2.3: Ймовірність та очікуване значення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 65750

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Багато ігор мають елемент випадковості. Для того, щоб моделювати такі ігри та визначати стратегії, ми повинні розуміти, як математики використовують ймовірність для представлення випадковості.

2.3.1: Деякі основні ймовірності

Ви, напевно, трохи знайомі з ідеєю ймовірності. Люди часто говорять про ймовірність того, що трапиться якась подія. Наприклад, прогноз погоди може сказати, що є$20 \%$ ймовірність дощу. Тепер визначити ймовірність дощу може бути важко, тому ми будемо дотримуватися кількох простіших прикладів.

Розглянемо стандартну колоду$52$ гральних карт. Який шанс намалювати червону картку? Яка ймовірність намалювати червону картку? Чи є різниця між випадковістю і ймовірністю? Так! Імовірність події має дуже специфічне значення в математиці.

Імовірність події$E$ - це кількість різних результатів, що призводять до$E$ поділу на загальну кількість однаково ймовірних результатів. У математичних символах,

\ begin {рівняння*} P (E) =\ dfrac {\ mbox {кількість різних результатів, що призводять до$E$}} {\ mbox {загальна кількість однаково ймовірних результатів}}. \ end {рівняння*}

Зверніть увагу, що ймовірність завжди$E$ буде числом між$0$ і$1$. Неможлива подія матиме ймовірність$0$; подія, яка завжди відбувається, матиме ймовірність$1$.

Таким чином, ймовірності витягти червону картку$\dfrac{1}{2}\text{,}$ немає$50 \%$. Хоча ми можемо конвертувати між ймовірністю та відсотком (оскільки$0.5$ перетворено на відсотки$50\%$), важливо відповісти на питання про ймовірність з ймовірністю, а не відсотком.

Приклад Template:index: Малювання конкретного костюма

З огляду на стандартну колоду гральних карт, яка ймовірність намалювати серце?

Рішення

Ви можете сказати, оскільки є чотири костюми, і одна з мастей - це серця, у вас є ймовірність того, що$\dfrac{1}{4}\text{.}$ Ви будете правильними, але будьте обережні з цим міркуванням. Це працює тому, що кожна масть має однакову кількість карт, тому кожна масть однаково вірогідна. Ще одним способом обчислення ймовірності є підрахунок кількості сердець,$(13)$ поділеного на кількість карт$(52)$. Таким чином, ми отримуємо ймовірність$\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}=0.25\text{.}$

Приклад Template:index: Відсутня картка

Тепер припустимо, що туз пік відсутній з колоди. Яка ймовірність намалювати серце?

Рішення

Як і раніше, в колоді все ще чотири костюми, тому може бути спокусливо сказати, що ймовірність все ще$\dfrac{1}{4}\text{.}$ Але ми помилилися! Кожен костюм більше не однаково вірогідний, оскільки трохи менше шансів, що ми малюємо лопата. Однак кожна окрема карта все ще однаково вірогідна. Отже, зараз

\ begin {рівняння*} P (\ mbox {малюємо серце}) =\ dfrac {\ mbox {кількість сердець}} {\ mbox {кількість карток}} =\ dfrac {13} {51} = 0,255. \ end {рівняння*}

Як бачите, тепер трохи більша ймовірність, що ми малюємо серце, якщо туз пік буде знятий з колоди.

Тепер спробуйте обчислити деякі ймовірності самостійно.

Вправа Template:index: Імовірність з одним штампом

Розглянемо прокатку однієї плашки. Перерахуйте можливі результати. Припускаючи, що це справедлива смерть, чи всі результати однаково ймовірні? Яка ймовірність прокатки 2? Яка ймовірність прокатки парного числа?

Вправа Template:index: Імовірність з червоним і зеленим штампом

Тепер розглянемо прокатку двох чесних кубиків, скажімо, червону вмирають і зелену вмирають.

Скільки однаково ймовірних результатів є? Перерахуйте їх.
Яка ймовірність того, що ви отримаєте двійку на червоній матриці і четвірку на зеленому померти?
Яка ймовірність того, що ви катаєте трійку на червону плашку?
Яка ймовірність того, що ви катаєте двійку і четвірку?
Яка ймовірність того, що ви катаєте трійку?
Порівняйте свої відповіді в (b) і (c) зі своїми відповідями в (d) і (e). Вони однакові чи різні? Поясніть.

Вправа Template:index: Імовірність з двома однаковими гральними кістками

Знову розглянемо прокатку двох чесних кубиків, але тепер нам все одно, якого кольору вони.

Чи змінює це кількість однаково ймовірних результатів від фізичних вправ$2.3.2$? Чому чи чому ні? Можливо, буде корисно перерахувати можливі результати.
Яка ймовірність того, що ви отримаєте зміїні очі (два)?
Яка ймовірність того, що ви катаєте двійку і четвірку?
Яка ймовірність того, що ви катаєте трійку?
Яка ймовірність того, що ви кидаєте двійку АБО четвірку?

Вправа Template:index: Суми кубиків.

Припустимо, ми кидаємо два кубика і складаємо їх.

Перерахуйте можливі суми.
Яка ймовірність того, що ви отримаєте в цілому сім на двох кубиках?
Яка ймовірність того, що ви отримаєте в цілому чотири, коли кидаєте дві кістки?
Чи є події отримання в цілому сім і отримання в цілому чотирьох однаково ймовірних? Поясніть.

Важливо зазначити, що тільки тому, що ви можете перерахувати всі можливі результати, вони не можуть бути однаково ймовірними. Як ми бачимо з Вправи$2.3.4$, хоча є$11$ можливі суми, ймовірність отримати якусь конкретну суму (наприклад, сім) не$\dfrac{1}{11}\text{.}$

2.3.2: Очікувана вартість

Визначення: Очікувана вартість

Очікуване значення азартної гри - це середній чистий виграш або програш, який ми очікували б за гру, якби ми грали в гру багато разів. Ми обчислюємо очікуване значення, множивши значення кожного результату на його ймовірність виникнення, а потім складаємо всі продукти.

Наприклад, припустимо, ви кидаєте справедливу монету: Heads, ви виграєте$25$ центи, хвости, ви втрачаєте$25$ центи. Імовірність отримання Голів така$\dfrac{1}{2}\text{,}$ ж, як і ймовірність отримання хвостів. Очікувана цінність гри -

\ begin {рівняння*}\ biggl (\ dfrac {1} {2}\ раз 2.5\ biggr) +\ biggl (\ dfrac {1} {2}\ times (- 2.25)\ biggr) =0. \ end {рівняння*}

Таким чином, ви очікували б середнього виграшу$$0$, якби ви грали в гру кілька разів. Зверніть увагу, очікуване значення не обов'язково є фактичним значенням гри.

Вправа Template:index: Очікувана вартість та гра з двома монетами

Розглянемо гру, де ви кидаєте дві монети. Якщо ви отримаєте дві голови, ви виграєте$$2$. Якщо ви отримаєте голову і хвіст, ви виграєте$$1$, якщо ви отримаєте два хвоста, ви програєте$$4$. Знайдіть очікуване значення гри. (Увага: спочатку вам потрібно знайти ймовірність кожного event— подумайте про «однаково ймовірні» події.)

Вправа Template:index: Грайте в гру з двома монетами

Тепер грайте в гру Вправа$2.3.5$ вказану кількість разів. Дайте свій фактичний виграш і порівняйте його з очікуваним значенням.

Один раз.
Десять разів.
Двадцять п'ять разів.
Чи є один можливий результат, де ви насправді виграєте або втратите точну суму, обчислену для очікуваного значення? Якщо ні, то чому ми називаємо це очікуваним значенням?

Вправа Template:index: Очікувана вартість рулетки

Стандартне колесо рулетки має$38$ пронумеровані слоти для маленької кулі, щоб приземлитися:$36$ позначені від$1$ до$36$, з половиною цих чорних і наполовину червоних; два зелених слоти пронумеровані$0$ і$00$. Допустима ставка полягає в тому, щоб зробити ставку на червоний або чорний. Ця ставка є рівною ставкою на гроші, а це означає, що якщо ви виграєте, ви отримуєте вдвічі більше, ніж ви ставите. Багато хто думає, що ставки на чорний або червоний - чесна гра. Яке очікуване значення ставок$$1000$ на червоний? Це чесна гра? Поясніть.

Вправа Template:index: Інший приклад рулетки

Враховуючи знову колесо рулетки, якщо ви робите ставку$$100$ на конкретне число і м'яч приземляється на це число, ви виграєте$$3600$. Яка очікувана вартість ставок$$100$ на Red$4$?

Знайшовши очікуване значення ігор у вищезазначених вправах, яке, на вашу думку, очікуване значення може розповісти нам про гру? Чи можете ви використовувати його, щоб вирішити, чи слід вам грати в цю азартну гру чи ні? Коли гра буде вигідною для гравця? Нас часто хвилює, чи гра є «справедливою». Чи може очікуване значення допомогти вам визначити, чи є гра справедливою?

Вправа Template:index: Очікувана вартість і справедливість

Використовуйте ідею очікуваної цінності, щоб пояснити «справедливість» в азартній грі.

Остання вправа є хорошим викликом для вивчення очікуваної вартості.

Вправа Template:index: Гра на ставки з двома кубиками

Ви робите ставку і кидаєте дві чесні кістки. Якщо ви кидаєте 7 або 11, ви отримаєте свою ставку назад (ви зламати навіть). Якщо ви кидаєте 2, а 3, або 12, то ви втратите свою ставку. Якщо ви кидаєте що-небудь інше, ви отримаєте половину суми, яку ви прокотили в доларах. Скільки ви повинні зробити ставку, щоб зробити це чесною грою?

Підказка: Було б корисно почати з таблиці, яка показує можливі суми, їх ймовірність та виграш для кожної з них.

У наступному розділі ми використовуємо ідеї ймовірності та очікуваного значення, щоб зрозуміти, як налаштувати матрицю виплат для азартної гри.