5.2: Супутні тарифи
- Page ID
- 66584
Як ми бачили,\(\frac{dy}{dx}\) це миттєва швидкість зміни щодо\(x\text{.}\) У розділі 4 ми вивчили методи пошуку,\(\frac{dy}{dx}\) коли\(y\) визначається як функція\(x\text{.}\) В останньому розділі ми навчилися використовувати неявну диференціацію для пошуку\(y\)\(\frac{dy}{dx}\) коли нам дали рівняння в\(x\) і\(y\text{.}\) У цьому розділі ми хочемо знайти,\(\frac{dy}{dx}\) коли\(x\) і обидва описані в\(y\) терміні іншої змінної. Як і в розділі про пов'язані ставки, ми почнемо з прикладу, де ми можемо вирішити проблему, усунувши додаткову змінну перед диференціацією, а потім розглянемо, як вирішити з відповідними ставками.
Ми можемо купити віджети за $10. Ціна попиту віджетів становить 20 доларів мінус 0,1 рази більше кількості, яку потрібно продати. Знайдіть похідну від доходу щодо витрат.
Рішення
Рішення a: Функції доходу та витрат для віджетів залежать від кількості (q). Формули доходу і собівартості такі:
\[ revenue=q(20-0.1q)=20q-0.1q^2. \nonumber \]
\[ cost=10q. \nonumber \]
Ми можемо вирішити друге рівняння для кількості і підставити назад в перше рівняння. Це тепер дає нам функцію доходу з точки зору вартості (c).
\[ quantity =.1*c. \nonumber \]
\[ revenue=2c-0.001 c^2. \nonumber \]
Це просто взяти похідну.
\[ \frac{d\ revenue}{d\ cost}=2-0.002*cost. \nonumber \]
Зверніть увагу, що похідна є позитивною для вартості від 0 до 1000 доларів. Це означає, що дохід зростає, поки вартість не складе 1000 доларів. Після того, як ми досягли вартості 1000 доларів, похідна стає негативною. Це говорить про те, що дохід фактично зменшиться.
Альтернативний метод полягає в диференціації рівнянь доходу (\(r\)) та вартості (\(c\)) щодо кількості (\(q\)) та пошуку двох похідних,\(\frac{d\ r}{d\ q}\) а\(\frac{d\ c}{d\ q}\text{,}\) потім трактування їх як дробів. Потрібна похідна є часткою цих дробів.
Рішення b: Функції доходу та витрат для віджетів такі ж, як зазначено вище.
\[ revenue=20q-0.1 q^2. \nonumber \]
\[ cost=10q. \nonumber \]
Ми зараз диференціюємо
\[ \frac{d\ r}{d\ q} =20-0.2 q. \nonumber \]
\[ \frac{d\ c}{d\ q}=10. \nonumber \]
Ділимо ці похідні, щоб отримати потрібну похідну.
\[ \frac{change\ in\ revenue}{change\ in\ cost}: \frac{d\ r}{d\ c}=\frac{d\ r}{d\ q}/\frac{d\ c}{d\ q}=(20-0.2 q)/10 \nonumber \]
Підстановка q =.1 c дає те саме рішення, яке ми мали з першого методу.
При використанні методу пов'язаних швидкостей ми діємо так, ніби похідні - це дроби, які ми можемо помножити або розділити для отримання відповідного дробу. Ми хочемо використовувати трохи обережності з таким підходом, оскільки він не працює з похідними вищого порядку або з похідними функцій декількох змінних. Однак для похідних однієї змінної працює інтуїція. Ще раз, якщо ми збільшимо досить далеко, крива буде виглядати як пряма лінія, а похідна - частка підйому над пробігом.
Для першого прикладу ми могли б використовувати обидва методи. Ми або використовуємо алгебру для усунення зайвої змінної, або знаходимо дві швидкості зміни та поєднуємо їх, щоб знайти потрібну нам швидкість. Для деяких проблем у нас буде лише один вибір, або тому, що алгебра занадто важка, або тому, що нам дали часткову інформацію і алгебраїчний метод неможливий.
Рівняння витрат (\(c(q)\)\(r(q)\)) та доходу () для штучок наведені через кількість (q)
\[ r(q)=30q-0.1 q^2-0.001 q^3. \nonumber \]
\[ c(q)=500+10q-0.01 q^2. \nonumber \]
Знайти похідну від доходу щодо вартості (тобто\(\frac{dr}{dc}\) коли\(q=50\text{.}\)
Рішення
Оскільки вартість квадратична за кількістю, вирішення доходу як функції витрат передбачає більше роботи, ніж нам потрібно для цієї проблеми. Відповідними похідними є:
\[ \frac{d\ r}{d\ q} =30-0.2 q-0.003 q^2. \nonumber \]
\[ \frac{d\ c}{d\ q}=10-0.02 q. \nonumber \]
Коли q = 50, ми маємо
\[ \frac{d\ r}{d\ q} =30-0.2*50-0.003*50^2=12.5. \nonumber \]
\[ \frac{d\ c}{d\ q}=10-0.02*50=9. \nonumber \]
Ділимо ці похідні, щоб отримати потрібну похідну.
\[ \frac{d\ r}{d\ c} =\frac{d\ r}{d\ q}/\frac{d\ c}{d\ q} =\frac{12.5}{9}\approx 1.389 \nonumber \]
Це означає,\(quantity=50\text{,}\) що при зростанні на $1.39 за кожен долар збільшується вартість інвестицій.
У нас є наступна інформація про витрати та доходи для whatchamacallits:
\[ revenue=50*quantity-0.01*quantity^2. \nonumber \]
\[ \frac{d\ cost}{d\ quantity}=15. \nonumber \]
Знайдіть похідну від доходу щодо вартості, коли кількість = 100.
Рішення
У цьому прикладі у нас немає формули, яка дозволяє нам вирішувати дохід як функцію витрат, тому ми повинні використовувати метод пов'язаних ставок. Іншими похідними є:
\[ \frac{d\ revenue}{d\ quantity} =50-0.02*quantity. \nonumber \]
Коли\(quantity=100\text{,}\) ми маємо\(\frac{d\ revenue}{d\ quantity} =50-0.02*100=48\text{.}\) Таким чином
\[ \frac{d\ revenue}{d\ cost} =\frac{d\ revenue}{d\ quantity}/\frac{d\ cost}{d\ quantity} =\frac{48}{15}=3.2. \nonumber \]
Пов'язані тарифи також корисні, коли ми дивимося на двоетапний процес і нас цікавить швидкість комбінованого процесу.
Ми виробляємо віджети (w). Процес виробництва перетворює goop (g) в мул (и), а шлам - у віджети. Рівняння прибутковості у відповідних одиницях:
\[ widgets(sludge)=4*sludge-0.1*sludge^2, \nonumber \]
або в скороченому позначенні:\(w(s)=4 s-0.1 s^2\)
\[ sludge(goop)=3*goop+.1*goop^2. \nonumber \]
або в скороченому позначенні:\(s(g)=3 g+.1 g^2\)
Знайти похідну від віджетів щодо goop, коли\(goop=10\text{.}\)
Рішення
Зауважимо, що коли\(g=10\text{,}\) ми маємо\(s=3*10+.1*10^2=40\text{.}\) У цьому прикладі ми візьмемо похідні нашого рівняння. Потім ми помножимо їх, щоб отримати похідну, яку ми хочемо.
\[ \frac{d\ widgets}{d\ sludge}=\frac{dw}{ds}=4-0.02*s. \nonumber \]
\[ \frac{d\ sludge}{d\ goop}=\frac{ds}{dg}=3+.2*g. \nonumber \]
Коли\(goop=10\text{,}\)\(\frac{d\ w}{d\ s} =(4-0.02*40)=3.2\text{,}\) і\(\frac{d\ s}{d\ g}\text{.}\) Нам потрібно помножити похідні, щоб скасувати\(d\ s\text{.}\)
\[ \frac{dw}{dg} =\frac{dw}{ds}*\frac{ds}{dg}=(3.2)(5)=16. \nonumber \]
Таким чином, швидкість виробництва віджетів збільшується на 16 одиниць за збільшення одиниці гупу в цей момент.
Ми часто стикаємося з ситуаціями, коли кілька величин пов'язані якимось обмеженням або рівнянням. У таких ситуаціях ми захочемо знати швидкість, з якою величини змінюються з часом. Техніка пов'язаних ставок дає нам можливість перейти від однієї ставки щодо часу до іншої. Нагадаємо рівняння Кобба-Дугласа з останнього розділу.
\[ Y=AL^\alpha K^\beta, \nonumber \]
де\(Y\text{,}\)\(L\text{,}\) і\(K\) представляють загальне виробництво, робочу силу та капітал відповідно. Якщо ми знаємо темпи інвестицій в капітальне обладнання, нас зацікавить темп зміни робочої сили щодо часу. Цікаве питання полягає в тому, щоб запитати швидкість зміни капіталу щодо робочої сили, або як збільшення або зменшення капітальних інвестицій підвищить або знизить витрати на робочу силу.
Виробник штучок має виробничу функцію, задану
\[ Y=50L^.75 K^.25. \nonumber \]
Виробник в даний час використовує 16 одиниць праці і 81 одиницю капіталу. Загальне виробництво постійне, але виробник інвестує в автоматизацію. Похідна від капіталу по відношенню до часу становить 5. Як швидко змінюється кількість необхідної робочої сили?
Рішення
Ми збираємося припустити, що і праця, і капітал є функціями часу, а Y - константа. Ми починаємо з неявно диференціації нашого рівняння щодо часу.
\[ \frac{d}{dt}(Y=50L^.75 K^.25) \nonumber \]
\[ 0=50*(0.75*L^{-0.25}*\frac{dL}{dt}*K^{.25}+L^{.75}*.25*K^{-0.75}*\frac{dK}{dt}) \nonumber \]
Тепер ми підставляємо значення\(K\text{,}\)\(L\text{,}\) і\(\frac{dK}{dt}\text{,}\) які були дані.
\[ 0=50*(0.75*16^{-0.25}*\frac{d\ L}{(d\ t}*81^{.25}+16^{.75}*.25*81^{-0.75}*2) \nonumber \]
\[ 0=3/4*1/2*\frac{dL}{dt}*3+8*1/4*1/27*2 \nonumber \]
\[ \frac{dL}{dt}=-32/243\approx -0.1317 \nonumber \]
Якщо капітал збільшується зі швидкістю 2 в одиницю часу, то робоча сила зменшується зі швидкістю -0,1317 в одиницю часу.
Резюме
Пов'язана методика ставок - це застосування правила ланцюга. Ми використовуємо цю техніку, коли у нас є або три змінні. Ми можемо захотіти швидкість зміни однієї змінної по відношенню до секунди, і ці змінні можуть бути пов'язані через рівняння, використовуючи третю змінну. Ми також можемо зв'язати швидкість зміни двох змінних щодо часу. Ми скористаємося тим, що ми можемо думати про похідну як частку двох малих значень. Ми хочемо або помножити, або розділити тези дроби, щоб отримати потрібну похідну.
клас =»Вправи: Пов'язані проблеми з тарифами
Дозвольте\(y=3x+5\) і\(z=4y+7\text{.}\) знайдіть,\(\frac{dz}{dx}\) коли\(x=2\) вирішуючи для\(z\) як функцію\(x\) та приймаючи похідну, а також шляхом знаходження\(\frac{dz}{dy}\)\(\frac{dy}{dx}\) та використання відповідних ставок для застосування правила ланцюга.
- Відповідь
-
- \[ z=4y+7= 4(3x+5)+7=12x+27 \nonumber \]