4.3: Правило ланцюга

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66634

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

В останніх двох розділах ми вивчили правила символічної диференціації деяких функцій. Підводячи підсумок, ми встановили деякі елементарні формули і деякі арифметичні правила.

Елементарні формули:

Якщо\(f(x)=a\text{,}\) тоді\(f'(x)=0\text{.}\)

Якщо\(f(x)=ax\text{,}\) тоді\(f'(x)=a\text{.}\)

Якщо\(f(x)=a*x^n\text{,}\) тоді\(f(x)=a*n*x^{n-1}\text{,}\) для будь-якого ненульового числа n.

Якщо\(f(x)=e^x\text{,}\) тоді\(f'(x)=e^x\text{.}\)

Якщо\(f(x)=a^x\text{,}\) тоді\(f'(x)=a^x \ln(a)\text{.}\)

Якщо\(f(x)=\ln(x)\text{,}\) тоді\(f'(x)=1/x\)

Правила арифметичних похідних:

Скалярне множинне правило: Похідна від\(c*f(x)\)\(c*f'(x)\text{.}\)

Правило суми та різниці: Похідна від\(f(x)\pm g(x)\)\(f'(x)\pm g'(x)\text{.}\)

Правило продукту:\(f(x)g(x)\) Похідне від\(f' (x) g(x)+f(x)g'(x)\text{.}\)

Частота Правило: Похідна від\(f(x)/g(x)\)\(\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \text{.}\)

Інший спосіб, яким ми традиційно будуємо функції з простіших функцій, - це використання композиції. Ми хочемо мати можливість приймати похідні функцій, таких як\((2x+3)^{52}\text{,}\)\(\sqrt{(x^2 )+5x+7}\text{,}\) і\(1.06^{.2x}\text{.}\)

Претензія\(4.3.1\). Chain Rule.

Похідне від\(f(g(x))\) є\(f'(g(x))g'(x)\) Іншими словами,

\[ \left[f(g(x))\right]'=f'(g(x))*g'(x)\text{.} \nonumber \]

Приклад 4.3.2: Просте правило ланцюга.

Знайдіть похідну наступних функцій:

\(\displaystyle f(p)=(p^3+2 p+5)^7.\)
\(\displaystyle g(q)=\sqrt{q^2+6}.\)
\(\displaystyle h(x)=e^{2 x+5}.\)

Рішення

Ми могли б зробити цю проблему, розширивши її до полінома і використовуючи правила з попереднього розділу, але це занадто важко. Ми можемо писати\(f(p)\) як\(g(h(p))\) де\(h(p)=p^3+2 p+5\) і\(g(p)=p^7\text{.}\) Ми використовуємо правила з попереднього розділу для обчислення\(h'(p)=3 p^2+2\) та\(g'(p)=7p^6\text{.}\) складання ми отримуємо\(g'(h(p))=7(p^3+2 p+5)^6\text{.}\) Таким чином
\[ f'(p)=g'(h(p))h'(p)=7(p^3+2 p+5)^6(3 p^2+2 ). \nonumber \]