2.5: Точки рівноваги
- Page ID
- 65733
У цьому розділі ми спробуємо отримати більше розуміння стратегій рівноваги в грі. Загалом, ми називаємо пару стратегій рівноваги парою рівноваги, тоді як конкретний вектор виплати, пов'язаний з парою рівноваги, ми називаємо точкою рівноваги.
Визначте точку (и) рівноваги для наступних ігор.
- \(\begin{bmatrix}(2,-2) & (1,-1) \\(2,-2) & (1,-1) \end{bmatrix}\)
- \(\begin{bmatrix}(0,0) & (-1,1) & (0,0) \\ (−1,1) & (0,0) & (−1,1) \\ (0,0) & (1,−1) & (0,0) \end{bmatrix}\)
Що ви помічаєте про значення точок рівноваги ігор у Вправи\(2.5.1\)?
Велике питання, на яке ми хочемо відповісти: «Чи можуть дві точки рівноваги для гри з нульовою сумою двох гравців мати різні значення?» Експериментуючи з деякими прикладами, спробуйте створити приклад гри з двома точками рівноваги, де ці точки мають різні значення для одного з гравців. Якщо вам вдасться успішно створити такий приклад, ви відповіли на питання. Але тільки тому, що ви не можете знайти приклад, це не означає, що одного не існує!
Спробувавши кілька прикладів, ви можете почати вірити, що відповідь на вищевказане запитання - «ні». Тепер ви готові спробувати довести наступну теорему:
Теорема розв'язків ігор з нульовою сумою.
Кожна точка рівноваги гри з нульовою сумою двох осіб має однакове значення.
Почнемо з\(2 \times 2\) справи. Ми скористаємося доказом протиріччя. Ми припустимо, що теорема помилкова і покажемо, що отримуємо логічне протиріччя. Як тільки ми досягнемо логічного протиріччя (твердження, яке є одночасно істинним і хибним), ми можемо зробити висновок, що ми помилилися, припускаючи, що теорема була помилковою; отже, теорема повинна бути істинною. Переконайтеся, що вам зручно з логікою цього, перш ніж рухатися далі.
Оскільки ми хочемо припустити, що теорема є помилковою, ми припускаємо, що у нас є гра з нульовою сумою двох гравців з двома різними значеннями рівноваги. Оскільки конкретного прикладу такої гри у нас немає, ми хочемо представити гру в загальному вигляді. Зокрема, ми можемо уявити загальну гру
Зверніть увагу,\(a\) що якщо негативний,\(-a\) то позитивний; таким чином, кожен можливий набір значень представлений цією матрицею. Ми хочемо подивитися на можливі випадки рівноваги.
Поясніть, що піде не так\((d, -d)\), якщо\((a, -a)\) і рівноваги з\(a \neq d\text{.}\)
- Підказка
-
Подумайте про різні випадки, такі як\(a\lt d\text{,}\)\(a>d\text{.}\)
Узагальніть свою відповідь на Вправа,\(2.5.3\) щоб пояснити, що піде не так, якщо дві рівноваги знаходяться в одному стовпці. Аналогічно поясніть, що станеться, якщо дві рівноваги знаходяться в одному ряду.
Чи має таке ж пояснення, якщо дві рівноваги розташовані по діагоналі один від одного? (Поясніть свою відповідь!)
З вашої останньої відповіді ви повинні побачити, що нам потрібно зробити більше роботи, щоб з'ясувати, що станеться, якщо рівноваги діагональні. Отже, давайте припустимо, що два рівноваги є\((a, -a)\) і\((b, -b)\) з\(a \neq b\text{.}\) Це може бути корисно, щоб намалювати матрицю виплати і обвести рівноваги.
Побудувати систему нерівностей, використовуючи той факт, що гравець віддає перевагу точці рівноваги іншому вибору. Наприклад, Гравець 1 вважає за\(a\) краще\(d\text{.}\) таким чином,\(a > d\text{.}\) Перерахуйте всі чотири нерівності, які ви можете отримати, використовуючи цей факт. Ви повинні отримати два для кожного player— пам'ятайте, що гравець 1 може порівнювати тільки значення в тому ж стовпці, оскільки він не має можливості перемикати стовпці. При необхідності перетворіть всі нерівності в ті, що не мають негативів. (Огляд алгебри:\(-5 \lt -2\) засоби\(5 > 2\text{!}\))
Тепер рядок ваші нерівності разом. Наприклад, якщо\(a \lt b\) і\(b \lt c\) тоді ми можемо писати\(a \lt b \lt c\text{.}\) (Будьте обережні, нерівності повинні стикатися однаково; ми не можемо писати\(a> b \lt c\text{!}\))
Поясніть, чому у вас зараз виникає протиріччя (твердження, яке повинно бути помилковим). Тепер ми можемо зробити висновок, що наше припущення\(a \neq b\) було неправильним.
Повторіть вищевказаний аргумент (Вправа\(2.5.6\)\(2.5.7\), Вправа та Вправа\(2.5.8\)) для випадку, якщо дві рівноваги є\((d, -d)\) і\((c, -c)\) з\(d\neq c\text{.}\)
Поясніть, чому ви можете зробити висновок, що всі рівноваги в грі\(2 \times 2\) з нульовою сумою двох гравців мають однакове значення.
Ми просто попрацювали над доказом, крок за кроком, але тепер вам потрібно зібрати всі ідеї воєдино для себе.
Напишіть повний доказ\(2 \times 2\) справи своїми словами.
Ви бачите, як ви могли б узагальнити до більшої ігрової матриці? Вам не потрібно писати доказ загального випадку, просто поясніть, як ключові ідеї з\(2 \times 2\) справи будуть застосовуватися до більшої ігрової матриці.
- Підказка
-
Подумайте про рівноваги в (а) одному рядку, (b) в одному стовпці або (c) в іншому рядку та стовпці.
Ми бачили, що будь-які дві точки рівноваги повинні мати однакове значення. Однак важливо зазначити, що лише тому, що результат має те саме значення, що і точка рівноваги, це не означає, що він також є точкою рівноваги.
Наведіть конкретний приклад ігрової матриці з двома результатами,\((0, 0)\text{,}\) де один є точкою рівноваги, а інший ні.
Робота через етапи математичного доказу може бути складною справою. Коли ви думаєте про те, що ми зробили в цьому розділі, спочатку переконайтеся, що ви розумієте аргумент для кожного кроку. Потім попрацюйте над розумінням того, як кроки поєднуються, щоб створити більший аргумент.
Наступний розділ підсумовує всю нашу роботу з пошуку точок рівноваги для ігор з нульовою сумою.