5.1: Неявна диференціація
- Page ID
- 66573
Ми часто стикаємося з ситуаціями, коли y виражається не як функція x, а як знаходження у зв'язку з x. найбільш звичним прикладом є рівняння для кола радіуса 5,
\[ x^2+y^2=25. \nonumber \]
Нагадаємо, що коло насправді не є графом функції. Однак це об'єднаний графік двох функцій, що представляють верхню та нижню половини кола.
У нас є два підходи, якщо ми хочемо знайти нахил прямої дотичної до кола в\((4,3)\text{.}\) Ми могли б спочатку використовувати алгебру, щоб висловити\(y\) як функцію,\(x\text{,}\) а потім використовувати наші правила, щоб знайти похідну. Такий підхід працює в цій проблемі, але зазнає невдачі з більш складними відносинами. Альтернативний метод полягає в тому, щоб сказати, що\(y\) це неявно функція\(x\text{.}\) Ми можемо використовувати правило ланцюга, щоб взяти похідну відношення з похідною від позначення\(y\), як\(y'\text{.}\) Ми можемо потім вирішити для з\(y'\) точки зору\(x\) і\(y\text{.}\) цієї секунди метод називається неявною диференціацією.
Почнемо з того, що спробуємо обидва підходи на рівнянні кола.
Знайти рівняння прямої дотичної до\(x^2+y^2=25\) at\((4,3)\text{.}\)
Рішення
A: Щоб знайти рівняння прямої, нам потрібна точка і нахил. У нас вже є точка на\((4,3)\text{.}\) Щоб знайти нахил, ми можемо висловити коло як графік функцій 2. Спочатку ми вирішуємо для\(y^2\text{.}\) Ми потім беремо квадратний корінь, щоб створити 2 функції.
\[ y^2=25-x^2. \nonumber \]
\[ f_1 (x)=\sqrt{25-x^2 }. \nonumber \]
\[ f_2 (x)=-\sqrt{25-x^2 }. \nonumber \]
Точка знаходиться на першій функції, яка є верхньою половиною кола, тому беремо її похідну і оцінюємо на\(x=4\text{.}\)
\[ f_1' (x)=1/2 (25-x^2 )^{-1/2} (-2x). \nonumber \]
\[ f_1' (4)=1/2 (25-4^2 )^{-1/2} (-4)=-4/3. \nonumber \]
Таким чином, дотична лінія, у формі точки-нахилу, є:
\[ y=3-\frac{4}{3} (x-4). \nonumber \]
Б: Щоб знайти рівняння прямої, нам потрібна точка і нахил. У нас вже є точка на\((4,3)\text{.}\) Щоб знайти нахил, ми беремо похідну нашого рівняння. Оскільки ми не маємо y як функцію\(x\text{,}\) ми просто зауважте, що його похідна є заповнювачем\(y'\text{.}\) Нагадаємо, що\(\frac{d}{dx} x\text{,}\) похідна щодо\(x\text{,}\) просто 1.\(x\)
\[ \frac{d}{dx}(x^2+y^2=25). \nonumber \]
\[ \frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=\frac{d}{dx}(25). \nonumber \]
\[ 2x \frac{d}{dx}(x)+2y \frac{d}{dx}(y)=0. \nonumber \]
\[ 2x+2y y'=0. \nonumber \]
Потім ми вирішуємо\(y'\) і підставляємо нашу точку\((4,3)\) в\((x,y)\text{.}\)
\[ y'=-\frac{2}{2y}=-\frac{x}{y}. \nonumber \]
Коли ми підставляємо нашу точку\((4,3)\) в для\((x,y)\) ми отримуємо те ж саме значення,\(y'=-\frac{4}{3}\text{.}\) Таким чином, дотична лінія, у формі точки-нахилу, є:
\[ y=3-\frac{4}{3} (x-4). \nonumber \]
Для рівняння кола працює будь-який метод. Ми можемо зіткнутися з відносинами, де рішення для явної функції важко або неможливо.
Кількість (q) і ціна попиту (p) для віджетів задовольняють співвідношенню
\[ 10p+2pq+q^2=1000, \nonumber \]
з\(10\lt q\lt 90\text{,}\) де кількість в тисячах одиниць. Якщо я зараз продаю 20 000 віджетів, який зв'язок між зміною кількості та зміною ціни?
Рішення
Замість того, щоб розв'язувати кількість як явну функцію ціни, ми неявно диференціюватимемо.
\[ \frac{d}{d\ q}(10p+2pq+q^2=1000) \nonumber \]
\[ 10 \frac{d\ p}{d\ q}+2*\frac{d\ p}{d\ q}*q+2p+2q=0 \nonumber \]
\[ \frac{d\ p}{d\ q} (10+2q)=-2*(p+q) \nonumber \]
\[ \frac{d\ p}{d\ q}=\frac{-2*(p+q)}{(10+2q) } \nonumber \]
Оскільки кількість знаходиться в тисячах одиниць, якщо ми продаємо 20 000 віджетів,\(quantity:q=20\) і\(price:p=14.64\text{.}\) Підставляючи ці значення у формулу для похідної ціни щодо кількості, ми бачимо
\[ \frac{d\ price}{d\ quantity}=\frac{-2(14.64+20)}{(10+2*20) }=-1.386. \nonumber \]
Ми збільшуємо продажі на 1000 доларів, знизивши ціну на $1.386.
Для перших двох прикладів відношення було квадратичним, тому було просто знайти похідну шляхом вирішення явної функції або шляхом диференціації неявно. Однак, якщо відношення складніше, ми знайдемо неявну диференціацію легше, ніж рішення для функції.
Кількість (q) та ціна попиту (p) на штучки задовольняють співвідношенню
\[ 5p+3*(pq)^{1.5}+2q=2000, \nonumber \]
з\(10\lt q\lt 100\text{,}\) де кількість в тисячах одиниць. Якщо я зараз продаю 25 000 віджетів, який зв'язок між зміною кількості та зміною ціни?
Рішення
Не існує простого методу вирішити це співвідношення ні для ціни, ні для кількості як явної функції іншого. Замість цього ми неявно диференціюватимемо.
\[ \frac{d\ }{d\ q}(5*p+3*(p*q)^1.5+2*q=2000) \nonumber \]
\[ 5 \frac{d\ p}{d\ q}+3*(1.5*p^.5*(d p)/(d q)*q^{1.5}+p^{1.5}*1.5*q^{.5} )+2=0 \nonumber \]
\[ \frac{d\ p}{d\ q}*(5+4.5*p^{.5}*q^{1.5} )=-(2+4.5*p^{1.5}*q^{.5}) \nonumber \]
\[ \frac{d\ p}{d\ q}=-\frac{(2+4.5*p^{1.5}*q^{.5})}{(5+4.5*p^{.5}*q^{1.5} ) } \nonumber \]
Оскільки кількість в тисячах одиниць, якщо ми продаємо 25 000 віджетів, кількість = 25 і ціна = 2.986. Підставляючи ці значення в формулу похідної ціни по відношенню до кількості, ми бачимо
\[ \frac{d\ price}{d\ quantity}=\frac{-118.104}{997.025}=-0.12088. \nonumber \]
Ми збільшуємо продажі на 1000 доларів, знизивши ціну на $0.121.
Стандартним результатом економіки є рівняння Кобба-Дугласа, яке стверджує
\[ Y=AL^\alpha K^\beta, \nonumber \]
де Y, L і K представляють загальне виробництво, робочу силу та капітал відповідно. У класичній моделі\(\alpha+\beta=1\text{.}\)
Це можна розуміти як відношення, пов'язане з капіталом і працею. Цікаве питання полягає в тому, щоб запитати швидкість зміни капіталу щодо робочої сили, або як збільшення або зменшення капітальних інвестицій підвищить або знизить витрати на робочу силу.
Приклад 4: Виробник віджетів має виробничу функцію, задану
\[ Y=50L^.75 K^.25. \nonumber \]
Виробник в даний час використовує 81 одиницю праці і 16 одиниць капіталу. Знайдіть похідну праці щодо капіталу та інтерпретуйте свій результат.
Рішення
Ми неявно диференціюємо наше рівняння щодо капіталу.
\[ \frac{d\ }{d\ K}(Y=50L^{.75} K^{.25}) \nonumber \]
\[ 0=50*(0.75*L^{-0.25}*\frac{d\ L}{d\ K}*K^{.25}+L^{.75}*.25*K^{-0.75} ) \nonumber \]
\[ \frac{d\ L}{d\ K}*(0.75*L^{-0.25}*K^{.25} )=-(L^{.75}*.25*K^{-0.75}) \nonumber \]
\[ \frac{d\ L}{d\ K}*=-(L^{.75}*.25*K^{-0.75})/((0.75*L^{-0.25}*K^{.25} ) )=-L/3K \nonumber \]
Підставляючи в наших значеннях для\(L\) і К, ми бачимо, що\(Y=50*81^{.75} 16^{.25}=2700\) і\((d L)/(d K)=-81/48\approx-1.6875\text{.}\) Це означає, що якщо ми хочемо зберегти рівень виробництва, зміна капітальних вкладень на 1 одиницю дозволяє нам змінювати робочу силу на -1,6875 одиниць.
Неявна диференціація за допомогою CAS
Як і при регулярній диференціації, ми можемо використовувати онлайнові системи комп'ютерної алгебри для неявної диференціації. Найпростіший спосіб зробити це за допомогою веб-пошуку для калькулятора неявної диференціації.
Перший варіант, який нам дано, - це інтерфейс віджета для WolframAlpha. Це легко дозволяє нам зробити перший приклад у цьому розділі.
Другий варіант з пошуку веде нас до калькулятора від Symbolab. Це легко зробить другий приклад з цього розділу.
Ви повинні зауважити, що калькулятор Symbolab дозволяє використовувати інші змінні і має простий варіант для показу покрокових рішень.
Резюме
Неявна диференціація - це застосування правила ланцюга. Щоб використовувати цю техніку, нам потрібно рівняння між двома змінними, які ми можемо думати як неявно визначаючи одну змінну як функцію іншої. Якщо припустити, що одна змінна неявно є функцією іншої, диференціація рівняння дає нам рівняння у двох змінних та похідній. Потім ми можемо використовувати алгебру для розв'язання нового рівняння для похідної.
клас =»Вправи: Неявні проблеми диференціації
Для наступних рівнянь знайдіть задану похідну.
\(2x+3y=23\text{.}\)Знайти\(\frac{dy}{dx}\text{.}\)
- Відповідь
-
Найкращий метод - помітити, що це лінія з нахилом\(\frac{-2}{3}\text{.}\) Занурюючись вперед, не помічаючи, що:
\[ \frac{d}{dx} (2x+3y )= \frac{d}{dx} 23 \nonumber \]\[ \text{Implies that }2+ \frac{dy}{dx} =0 \nonumber \]
Вирішити для\(\frac{dy}{dx}\text{:}\)
\[ \frac{dy}{dx} =\frac{-2}{3} \nonumber \]
\(7x+9y=23\text{.}\)Знайти\(\frac{dy}{dx}\text{.}\) (можна використовувати два різних методи.)
\(x^2+3xy+5y^2=23\text{.}\)Знайти\(\frac{dy}{dx}\text{.}\)
- Відповідь
-
\[ \frac{d}{dx} (x^2+3xy+5y^2 )= \frac{d}{dx} 23 \nonumber \]
\[ \text{Implies that }2x+3 \frac{d}{dx} (xy)+5 \frac{d}{dx} y^2=0 \nonumber \]
Для\(\frac{d}{dx} (xy)\) терміна нам потрібно використовувати правило продукту, а для\(\frac{d}{dx} y^2\) нас потрібно правило ланцюга. Ми тоді отримуємо
\[ 2x+3[(1)y+x\frac{dy}{dx}]+5 (2y)\frac{dy}{dx} =0 \nonumber \]
Вирішити для\(\frac{dy}{dx}\text{:}\)
\[ 2x+3y+3x \frac{dy}{dx}+10y \frac{dy}{dx} =0 \nonumber \]
\[ \text{Hence }(3x+10y) \frac{dy}{dx} =-(2x+3y) \nonumber \]
\[ \text{And }\frac{dy}{dx} =-((2x+3y))/((3x+10y) ) \nonumber \]
\((x^3+x^2+1)(y^3+2y+3)=5\text{.}\)Знайти\(\frac{dy}{dx}\text{.}\)
\(75*price+(quantity^2)/100=2000\text{.}\)Знайти\(\left(\frac{d\ price}{d\ quantity}\right)\text{.}\)
- Відповідь
-
Деяким може бути простіше з коротшими мітками змінних:\(75P+Q^2/100=2000\text{.}\) Знайти\(\frac{dP}{dQ}\text{.}\)
\[ \frac{d}{dQ} [75P+\frac{Q^2}{100}]=\frac{d}{dQ} 2000 \nonumber \]
\[ 75 \frac{dP}{dQ}+\frac{Q}{50}=0 \nonumber \]
Звідси\(\frac{dP}{dQ}=- \frac{Q}{50*75}= \frac{-Q}{3750}\)
Отже, ми маємо це\(\frac{dPrice}{dQuantity}/= \frac{-Quantity}{3750}\text{.}\)
Отже, якби ми збільшили кількість на 1 (\(d\ Quantity = 1\)), тоді було б зниження ціни (\(= d Price\)), рівне кількості, розділеній на 3750. Тож невелике збільшення кількості призведе до (невеликого) зниження ціни.
\(50*price+5*price*quantity+(quantity^2)/10=5000\text{.}\)Знайти\(\frac{d\ price}{d\ quantity}\text{.}\)
\(40*price+7*price*quantity+\sqrt{quantity}=2000\text{.}\)Знайти\(\frac{d\ price}{d\ quantity}\text{.}\)
- Відповідь
-
Перепишіть як:\(40p+7pq+\sqrt{q}=2000\text{.}\) Знайти\(\frac{d\ p}{d\ q}\text{.}\)
Беремо похідну по відношенню до q обох сторін. Іншими словами наносимо\(\frac{d}{d\ q}\) на обидві сторони.
\[ \frac{d}{d\ q} [40p+7pq+q^{0.5} ]=\frac{d}{d\ q} 2000 \nonumber \]
\[ 40 \frac{d\ p}{d\ q}+7[dp/dq q+p]+0.5 q^{-0.5}=0 \nonumber \]
\[ (40+7q)\frac{d\ p}{d\ q}+7p+0.5 q^{-0.5}=0 \nonumber \]
\[ \frac{d\ p}{d\ q}= \frac{-7p-0.5 q^{-0.5}}{40+7q} \nonumber \]
\(50*price^2+5*price*quantity=3000\text{.}\)Знайти\(\frac{d\ price}{d\ quantity}\text{.}\)
\(1000=5L^{0.6} K^{0.4}\text{.}\)Знайти\(\frac{dK}{dL}\text{.}\)
- Відповідь
-
Візьміть похідну по відношенню\(L\) до обох сторін:
\[ \frac{d}{dL} 1000=5 \frac{d}{dL} [L^{0.6} K^{0.4} ] \nonumber \]
\[ 0=5[\frac{d}{dL}(L)^{0.6})K^{0.4}+L^{0.6} \frac{d}{dL}(K^{0.4})] \qquad \text{(product rule)} \nonumber \]
\[ 0=5[0.6 L^{-0.4} K^{0.4}+L^{0.6} 0.4K^{-0.6} \frac{dK}{dL}] \nonumber \]
Розділіть обидві сторони на 5 і вирішіть для\(\frac{dK}{dL}\text{.}\)
\[ \frac{dK}{dL}=- \frac{0.6 L^{-0.4} K^{0.4}}{L^{0.6} 0.4K^{-0.6}}= \frac{-3K}{2L}. \nonumber \]
\(2000=7L^.3 K^.7.\)Знайти\(\frac{dK}{dL}\text{.}\)
\(3000=2L^.25 K^.75\text{.}\)Знайти\(\frac{dL}{dK}\text{.}\)
- Відповідь
-
\[ \frac{d}{dK} 3000=2 \frac{d}{dK} [L^{0.25} K^{0.75} ] \nonumber \]
\[ 0=2[\frac{d}{dK}( L^{0.25}) K^{0.75}+L^{0.25} \frac{d}{dK}( K^{0.75} )] \qquad\text{(product rule)} \nonumber \]
\[ 0=2[0.25L^{-0.75}\frac{dL}{dK} K^{0.75}+L^{0.25} 0.75K^{-0.25} ] \nonumber \]
\[ \frac{dL}{dK}=-\frac{L^{0.25} 0.75K^{-0.25}}{0.25L^{-0.75} K^{0.75}} =-3 \frac{L}{K}. \nonumber \]
7\(000=11L^.8 K^.2\text{.}\) Знайти\(\frac{dL}{dK}\text{.}\)
Виробнича функція для фабрики віджетів -\(1000=15L^{0.7} K^{0.3}\text{.}\) Знайти\(\frac{dK}{dL}\) та\(\frac{dL}{dK}\text{.}\) інтерпретувати те, що вони означають.
- Відповідь
-
Частина 1 Знайти\(\frac{dK}{dL}\)
\[ \frac{d}{dL} 1000=15\frac{d}{dL}[L^{0.7} K^{0.3}] \nonumber \]
\[ 0=15[\frac{d}{dL} (L^{0.7} )K^{0.3}+L^{0.7} \frac{d}{dL} (K^{0.3})] \nonumber \]
\[ 0=[0.7 L^{-0.3} K^{0.3}+L^{0.7} 0.3K^{-0.7} \frac{dK}{dL}] \nonumber \]
\[ \frac{dK}{dL}L=\frac{-0.7 L^{-0.3} K^{0.3}}{L^{0.7} 0.3K^{-0.7}} = -\frac{7K}{3L}. \nonumber \]
Частина 2 Знайти\(\frac{dL}{dK}\text{.}\)
\[ \frac{d}{dK} 1000=15\frac{d}{dK}[L^{0.7} K^{0.3}] \nonumber \]
\[ 0=15[\frac{d}{dK} (L^{0.7}) K^{0.3}+L^{0.7} \frac{d}{dK} (K^{0.3})] \nonumber \]
\[ 0=[0.7 L^{-0.3} \frac{dL}{dK} K^{0.3}+L^{0.7} 0.3K^{-0.7}] \nonumber \]
\[ \frac{dL}{dK}= \frac{- 0.3 L^{0.7} K^{-0.7}}{0.7 L^{-0.3} K^{0.3}} = \frac{-3L}{7K}. \nonumber \]
Частина 3 Інтерпретувати
\(\frac{dK}{dL}\)і\(\frac{dL}{dK}\) є негативними і є взаємними один одного. Іншими словами:\(\frac{dK}{dL}=\frac{1}{\frac{dL}{dK}}\text{.}\)
Так як вони негативні, якщо ми збільшимо,\(L\text{,}\) то\(K\) зменшиться і навпаки. \(\frac{dK}{dL}\)вимірює\(K\) нахил і функцію\(L\text{.}\)\(\frac{dL}{dK}\) вимірює\(L\) нахил і функцію\(K\text{.}\)
\(30*price+3*price*quantity+(quantity^2)/100=2000\)Дозволяти рівняння, що стосується пропозиції та ціни на штучки. Знайдіть\(\frac{d\ price}{d\ quantity}\) і\(\frac{d\ quantity}{d\ price}\text{.}\) поясніть, що означає кожна похідна.
\(e^{xy}+2x+3y=17\text{.}\)Знайти\(\frac{dy}{dx}\text{.}\)
- Відповідь
-
\[ \frac{d}{dx} (e^{xy}+2x+3y)= \frac{d}{dx} 17 \nonumber \]
Оцінка похідних:
\[ e^{xy} \frac{d}{dx} (xy)+2+3 \frac{dy}{dx}=0 \nonumber \]
Що дає:
\[ e^{xy} [y+x \frac{dy}{dx}]+2+3 \frac{dy}{dx}=0 \nonumber \]
Далі вирішуємо для\(\frac{dy}{dx}\)
\[ e^{xy} y+xe^{xy} \frac{dy}{dx}+2+3 \frac{dy}{dx}=0 \nonumber \]
\[ (xe^{xy}+3)\frac{dy}{dx}=-(e^{xy} y+2) \nonumber \]
\[ \frac{dy}{dx}=-\frac{(y e^{xy}+2)}{(x e^{xy}+3)} \nonumber \]