2.4: Гра в азартні ігри
- Page ID
- 65753
Тепер, коли ми попрацювали з очікуваною цінністю, ми можемо почати аналізувати деякі прості ігри, які включають елемент випадковості.
Починаємо з колоди карт, в якій\(50 \%\) є тузи (можна використовувати Червоні карти для тузів) і\(50 \%\) є королями (можна використовувати Чорні карти для королів). Є два гравці і один дилер. Гра починається кожним гравцем, який вкладає анте (\(1\)фішку). Кожному гравцеві видається одна карта обличчям вниз. НЕ ДИВЛЯЧИСЬ НА СВОЮ КАРТУ, гравці вирішують зробити ставку (скажімо,\( \) чіп) або фолд. Гравці таємно показують дилеру свій вибір. Якщо один гравець зробив ставку, а інший скинув, то виграє той гравець, який робить ставку. Якщо обидві ставки або обидва рази, то туз б'є короля (або червоний б'є чорний); переможець бере банк (всі фішки від анте і будь-які ставки). Якщо є краватка, вони розколюють горщик.
Грайте в гру кілька разів з двома іншими людьми (так у вас є два гравці і дилер), відстежуючи вибір стратегії гравців і отримані виплати.
Виходячи з гри, визначте можливу стратегію виграшу.
Це гра з нульовою сумою? Чому чи чому ні?
Чи впливає фактична угода на вибір стратегії?
Що стосується будь-якої угоди, який вибір стратегії має гравець?
Перш ніж рухатися далі, слід спробувати визначити матрицю виплат. Решта цього розділу буде більш значущою, якщо ви дали деяку думку про те, якою має бути матриця виплат. Це нормально, щоб помилитися в цей момент, це не нормально, щоб не спробувати.
Запишіть можливу матрицю виплат для цієї гри.
Тепер давайте попрацюємо над створенням матриці виплат для однокарткового стад-покеру.
Якщо гравець 1 ставки і гравець 2 складки, чи має значення, які карти були роздані? Скільки виграє Гравець 1? Скільки програє Гравець 2? Що таке вектор виплат для [Bet, Fold]? (Майте на увазі свою відповідь на вправи\(2.4.3\).)
Якщо гравець 1 складки і гравець 2 ставки, чи має значення, які карти були роздані? Що таке вектор виплат для [Fold, Bet]?
Якщо обидва гравці Bet, чи залежить виграш від того, які карти були роздані?
Щоб визначити вектор виплат для [Bet, Bet] і [Fold, Fold] нам потрібно буде розглянути, які карти були роздані. Ми можемо скористатися деякою ймовірністю для визначення інших векторів виплат.
Є чотири можливі результати deal— перерахувати їх. Яка ймовірність того, що кожне відбувається? (Пам'ятайте: ймовірність події - це число між\(0\) і\(1\).)
Розглянемо пару стратегій [Bet, Bet]. Для кожної можливої угоди визначте вектор виграшу. Наприклад, якщо гравці роздають туз (червоний), скільки виграє кожен гравець? (Знову ж таки, майте на увазі свою відповідь на вправи\(2.4.3\).)
Для того, щоб обчислити виграш для [Bet, Bet], нам потрібно взяти середньозважене значення можливих векторів виплат у Вправі\(2.4.11\). Зокрема, ми «обтяжимо» виграш ймовірністю того, що вона відбудеться. Нагадаємо, що це очікувана величина. Очікуване значення ми розрахуємо окремо для кожного гравця.
Знайдіть очікуване значення для [Bet, Bet] для гравця 1.
Знайдіть очікуване значення для [Bet, Bet] для гравця 2.
Пара очікуваних значень від вправи\(2.4.12\) і вправи\(2.4.13\) є вектором виплати для [Bet, Bet].
Поясніть, чому має сенс використовувати очікувані значення для виплат в матриці для стратегічної пари [Bet, Bet].
- Підказка
-
Подумайте про те, що потрібно знати гравцеві, щоб вибрати стратегію в азартній грі.
Ми можемо використовувати подібний процес, щоб знайти вектор виграшу для [Fold, Fold].
Повторіть вправи\(2.4.11\)\(2.4.12\), вправи та вправи\(2.4.13\) для пари стратегій [Fold, Fold].
Підсумуйте наведену вище роботу, надавши заповнену матрицю виплат для однокарткового стад-покеру.
Тепер, коли ви виконали всю важку роботу з пошуку матриці виплат для однокарткового стад-покеру, ми можемо проаналізувати нашу гру з нульовою сумою для двох гравців, використовуючи методи, які ми дізналися в попередніх розділах. Важливо також побачити, як математичне рішення порівнюється з нашим здогаданим рішенням з вправи\(2.4.2\).
Використовуйте матрицю виплат, щоб визначити найкращу стратегію для кожного гравця. Якщо кожен гравець використовує свою найкращу стратегію, яким буде результат гри?
Порівняйте стратегію, яку ви знайшли у вкладці «Вправа\(2.4.17\)», із запропонованою стратегією у Вправи\(2.4.2\). Зокрема, обговоріть, як знання матриці виплат могло змінити вашу стратегію. Також порівняйте виграш, який є результатом стратегії у Вправи\(2.4.17\), з виграшем, який є результатом вашої початкової стратегії у Вправи\(2.4.2\).
Оскільки однокартковий стад-покер має елемент випадковості, ми повинні побачити, що станеться, якщо ми граємо в гру кілька разів, використовуючи стратегію від Вправа\(2.4.17\).
Використовуйте матрицю виплат, щоб передбачити, якою буде виграш кожному гравцеві, якщо гра буде грати десять разів.
Грайте в гру десять разів, використовуючи найкращу стратегію. Скільки виграв або програв кожен гравець після десяти рук однокарткового стад-покеру? Порівняйте свою відповідь зі своїм прогнозом у Вправи\(2.4.19\). Чи відрізняється фактична виплата від теоретичної виплати? Якщо так, то чому ви думаєте, що це може бути?
Поясніть, чому ця гра вважається справедливою.
В однокартковому стад-покері ми побажали одну фішку і поставили одну фішку. Тепер, припустимо, ми дозволяємо гравцям анти іншу суму і зробити ставку на іншу суму (хоча гравці все одно анте і роблять ставку на ту ж суму, що і один одного). Припустимо, гравець анти\(a\) і ставки\(b\text{.}\) Як це може змінити гру?
Використовуйте метод, описаний для однокарткового стад-покеру, щоб визначити матрицю виплат для узагальненого однокарткового стад-покеру.
Чи змінюється стратегія для узагальненої версії гри? Поясніть.
Тепер, коли ми проаналізували кілька ігор з нульовою сумою, ми можемо побачити, наскільки важливо знайти будь-які пари рівноваги. У наступному розділі ми детальніше розглянемо стратегії рівноваги.