4.4: Диференціація за допомогою комп'ютерної алгебри

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66639

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Як ми зазначили в розділі 1, у цій книзі ми обмежуємося математичними інструментами, які студент може розумно очікувати знайти в загальному робочому середовищі. Це одна з причин зосередження уваги на використанні електронних таблиць та Excel. Однак ми також розглянемо використання безкоштовних веб-інструментів, особливо як засіб виконання символічних маніпуляцій. Диференціація - одна з тих операцій, які можна зробити за допомогою безкоштовних інструментів, доступних в Інтернеті. Очікується, що студент цього курсу буде регулярно робити символічну диференціацію вручну. Однак добре вміти перевіряти свою роботу. Ми також хочемо інструменти, які будуть надійно працювати з більш неприємними проблемами.

У роботі з похідними ми розглянули три основні проблеми:

Задано функцію, знайдіть формулу для її похідної. Це відповідає знаходженню граничної функції.
Задано функцію, знайдіть значення похідної в певній точці. Ми робимо це, коли хочемо швидкості змін у певній точці.
Задано функцію, знайдіть, де похідна дорівнює 0. Ми робимо це, коли намагаємося знайти мінімальне або максимальне значення функції.

Існує ряд веб-сайтів, які прийматимуть символічні похідні. Ми починаємо з Wolfram|Alpha, який доступний за адресою http://www.wolframalpha.com.

Приклад 4.4.1: Проста похідна з альфа.

: Використовуйте Wolfram|Alpha, щоб знайти похідну$x^3+5x+7\text{.}$

Рішення

Коли ви телефонуєте на веб-сайт, ви отримуєте панель введення так само, як і з улюбленою пошуковою системою.

$clipboard_e1b79f5176fd7fcb57ee00358400ca1cb.png$

Інтерфейс для Wolfram|Alpha досить надійний. Ми можемо задати питання простою англійською мовою. У нашому випадку ми хотіли б знайти похідну від x^3+5x+7 по відношенню до x.

знайти похідну від (x^3+5x+7)
знайти похідну (x^3+5x+7) щодо x
похідна від (x^3+5x+7)
диференціювати (x^3+5x+7) по відношенню до х
диференціювати (х ^ 3+5x+7)
Д (х ^3+5x+7)
д/дх (х ^+5x+7)
(х ^ 3+5x+7) '

На все це веб-сайт надає однакову відповідь.

$clipboard_e0499b8b8720957eae41893f5d4fb37cf.png$

Зауважте, що відповідь повідомляє нам питання, на яке відповідає Wolfram|Alpha. Це допомагає нам перевірити, чи нас правильно зрозуміли.

Варто зазначити, що Wolfram|Alpha має можливість показувати покрокові рішення.

$clipboard_e2a2806cf54f66e0f4b61aa4002257888.png$

Wolfram|Alpha розуміє угоду про те, що змінна для математичних задач, як правило, x. Якщо ми не вкажемо змінну, щодо якої ми диференціюємо, вона буде здогадатися, що x є нашою змінною. Інші літери розглядаються як константи, якщо ми не використовуємо позначення функцій з дужками. Таким чином, ми можемо використовувати Wolfram|Alpha для перевірки наших правил диференціації.

Приклад 4.4.2: Згадування правила частки.

Використовуйте Wolfram|Alpha, щоб згадати правило частки.

Рішення

$clipboard_ed47b78c061d184004168102140dc6c11.png$

Слід зазначити, що Wolfram|Alpha не працюватиме з довгими іменами змінних, такими як Principal або MonthlyPayment. Нам просто потрібно змінити змінні для роботи з Wolfram|Alpha.

Приклад 4.4.3: Робота з довгими іменами змінних.

Вартість віджетів задається:

$cost=2000+10*quantity+.001*quantity^2$

Знайти швидкість зміни вартості по відношенню до кількості, коли кількість = 1000. (Ми використовуємо похідну для оцінки граничної вартості.)

Рішення

Оскільки ми будемо використовувати Wolfram|Alpha, ми хочемо перетворити рівняння, щоб використовувати змінні з однією буквою.

c = 2000+10* q+.001*q ^ 2.

Ми хочемо оцінити похідну по відношенню до q, коли q=1000.

$clipboard_ebd7524a7791bd606df80e9c042307bd3.png$

Таким чином, при кількості = 1000, збільшення виробництва на 1 віджет збільшує собівартість на 12 доларів.

Третя основна похідна задача полягала в тому, щоб знайти максимум або мінімум. Для екстремальних проблем ми хочемо знайти, де похідна дорівнює 0, оскільки екстрема може відбуватися лише в кінцевих точках та критичних точках.

Приклад 4.4.4: Вивчення бізнес-прикладу.

Функції собівартості і ціни попиту віджетів задаються:

\[ cost=2000+10*quantity+.001*quantity^2 \nonumber \]

\[ revenue=\frac{100*quantity}{1+.01*quantity} \nonumber \]

Знайдіть кількість, яка максимізує прибуток.

Рішення

Ми спрощуємо імена змінних до q, c, p та r для кількості, вартості, прибутку та доходу відповідно. Наша формула отримання прибутку така:

\[ p=r-c=100q/(1+.01q)-(2000+10q+.001q^2 ) \nonumber \]

Шукаючи максимум, ми завжди починаємо з перегляду графіка функції, про яку йде мова.

$clipboard_e0e3eec16c91b74cac333ec986c673b95.png$

З графіка видно, що у нас єдиний максимум для функції прибутку і він виникає біля q=200. Щоб знайти цю точку, ми хочемо взяти похідну і встановити її рівною нулю, або ми хочемо використовувати команду solve на похідній. вводимо команду

розв'язати (похідна 100q/ (1+.01q) - (2000+10q+.001q^2) по відношенню до q)

$clipboard_e672d7d8f9bbecf93cf3b1a31744931e6.png$

Нам потрібно зробити трохи інтерпретації, оскільки Wolfram|Alpha використовує числові методи з комплексними числами. Зокрема, відповіді мають нульову уявну частину. Ми також шукаємо позитивне число. Таким чином, ми робимо висновок, що прибуток максимізується на рівні 209,8 віджетів.

Дивлячись на вільне програмне забезпечення в Інтернеті для отримання похідних, ми почали з Wolfram|Alpha, оскільки ми можемо використовувати його у всій книзі, коли Excel не вирішує наших потреб. Він також підтримується компанією, яка виробляє Mathematica®, тому вона повинна залишатися доступною в доступному для огляду майбутньому. Ще одним корисним джерелом є розв'язувачі з Symbolab https://www.symbolab.com/solver. Symbolab має колекцію розв'язувачів для тем цього курсу.

$clipboard_e406b918348a4f8da24314ad77f3e2189.png$

У ньому також є розділ, який дозволяє виконувати свердління та практикувати методи, які ми вивчили. Як і WolframAlpha, він дає можливість покрокових рішень. Я вважаю сайт трохи більш зручним для користувачів для студентів математики.

Для окремих проблем ми можемо використовувати інше програмне забезпечення. Для пошуку похідних, швидкий веб-пошук знайшов http://www.derivative-calculator.net/ що є приємнішим, якщо ви просто перевіряєте свою роботу. Як і у випадку з Wolfram|Alpha, калькулятор похідних показує вам задачу у математичній формі, щоб ви могли перевірити синтаксис.

$clipboard_e722ff5d41dcfca3b8ae70b0cc8760e1d.png$

Однак форматування показу кроків є кращим, оскільки наведення курсора на один крок показує зміни для цього кроку в наступному рядку.

$clipboard_e327751f1ffb61e09be33d8794805b226.png$

Ви можете знайти інші веб-сайти для створення похідних, а також.

клас =»

Вправи: Диференціація за допомогою проблем комп'ютерної алгебри

Для 1-12 знайти похідну заданої функції

Вправа 1:

$f(x)=x \ln(x)$

Відповідь: $clipboard_e508c5399c19fa1c9b003667825993237.png$

Так$f' (x)= \ln(x)+1\text{.}$

Вправа 2:

$g(t)=e^{.07t} (-t^2+3t+5)$

Вправа 3:

$h(t)=t^2 e^{-0.06t}$

Відповідь: $clipboard_e1cae4701d99b1d8aad34efc45299aeac.png$

Вольфрам повертає кілька форм (вони відрізняються деякою простою алгеброю). Ми можемо вибрати ту, яка має форму, яку ми вважаємо найбільш корисною. У цьому випадку ми могли б вибрати, наприклад:

\[ h' (t)=e^{-0.06t} (2t-0.06 t)^2 \nonumber \]

Це приємна компактна відповідь, яка дозволяє уникнути десяткових наближень.

Вправа 4:

$k(x)=(2x+5)^{37}$

Вправа 5:

$m(x)=\ln(\ln(\ln(x^2+3)))$

Відповідь

Вольфрам пише ln як журнал, але все ще означає, що база$e\text{.}$ загального журналу x буде log (10, x). Дотримуватися наших позначень, ми б сказали

\[ m'(x)=\frac{2 x}{(x^2+3)ln(x^2+3)ln(ln(x^2+3))} \nonumber \]

Зверніть увагу, що Wolfram дозволяє нам копіювати текст. Наведіть курсор на відповідь і в розділі «A», і ви знайдете відкритий текст, який можна скопіювати. Це можна редагувати в текстовому документі або документі Excel.

Вправа 6:

$n(x)=\frac{e^x}{\ln(x^2+3)}$

Вправа 7:

$price=10-\frac{quantity}{100} -\frac{quantity^2}{10000}$

Відповідь: Wolfram погано працює з цілими змінними слів. Відредагуйте рівняння (ви можете зробити це в Wolfram) і нехай$Price = P(q)$ і$quantity = q\text{.}$ Це дає таку похідну:

$clipboard_ee8c95abd7731a5de0bfb6822cf4cd2bc.png$