrac{3N}{3}\)\(dfrac{1N}{1}\) до до ще\(N\) називається скасуванням. У математиці дріб може бути скасований, коли чисельник і знаменник є однаковим числом.

напр.\(\dfrac{6P}{6} = \dfrac{1P}{1} = P\)

Приклад B

\(\dfrac{6}{7} = \dfrac{24}{N}\)

Перехресне множення:

\(6 \times N = 7 \times 24\)

\(6N = 168\)
Розділіть обидві сторони на 6. 6 з N скасує (зменшить), а N буде один.

\(\dfrac{6N}{6} = \dfrac{168}{6}\)

\(\dfrac{\cancel{6}N}{\cancel{6}} = \dfrac{168}{6}\)

\(N = 168 \div 6\)

\(N = 28\)

\(\dfrac{6}{7} = \dfrac{24}{28}\)

Перевірте шляхом перехресного множення:

Є\(6 \times 28 = 7 \times 24\)?

\(6 \times 28 = 168\)

\(7 \times 24 = 168\)

крос-продукт\(168 = \text{the cross-product} 168\)

\(\text{Yes}-6:7 = 24:28\)

Приклад B

\(\dfrac{6}{7} = \dfrac{24}{N}\)

Перехресне множення:

\(6 \times N = 7 \times 24\)

\(6N = 168\)

Розділіть обидві сторони на 6. 6 з N скасує (зменшить), а N буде один.

\(\dfrac{6N}{6} = \dfrac{168}{6}\)

\(\dfrac{\cancel{6}N}{\cancel{6}} = \dfrac{168}{6}\)

\(N = 168 \div 6\)

\(N = 28\)

\(\dfrac{6}{7} = \dfrac{24}{28}\)

Перевірте шляхом перехресного множення:

Є\(6 \times 28 = 7 \times 24\)?

\(6 \times 28 = 168\)

\(7 \times 24 = 168\)

\(\text{the cross-product} 168 = \text{the cross-product} 168\)

\(\text{Yes - }6:7 = 24:28\)

Приклад C

\(\dfrac{8}{10} = \dfrac{N}{80}\)

Перехресне множення:

\(8 \times 80 = 10 \times N\)

\(640 = 10N\)

Розділіть обидві сторони на 10 так N буде поодинці.

\(\dfrac{640}{10} = \dfrac{10N}{10}\)

\(\dfrac{64\cancel{0}}{\cancel{10}} = \dfrac{\cancel{10}N}{\cancel{10}}\)

\(64 = N\)

Розв'язування задачі пропорцій за допомогою перехресного множення

1. Крок 1
   Напишіть перше співвідношення, використовуючи надану інформацію.
2. Крок 2
   Напишіть пропорцію, використовуючи букву замість відсутнього терміна. Переконайтеся, що порядок порівняння однаковий як у першому, так і в другому співвідношенні у вашій пропорції.
3. Крок 3
   Запишіть пропорцію у вигляді дробу. (Спробуйте спростити співвідношення, перш ніж робити всі розрахунки).
4. Крок 4
   Перехресно множимо і встановлюємо перехресні вироби рівними один одному.
5. Крок 5
   Розділіть обидві сторони рівняння на число з невідомим терміном.
6. Крок 6
   Перевірте, повернувши свою відповідь назад у вихідну пропорцію та перехресне множення.

7. Вправа 4

   Практикуйте використання перехресного множення, щоб знайти відсутній термін у цих пропорціях.

   А.\(\dfrac{5}{8} = \dfrac{N}{32}\)

   \(5 \times 32 = 8 \times N\)

   \(160 = 8N\)

   \(\dfrac{160}{8} = \dfrac{8N}{8}\)

   \(160 \div 8 = N\)

   \(20 = N\)

   Б.\(\dfrac{4}{N} = \dfrac{24}{30}\)

   С.\(\dfrac{12}{4} = \dfrac{18}{x}\)

   Д.\(\dfrac{y}{6} = \dfrac{20}{12}\)

   Е.\(4:15 = 8:N\)

   Ф.\(W:100 = 6:50\)

   Відповіді на вправу 4

   Б.\(N=5\)

   С.\(x = 6\)

   Д.\(y = 10\)

   Е.\(N = 30\)

   Ф.\(W = 12\)

Числа в співвідношенні часто є загальними дроби, десяткові або мішані числа. Виконайте точно ті ж дії, які ви використовували для вирішення цілих пропорцій чисел. У розрахунках будуть використані ваші навички з дробами.

Приклад A

\(2\dfrac{1}{4}:3 = N:7\)

Перепишіть пропорції:

\(\dfrac{2 \frac{1}{4}}{3} = \dfrac{N}{7}\)

Перехресне множення:

\(2\dfrac{1}{4} \times 7 = 3 \times N\)

\(\dfrac{9}{4} \times \dfrac{7}{1} = 3 \times N\)

\(\dfrac{63}{4} = 3N\)

\(\dfrac{63}{4} \div \dfrac{3}{1} = \dfrac{3 \times N}{3} \rightarrow \dfrac{63}{4} \times \dfrac{1}{3} = N\)

\(\dfrac{63}{12} = N \rightarrow 5\dfrac{3}{12} \rightarrow 5\dfrac{1}{4} = N\)

Вправа 5

Практикуйте використання перехресного множення, щоб знайти відсутній термін у цих пропорціях.

А.\(65:5 = 13:A\)

\(\dfrac{6.5}{5} = \dfrac{13}{A}\)

\(6.5A = 65\)

\(A = 65 \div 6.5\)

\(A=10\)

Б.\(3\dfrac{1}{2}:2 = N:8\)

С.\(9:6 = 4\dfrac{1}{2}:N\)

Д.\(7.5:B = 10:20\)

Е.\(3.75:5 = 9x\)

Ф.\(4\dfrac{1}{8}:A = 3:6\)

Відповідь

Б.\(N = 14\)

С.\(N = 3\)

Д.\(B = 15\)

Е.\(x = 12\)

Ф.\(A = 8\dfrac{1}{4}\) або\(8.25\)

Вправа 6

1. Джоанна може пройти 18 км за 3 години. Як далеко вона може ходити, з такою ж швидкістю через 5½ години?
2. Податки на майно, що оцінюється в $300,000, оцінюються в $5,000. При тій же ставці оподаткування, які податки були б на меншій партії по вулиці, яка оцінюється в
   $240,000?
3. Одна дорожня карта до нашої ери має масштаб 0,5 сантиметра, що дорівнює 10 кілометрам. Заповніть діаграму, розрахувавши фактичні відстані водіння в кілометрах між деякими місцями до н.е. пропорції будуть\(\dfrac{0.5}{10} = \dfrac{\text{cm given in chart}}{\text{actual distance in km}}\)

4. Місця в B.C.	Кількість см між місцями на карті	Фактична відстань у кілометрах
   Келовна і Вернон	2,5 см
   Бернс-Лейк і Вандерхуф	5,5 см
   Тата Крік і Скокумчук	0,75 см
   Кітімат і тераса	3,3 см

5. Напрямки щодо добрива для газону говорять про розподіл 1,7 кг на 100 м ² газону.
   1. Скільки добрив потрібно для газону площею 130 м ²?
   2. Скільки добрив для газону 75 м ²?

Відповідь

А. 33 км

Б. 4000 ДОЛАРІВ

C.

 

Місця в B.C.	Кількість см між місцями на карті	Фактична відстань у кілометрах
Келовна і Вернон	2,5 см	50 км
Бернс-Лейк і Вандерхуф	5,5 см	110 км
Тата Крік і Скокумчук	0,75 см	15 км
Кітімат і тераса	3,3 см	66 км

Д.

1. 2,21 кг
2. 1.275 кг

 

 

Тема C: Самотестування

Марка /20 Мета 17/20

1. Вирішіть ці пропорції.
   (6 оцінок)
   1. \(N:14 = 28:56\)
   2. \(3:11 = N:22\)
   3. \(50:45 = 10:N\)
   4. \(4\dfrac{1}{5}:Y = 3:2\)

    

2. (14 оцінок)
   1. Отримайте карту БК, карту Канади та карту вашого міста чи міста.
   2. Знайдіть масштаб на кожній карті (зазвичай внизу) і запишіть співвідношення відстані карти до фактичної відстані.
   3. З іншим учнем або інструктором розрахуйте фактичні відстані між місцями, виміряючи відстань на карті і відпрацювавши пропорцію за заданою шкалою. Зробіть щонайменше три обчислення відстані на кожній карті.

   Попросіть інструктора відзначити вашу роботу.

Відповіді на тему C Самотестування

1. 1. \(N=7\)
   2. \(N=6\)
   3. \(N=9\)
   4. \(Y = 2\dfrac{4}{5}\)або\(2.8\)

    

2. Побачити інструктора.