4.2: Похідні правила для комбінацій функцій

В останньому розділі ми вивчили правила символічної диференціації деяких елементарних функцій. Підводячи підсумок, ми встановили 4 правила.

Елементарні формули:

Якщо f,\((x)=x^n\text{,}\) то\(f'(x)=n*x^{(n-1)}\text{,}\) для будь-якого дійсного числа\(n\text{.}\)

Якщо\(f(x)=e^x\text{,}\) тоді\(f'(x)=e^x\text{.}\)

Якщо\(f(x)=a^x\text{,}\) тоді\(f'(x)=a^x \ln(a)\text{.}\)

Якщо\(f(x)=\ln(x)\text{,}\) тоді\(f'(x)= 1/x\text{.}\)

Однак у нас ще немає правила приймати похідну функції так просто, як\(f(x)=x+2\text{.}\) Замість того, щоб створювати правила для кожного виду функцій, ми хочемо дізнатися, як диференціювати функції, отримані арифметикою, на функціях, які ми вже знаємо, як диференціювати. Це дозволило б нам диференціювати функції, такі як\(f(x)=5 x^3+3x^2+1\text{,}\)\(g(x)=(x+2) 1.03^x\text{,}\) або\(F(x)= \ln(x)/(x+3)\text{,}\) які побудовані з наших елементарних функцій. Ми хочемо правила множення відомої функції на константу, для додавання або віднімання двох відомих функцій, а також для множення або ділення двох відомих функцій.

4.2.1 Похідні скалярних добутків

Ми починаємо з диференціації постійної раз функції.

Претензія\(4.2.1\). Scalar Multiple Rule.

Похідне від\(c*f(x)\) є\(c*f'(x)\text{.}\) Іншими словами,

\[ [c*f(x)]'=c*f'(x)\text{.} \nonumber \]

Приклад 4.2.2: Похідні констант на стандартні функції.

Знайдіть похідні наступних функцій:

1. \(\displaystyle f(x)=2e^x\)
2. \(\displaystyle g(x)=500(1.05)^x\)
3. \(\displaystyle h(x)=\ln(x^7)\)

Рішення

Використання нашого правила

1. \(\displaystyle f'(x)=2[e^x ]'=2e^x.\)
2. \(\displaystyle g'(x)=500[(1.05)^x ]'=500(1.05)^x \ln(1.05).\)
3. \(\displaystyle h'(x)=[\ln(x^7)]'=[7 \ln(x)]'=7[\ln(x)]'=7/x.\)

Похідні сум і різниць

Далі ми хочемо подивитися на суму або різницю двох функцій.

Претензія\(4.2.3\). Sum and Difference Rule.

Похідне від\(f(x)\pm g(x)\) є\(f'(x)\pm g'(x)\text{.}\) Іншими словами,

\[ [f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x)\text{.} \nonumber \]

Приклад 4.2.4: Похідні сум і відмінностей стандартних функцій.

Знайдіть похідні наступних функцій:

1. \(\displaystyle f(x)=5x^3+3x^2-7\)
2. \(\displaystyle g(x)=100e^x-1000(1.03)^x\)
3. \(\displaystyle h(x)=5\sqrt{x}+2/\sqrt{x}-7x^{-3}\)

Рішення

Використання нашого правила

1. \(\displaystyle f'(x)=[5x^3 ]'+[3x^2 ]'-[7]'=15x^2+6x-0.\)
2. \(\displaystyle g'(x)=100[e^x]'-1000(1.03)^x]'=100e^x-1000(1.03)^x \ln(1.03).\)
3. \ почати {збирати*} h '(x) =5 [x^ {1/2}] '+2 [x^ {-1/2}] '-7 [x^ {-3}]'\\ =5/2 x^ {-1/2} -x^ {-3/2} +21 x^ {-4}\ =\ розрив {5} {2\ sqrt {x}} -\ frac {1} {sqrt {x^3}} +\ frac {21} {x^4}. \ end {збирати*}

Теорія та обґрунтування

Основний аргумент для всіх наших правил починається з локальної лінійності. Нагадаємо,\(f(x)\) що якщо диференційовний в\(x_0\text{,}\) то в області навколо\(x_0\text{,}\) ми можемо\(f(x)\) наблизити лінійною функцією,\(f(x)\approx f'(x_0 )(x-x_0 )+f(x_0)\text{.}\) Щоб знайти похідну скалярного добутку, суми, різниці, добутку або частки відомих функцій, ми виконуємо відповідні дії на лінійну наближення цих функцій. Потім візьмемо коефіцієнт лінійного члена результату.

Для нашого першого правила ми диференціюємо постійний час функції. Слідуючи загальному методу, ми розглянемо, як ми множимо константу на лінійне наближення.

\[ c*(f' (x_0 )(x-x_0 )+f(x_0 ))=(c f' (x_0 ))(x-x_0 )+(c f(x_0 )) \nonumber \]

Беручи коефіцієнт лінійного члена, дає скалярне кратне правило, похідна від постійної множини функції є постійною раз похідною функції.

Далі ми хочемо подивитися на суму або різницю двох функцій. Слідуючи загальному методу, ми розглянемо суму або різницю лінійних наближень.

\ почати {збирати*} (f' (x_0) (х-х_0) +f (x_0))\ пм (g' (x_0) (х-х_0) +г (x_0))\ = (f' (x_0)\ pm g' (x_0)) (x_0) + (f (x_0) ± г (x_0))\ кінець {збереть*}

Беручи коефіцієнт лінійного члена дає правило суми або різниці, похідна суми або різниці двох функцій - сума або різниця похідних функцій.

4.2.2 Похідні від продуктів

Звертаємо свою увагу на твір двох функцій.

Претензія\(4.2.5\). Product Rule.

Похідне від\(f(x)* g(x)\) є\(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\) Іншими словами,

\[ [f(x)*g(x)]'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)\text{.} \nonumber \]

Попередження: Зверніть увагу, що похідна продукту не є продуктом похідних!

Почнемо з прикладу, який ми можемо зробити, множивши перед тим, як взяти похідну. Це дає нам можливість перевірити, чи правильно ми маємо правило.

Приклад 4.2.6: Проста похідна продукту.

Дозвольте\(f(x)=x\) і\(g(x)=x^2\text{.}\) знайдіть похідну від\(f(x)*g(x)\text{.}\)

Рішення

Зверніть увагу, що\(f(x)*g(x)=x^3\text{.}\) Використання нашого правила для мономій\((f(x)*g(x))'=(x^3 )'=3x^2\text{.}\) Використовуючи те саме правило, яке ми бачимо,\(f'(x)=1\text{,}\) і Тепер\(g'(x)=2x\text{.}\) ми можемо оцінити за допомогою правила продукту:

\[ \begin{aligned} (f(x)*g(x))' \amp = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) \\ \amp = (1)*(x^2 )+(x)*(2x)= 3x^2. \end{aligned} \nonumber \]

Обидва способи дають однакову відповідь. Зверніть увагу, що продукт похідних є\(2x\), який НЕ є похідним продукту.

Приклад 4.2.7: Загальні похідні продуктів.

Знайдіть похідні наступних функцій:

1. \(\displaystyle f(x)=(6x+100)*(1.06)^x.\)
2. \(\displaystyle g(x)=\sqrt{x} \ln(x).\)

Рішення

1. \(\displaystyle f'(x)=(6)*(1.06)^x+(6x+100)*(1.06)^x \ln(1.06)\)
2. \(\displaystyle g'(x)=[\sqrt{x}]'\ln(x)+\sqrt{x}[\ln(x)]'= [1/(2\sqrt{x})]\ln(x)+\sqrt{x}[1/x].\)

Теорія та обґрунтування

Дотримуючись загального правила, ми розглянемо лінійний член добутку лінійних наближень. Розглянемо добуток двох лінійних виразів.

\[ (a x+c)(b x+d)=a b x^2+(a d+b c)x+c d. \nonumber \]

Коефіцієнт лінійного члена дорівнює\((a d+b c)\text{.}\) Таким чином, коли ми беремо добуток

\[ (f'(x_0)(x-x_0 )+f(x_0 ))*(g' (x_0 )(x-x_0)+g(x_0 )), \nonumber \]

коефіцієнт лінійного члена дорівнює

\[ f'(x_0 )g(x_0 )+f(x_0)g'(x_0). \nonumber \]

4.2.3 Похідні від коефіцієнтів

Нарешті, звернемо увагу на частку двох функцій.

Претензія\(4.2.8\). Quotient Rule.

Похідне від\(\frac{f(x)}{g(x)}\) є\(\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}\) Іншими словами,

\[ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)}{(g(x))^2}\text{.} \nonumber \]

Попередження: Ще раз зауважте, що похідна частки НЕ є часткою похідних!

Приклад 4.2.9: Проста похідна частки.

Дозвольте\(f(x)=x^2\) і\(g(x)=x\text{.}\) знайдіть похідну від\(f(x)/g(x)\text{.}\)

Рішення

Зверніть увагу, що\(f(x)/g(x)=x\text{.}\) Використання нашого правила для мономов\((f(x)*g(x))'=(x )'=1\text{.}\) Використовуючи те саме правило, яке\(g'(x)=1\text{.}\) ми бачимо,\(f'(x)=2x\text{,}\) і Тепер ми можемо оцінити, використовуючи часткове правило:

\[ \begin{aligned} (f(x)/g(x))' \amp = \frac{f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)}{(g(x))^2} \\ \amp = \frac{(2x)*(x )-(x^2)*(1)}{x^2}=\frac{x^2}{x^2}=1. \end{aligned} \nonumber \]

Обидва способи дають однакову відповідь. Зауважимо, що частка похідних\(2x\text{,}\)

Приклад 4.2.10: Загальні похідні коефіцієнтів.

Знайдіть похідні наступних функцій:

1. \(\displaystyle f(x)=((6x^2+100))/(x^3+x).\)
2. \(\displaystyle g(x)=(1.07)^x/(3x+5).\)

Рішення

1. \[ f'(x)=\left(\frac{6x^2+100}{x^3+3}\right)' =\frac{(12x)(x^3+3)-(6x^2+100)(3x^2+1)}{(x^3+2)^2} \nonumber \]