5.3: Еластичність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66571

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Еластичність попиту - це концепція економіки, яка дивиться на відносну швидкість зміни, а не швидкість змін. Ми хочемо подивитися на те, як ми виражаємо це як варіант похідної.

Закон попиту стверджує, що ми збільшуємо попит за рахунок зниження ціни та зниження попиту за рахунок підвищення ціни. Наївною швидкістю зміни в цьому випадку буде зміна кількості щодо ціни. Однак ця швидкість змін не особливо корисна. Якщо мені кажуть, що я можу продати ще 100 одиниць, якщо я знижую ціну на $1 за одиницю, я не знаю, чи слід мені знизити ціну. Я б точно хотів знизити ціну, якщо я продаю автомобілі за середньою ціною $20,000 і, як правило, продаю 200 автомобілів на рік. Я б не хотів знижувати ціну, якщо я продаю бензин по 4.00 доларів за галон і продаю 5 000 000 галонів на рік.

Замість того, щоб дивитися на похідну від кількості щодо ціни або швидкість зміни щодо ціни, ми хочемо подивитися на відносну швидкість зміни щодо ціни або Еластичність попиту.

Якщо невелика зміна ціни викликає велику зміну попиту, попит еластичний. У такому випадку я взагалі хочу знизити ціну і отримати набагато більше клієнтів. Якщо мені потрібно зробити велику зміну ціни, щоб отримати невелику зміну попиту, попит нееластичний. При нееластичному попиті я можу підвищити дохід за рахунок підвищення ціни. Таким чином, еластичність попиту дає нам інструмент для максимізації доходу. Ми можемо розглядати це питання або дискретний випадок (пружність дуги) або безперервний випадок (точкова еластичність).

Точка еластичності

Щоб зрозуміти еластичність, ми розглянемо простий випадок, коли функція ціни попиту є лінійною. У такому випадку ми можемо використовувати геометрію, щоб зрозуміти проблему.

$clipboard_efda3509ff7f60a4d80699c04437e9765.png$

Якщо$(Q_0,P(Q_0 ))$ є точкою для заданої ціни$P(Q_0)$ та кількості,$Q_0\text{,}$ то дохід - це$Q_0*P(Q_0)\text{,}$ ціна, яка помножена на кількість у цій точці, або площа прямокутника вище. Ми хочемо знати, чи слід вибрати іншу точку на кривій попиту, щоб збільшити площу прямокутника.

Якщо особливий випадок, коли ціна і кількість обидва 1, прямокутник доходу є квадратом, і ми можемо просто подивитися на нахил функції попиту. У тому випадку, коли крива попиту більш плоска, ніж нахил мінус 1, збільшення кількості збільшує площу, оскільки кількість збільшується швидше, ніж ціна зменшується. Аналогічно, коли крива попиту крутіше нахилу мінус 1, збільшення кількості призводить до того, що ціна зменшується ще швидше, тому площа прямокутника зменшується.

$clipboard_ea2afe991820308a9dc64acdaadb3a240.png$

Відзначимо, що нахил нормованої кривої попиту майже завжди негативний. Таким чином зручно говорити про негатив нахилу нормованої кривої ціни попиту.

Ми називаємо цю кількість еластичністю попиту.

Якщо еластичність більше 1, невелика відносна зміна ціни йде з великим відносним зміною кількості. Ми очікуємо високої еластичності в продуктах, які можна легко замінити. Попит на бензин на одній заправці, коли на одному перехресті знаходяться ще 2 заправки, був би високоеластичним.

Коли попит еластичний,$(E \gt 1)\text{,}$ ми підвищуємо дохід за рахунок зниження ціни.

Ми очікуємо низької еластичності у продуктах, які є важливими, для яких немає розумної заміни. Обручки та ліки, що рятують життя, мали б дуже нееластичний попит.

Коли попит нееластичний (E$\lt$ 1), ми збільшуємо дохід за рахунок збільшення ціни.

Відносно велика зміна ціни призведе до відносно невеликої зміни попиту. Виручка буде на максимумі, коли еластичність дорівнює 1. Цей стан називають одиничною еластичністю.

Зауважте, що ми зазвичай описували ціну як функцію кількості, і при визначенні еластичності ми використовуємо похідну, отриману від того, щоб кількість була функцією ціни. З пов'язаних ставок ми знаємо, що ці похідні є взаємними один одному.

Приклад 5.3.1: Точкова еластичність.

Функція ціни попиту для віджетів наведена в перерахунку на кількість (q).

\[ P(q)=20-q/100. \nonumber \]

Знайдіть пружність, коли q = 800. Інтерпретуйте, що це означає для стратегії збільшення доходу.
Порівняйте з ситуацією, коли q=1500.

Рішення

Формула еластичності така:
\[ E=\frac{-d Q}{d P}*\frac{P(Q_0 )}{Q_0} \nonumber \]

Мені потрібно обчислити$P(Q_0 )$ і$\frac{-d Q}{d P}\text{.}$ підставити в функцію попиту,

\[ P(800)=20-800/100=20-8=12 \nonumber \]

Щоб знайти,$\frac{d Q}{d P}\text{,}$ я пам'ятаю з відповідних тарифів, що$\frac{d Q}{d P}=1/\frac{d P}{d Q}\text{.}$

\[ \frac{d Q}{d P}=1/\left(\frac{d P}{d Q}\right)=1/\left(\frac{-1}{100}\right)=-100 \nonumber \]

Таким чином

\[ Elasticity= \frac{-d Q}{d P}*\frac{P(Q_0 )}{Q_0} =-(-100)*\frac{12}{800}=1.5 \nonumber \]

Оскільки попит еластичний, коли кількість становить 800, ми повинні знизити ціну, викликаючи відносно велике збільшення кількості, щоб підвищити дохід.
Коли кількість становить 1500, ціна попиту становить 5, а похідна від кількості щодо ціни все ще -100.
\[ Elasticity=\frac{-d\ Quantity}{d\ Price}*\frac{P(Q_0)}{Q_0} =-(-100)*\frac{5}{1500}=1/3 \nonumber \]

Оскільки попит нееластичний, коли кількість становить 1500, ми повинні підняти ціну, викликаючи відносно невелике зменшення кількості, щоб підвищити дохід.

У цьому прикладі функція доходу

\[ revenue=price*quantity=20 q-q^2/100. \nonumber \]

Ми визнаємо, що це спадна парабола з максимумом, коли q = 1000, що відповідає нашим результатам.

Еластичність дуги

Точкова еластичність була розроблена для використання з функцією безперервної ціни попиту, де ми могли взяти похідну. Часто наша функція ціни попиту являє собою набір дискретних точок, тому що наша кількість має бути цілим числом. Ми хотіли б адаптувати еластичність до цього випадку.

Для еластичності дуги у нас є дві$(quantity_1,price_1)$ кількісно-цінові точки, і$(quantity_2,price_2)\text{.}$ ми хочемо адаптувати нашу формулу для пружності до дискретного випадку. Ми можемо думати про похідну,$\frac{d Q}{d Q}\text{,}$ як про співвідношення невеликих змін кількості і ціни. Найкраще значення ціни та кількості - це середнє значення з двох пунктів.

$clipboard_ee25b3757c2d9bbfbeca7e5976b1580af.png$

Наша формула перетворюється в:

\[ E=\frac{-\Delta quantity}{\Delta price}*\frac{average\ price}{average\ quantity} \nonumber \]

\[ =-\frac{quantity_2-quantity_1}{price_2-price_1} *\frac{(price_1+price_2)/2}{(quantity_1+quantiy_2)/2} \nonumber \]

Еластичність дуги:$E=-\frac{quantity_2-quantity_1}{price_2-price_1} *\frac{price_1+price_2}{quantity_1+quantiy_2}$

Приклад 5.3.2: Еластичність з двох точок.

Дві кількісно-цінові точки для штучок - це (5000, 20) і (5200, 18). Яка пружність дуги між двома точками? Яка ціна приносить вищий дохід?

Рішення

Формула пружності дуги така:

\[ E=-\frac{quantity_2-quantity_1}{price_2-price_1} *\frac{price_1+price_2}{quantity_1+quantiy_2} \nonumber \]

\[ E=-\frac{5200-5000}{18-20}*\frac{20+18}{5000+5200} =-\frac{200}{-2}*\frac{38}{10400}\approx.373 \nonumber \]

Ринок штучок нееластичний, оскільки падіння цін приблизно на 10% лише збільшує ринок приблизно на 4%. Щоб збільшити дохід, я повинен стягувати більш високу ціну.

Перевірка моєї роботи шляхом обчислення доходу в двох точках, перший пункт, з більш високою ціною і меншою кількістю виробляє $100,000, тоді як другий пункт, з нижчою ціною і більшою кількістю виробляє $93 600 доходу.

Ми можемо використовувати еластичність для приблизної зміни доходу у вигляді зміни ціни.

Приклад 5.3.3: Еластичність з точки зору процентної зміни.

Приклад 3: Короткочасна еластичність для гаджетів становить 0,6. Яке процентне зміна виручки, якщо ціна підвищена на 5%?

Рішення

3: Альтернативна формула еластичності:

\[ E=-\frac{\% change\ in\ quantity} {\% change\ in\ price} \nonumber \]

Таким чином ми бачимо, що% зміна кількості дорівнює - (0,6) * 5% = -3%. Таким чином, нова ціна в 1,05 рази перевищує стару ціну, а нова кількість в 0,97 рази перевищує стару кількість.

\[ NewRevenue=NewPrice*NewQuantiy \nonumber \]

\[ =(1.05*OldPrice)*(0.97*OldQuantity) \nonumber \]

\[ =1.0185*OldRevenue \nonumber \]

Таким чином, підвищення ціни на 5% підвищить виручку на 1,85%.

Вправи: Проблеми еластичності

клас =»

Для задач 1-6, для заданої функції попит-ціни та кількості:

Знайдіть ціну, пов'язану з заданою кількістю.
Знайти пружність для заданої величини.
Держава, яка цінова стратегія, підвищуючи, знижуючи або тримаючи стабільну ціну, збільшує дохід.
Знайдіть ціну та кількість, яка максимізує прибуток.

Вправа 1:

\[ price=30-\frac{quantity}{50};\quad quantity=300. \nonumber \]

Відповідь

\[ price=30-\frac{300}{50}=30-6=24 \nonumber \]