4.1: Елементарні похідні
- Page ID
- 66640
Почнемо з згадки формального визначення, з невеликим коригуванням позначення відповідно до стандартних конвенцій:
Для функції\(f(x)\text{,}\) миттєва швидкість зміни\(f(x)\text{,}\) або похідна від\(f(x)\), позначається як\(f'(x)\text{,}\) визначається як
\[ f'(x )=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}. \nonumber \]
Ми також хочемо нагадати деякі альтернативні позначення, які ми можемо використовувати.
Позначення: Нехай\(y=f(x)\text{.}\)
Похідна від\(f(x)\) позначається як\(f'(x)\) або\(\frac{d}{dx} f(x) \) або\(dy/dx\text{.}\)
Похідна при\(x=x_0\) позначається як\(f'(x_0 )\) або\(\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}\text{.}\)
Як це характерно в математиці, коли існує кілька форм, ми використовуємо ту, яка має найбільший сенс у випадку, над яким ми працюємо.
похідні мономів
Наше перше правило символічної диференціації дає похідну від мономіала
Якщо\(f(x)=a x^n\text{,}\) тоді\(f'(x)=n*a*x^{n-1}\text{.}\)
Це правило є узагальненням правила, яке ми знайшли в розділі 3.2 за допомогою ліній тренду. Там ми помітили, що похідна є лінійною всякий раз, коли функція квадратична. Правило діє для всіх значень n, а не тільки для натуральних цілих чисел. Тепер ми можемо знайти похідні для виразів, які можуть бути перетворені в цю форму.
Використовуючи наше перше правило символічної диференціації, знайдіть похідні наступних функцій:
- \(\displaystyle f(x)=3 x\)
- \(\displaystyle g(x)=5 x^2\)
- \(\displaystyle h(x)=7x^{25}\)
- \(\displaystyle j(x)=6 \sqrt{x}\)
- \(\displaystyle k(x)=\frac{4}{x^3} \)
Рішення
Використовуючи наше правило:
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} f(x)= \frac{d}{dx} (3 x^1)=1*3 x^0=3.\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} g(x)=\frac{d}{dx} (5 x^2 )=2*5 x^1=10 x.\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} h(x)=\frac{d}{dx} (7x^{25})=25*7 x^24=175x^{24}.\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} j(x)=\frac{d}{dx} (6 \sqrt{x})=\frac{d}{dx} (6x^{1/2} )=1/2*6x^{-1/2}=3x^{-1/2}\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} k(x)=\frac{d}{dx} \frac{4 }{x^3 }=d/dx (4 x^{(-3)} )=-3*4 x^{-4}=-12 x^{-4}\)
Для частин (d) та (e) ми перетворили коріння та дроби, щоб вони виглядали як мономи з негативними або дробовими показниками і застосували наше правило.
Напевно, найбільш переконливою демонстрацією істини цього правила є використання Excel та методів останнього розділу, щоб знайти функцію, її числові та символічні похідні та побачити, що символічні та числові похідні однакові, щоб округлити помилку. Ми також хотіли б побачити, як символічна похідна може бути виведена з формального визначення похідної в простих випадках.
Від формального визначення похідної, якщо\(f(x)=a x+b\text{,}\) потім показати\(f'(x)=a\text{.}\)
Рішення
Використовуючи наше визначення:
\ почати {збирати*} f' (x) = lim_ {h\ to0}\ розрив {f (x+h) -f (x)} {h} =lim_ {h\ to0}\ frac {(a (x+h) +б) - (a x+b)} {h}\ = lim_ {h\ to0}\ frac {a x+a +б) - (a x+b)} {h}\\ =lim_ {h\ to0}\ frac {ах} {h} =lim_ {h\ to0} a=a.\ end {збирати*}
Останній крок виправданий тим, що коли h отримує дуже мале значення a просто залишається a.
Ми хочемо подивитися на квадратичну функцію, оскільки нам потрібно буде взяти межу в цьому випадку.
Від формального визначення похідної, якщо\(f(x)=a x^2\text{,}\) потім показати\(f'(x)=2 a x\text{.}\)
Рішення
Використовуючи наше визначення:
\ begin {збирати*} f' (x) =lim_ {h\ to0}\ розрив {f (x+h) -f (x)} {h} =lim_ {h\ to0}\ frac {(a (x+h) ^2)} {h}\ = lim_ {h\ to0}\ frac {a x^2+2)} {h}\ = lim_ {h\ to0}\ frac {a x^2+2) а ч х +а h ^ 2) - (a x^2)} {h}\\ =lim_ {h\ to0}\ гідророзриву {2 а ч х +а ч ^ 2} {h} =lim_ {h\ to0} (2ax+h) =2ax. \ end {збирати*}
Останній крок виправданий тим, що коли h стає дуже маленьким, значення a h також стає дуже маленьким.
Ми можемо змінити цей останній приклад, щоб знайти формулу для похідної\(f(x)=x^n\) для будь-якого натурального цілого.\(n\text{.}\) Ми нагадуємо, що
\((x+h)^n=x^n+n x^{(n-1)}h+terms\ involving\ h^2.\)
Ми готові до узагальнення.
Від формального визначення похідної, якщо\(f(x)=a x^n\text{,}\) потім показати\(f'(x)=n a x^{(n-1)}\text{.}\)
Рішення
Використовуючи наше визначення:
\ begin {збирати*} f' (x) =lim_ {h\ to0}\ розрив {f (x+h) -f (x)} {h} =lim_ {h\ to0}\ frac {(a (x+h) ^n)} {h}\ = lim_ {h\ to0}\ frac {a (x^n)} {h}\ = lim_ {h\ to0}\ frac {a (x^n) +n x^ {n-1} h +терміни\ за участю\ h^2) - (a x^n)} {h}\ =lim_ {h\ to0}\ frac {(a (n x^ {n-1} h +терміни\ участь\ h}\ = lim_ {h\ to0}} (a (n x^ {n-1} +терміни\ участь\ h) = анкс^ {n-1}. \ end {збирати*}
Останній крок виправданий тим, що коли h отримує дуже мале значення h разів многочлен в h також стає дуже малим.
Похідні експоненціальних функцій
Якщо\(f(x)=a*e^x\text{,}\) тоді\(f'(x)=a*e^x\text{.}\)
Елегантність цього правила є частиною причини, чому математики та математичні книги люблять базу\(e\) для експоненціальних функцій. Однак ми частіше хочемо використовувати експоненціальні функції, засновані на швидкості зростання або розпаду.
Якщо\(f(x)=b*a^x\text{,}\) тоді\(f'(x)=b*\ln(a)*a^x\text{.}\)
Використовуючи експоненціальні правила символічної диференціації, знайдіть похідні наступних функцій:
- \(\displaystyle f(x)=2 e^x\)
- \(\displaystyle g(x)=\pi e^x\)
- \(\displaystyle h(x)=7*2^x\)
- \(\displaystyle j(x)=5*(1.06)^x\)
- \(\displaystyle k(x)=9*(0.97)^x\)
Рішення
Використовуючи наше правило:
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} f(x)= \frac{d}{dx} (2 e^x)=2 e^x.\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} g(x)=\frac{d}{dx} (\pi e^x )=\pi e^x.\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} h(x)=\frac{d}{dx} (7*2^x )=7*\ln(2)*2^x\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} j(x)=\frac{d}{dx} (5*(1.06)^x) =5*\ln(1.06)*(1.06)^x \)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} k(x)=\frac{d}{dx} (9*(0.97)^x) =9*\ln(0.97)*(0.97)^x \)
У чомусь найбільш переконливим аргументом цих правил є використання Excel для побудови функції, її числової похідної та її символічної похідної для різноманітних значень і бачити, що числові та символічні похідні однакові аж до помилки округлення. Ми також хотіли б зробити аргумент з формального визначення похідної.
З формального визначення похідної показують, що якщо\(f(x)=e^x\text{,}\) тоді\(f'(x)=e^x\text{.}\)
Рішення
Використовуючи наше визначення:
\ почати {збирати*} f' (x) =lim_ {h\ to0}\ розрив {f (x+h) -f (x)} {h} =lim_ {h\ to0}\ frac {e^ {(x+h)} -e^x} {h}\ =lim_ {h\ to0}\ frac {e^x (e^h-1} {h} =e^x\ ліворуч (lim_ {h\ to0}\ frac {e^h-1} {h}\ праворуч)\ end {збирати*}
Досить показати, що\(\left(lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}\right) =1\text{.}\) Це можна зробити, починаючи з формального визначення\(e\text{.}\) Для цього класу це також може бути зроблено за допомогою Excel для оцінки виразу для менших і менших значень h.
Здається зрозумілим, що\(\left(lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}\right) =1\text{.}\)
Від формального визначення похідної, якщо\(f(x)=a^x\text{,}\) потім показати\(f'(x)=\ln(a)*a^x\text{.}\)
Рішення
Починаємо з імітації останньої проблеми. На ключовому кроці нагадаємо, що\(a^x=e^{x \ln(a)}\text{.}\) ми також хочемо відзначити, що\(\left(lim_{h\ln(a) \to0}\frac{e^{h\ln(a)}-1}{h\ln(a)}\right) = \left(lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}\right) =1\text{.}\)
Використовуючи наше визначення:
\ почати {збирати*} f' (x) =lim_ {h\ to0}\ розрив {f (x+h) -f (x)} {h} =lim_ {h\ to0}\ frac {a^ {(x+h)} -a^x} {h}\ =lim_ {h\ to0}\ frac {a^x (a^h-1} {h} = (a^x)\ ліворуч (lim_ {h\ to0}\ frac {a^h-1} {h}\ праворуч)\\ = (a^x)\ ліворуч (lim_ {h\ to0} (\ ln (a))\ frac {e^ {h\ ln (a)} -1} {h\ ln (a)} {h\ ln (a)}\ праворуч)\\ = (a^ln (a)} x\ ln (a))\ лівий (lim_ {h\ ln (a)\ to0}\ frac {e^ {h\ ln (a)} -1} {h\ ln (a)}\ праворуч )\\ = (a^x\ ln (a))\ ліворуч (lim_ {h\ to0}\ frac {e^ {h} -1} {h}\ праворуч) =a^x\ ln (a)\ end {збирати*}
.
Ми, швидше за все, побачимо експоненціальні функції в контексті постійно зростаючого інтересу.
Якщо у мене є долар в банку за ефективною річною процентною ставкою 6%, що посилюється безперервно, за якою ставкою основна сума збільшується через два роки,
Рішення
Ми знаємо\(f(x)=(1.06)^x\text{.}\) Таким чином\(f'(x)=\ln(1.06)(1.06)^x\text{.}\) Ми оцінюємо це в 10 років і отримуємо\(f'(10)=\ln(1.06)(1.06)^{10}=.10435074\text{.}\) Таким чином, через 10 років я заробляю трохи більше 10 центів на рік.
Похідні логарифмічних функцій
Для останнього правила для цього розділу ми хочемо знайти похідну від\(f(x)=a \ln(x)\)
Якщо\(f(x)=a \ln(x)\text{,}\) тоді\(f'(x)=a/x\text{.}\)
Використовуючи логарифмічне правило символічної диференціації, знайдіть похідні наступних функцій:
- \(\displaystyle f(x)=2 \ln(x)\)
- \(\displaystyle g(x)=3 \ln(x^2)\)
- \(\displaystyle h(x)=5 \ln(1/x)\)
Рішення
Використовуючи наше правило:
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} f(x)= \frac{d}{dx} (2 \ln(x))=2/x.\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} g(x)=\frac{d}{dx} (3 \ln(x^2))= \frac{d}{dx} (3*2\ln(x))=6/x.\)
- \(\displaystyle \frac{d}{dx} h(x)=\frac{d}{dx} (5 \ln(1/x))= \frac{d}{dx} (-1*5\ln(x))=-5/x.\)
Наш аргумент для цього похідного правила буде більш геометричним.
Якщо\(f(x)=\ln(x)\text{,}\) потім показати\(f'(x)=1/x\text{.}\)
Рішення
Почнемо з того, що помічаємо, що\(y=e^x\) і\(y=\ln(x)\) є зворотними функціями. Це означає, що їх графіки можна отримати, відображаючи поперек лінії.\(y=x\text{.}\)
Нахил дотичної лінії на\((a,e^a)\) -\(e^a\) за експоненціальним правилом. Симетрія говорить нам, що нахил лінії дотичною до\(y=\ln(x)\) at\((e^a,a)\) є\(1⁄e^a\text{.}\)\(b=e^a\text{,}\) Допускаючи нахил прямої дотичної до\(y=\ln(x)\) at\((b,\ln(b))\) є\(1⁄b\text{.}\) Таким чином\(\frac{d}{dx}(\ln(x))=1/x\text{.}\)
Знайдіть нахил прямої дотичної до\(y=\ln(x)\) при\(x=10\text{.}\) Порівняти свою відповідь з оцінкою, заданою методами наближення останньої глави.
Рішення
Оскільки,\(f(x)=\ln(x)\text{,}\)\(f'(10) =1/10=.1\text{.}\) коли я використовую Excel для обчислення,\((f(10.001)-f(9.999))/.002\) я отримую\(0.1000000003\text{.}\)
Вправи: Проблеми елементарних похідних
клас =»Для вправ 1-12 використовуйте символічні правила, щоб знайти похідну функції.
\(f(x)=x^5\text{.}\)
- Відповідь
-
\[ f(x)=5x^4 \nonumber \]
\(g(x)=7/x^3\text{.}\)
\(h(x)=3\sqrt{(x^7)}\text{.}\)
- Відповідь
-
Перепишіть\(h(x)=3x^{7/2}\text{.}\)
\[ h'(x)=\frac{21}{2}(x^{5/2}) \nonumber \]
\(f(x)=2x^{\pi}\text{.}\)
\(k(x)=17\text{.}\)
- Відповідь
-
\[ k'(x)=0 \nonumber \]
\(m(x)=9x^{-5}\text{.}\)
\(f(x)=x^2 \sqrt{x}\text{.}\)
- Відповідь
-
Перепишіть\(f(x)=x^{5/2}\text{.}\)
\[ f'(x)=\frac{5}{2}x^{3/2} \text{.} \nonumber \]
\(g(x)=\ln(x)\text{.}\)
\(h(x)=e^x\text{.}\)
- Відповідь
-
\[ h'(x)=e^x \nonumber \]
\(k(x)=5^x\text{.}\)
\(m(x)=1.03^x\text{.}\)
- Відповідь
-
\[ m'(x)=1.03^x\ln(1.03) \nonumber \]
\(n(x)=(0.9)^x\text{.}\)
Для вправ 13-18 використовуйте символічні правила, щоб знайти похідну в зазначеній точці. Використовуйте Excel, щоб знайти числове наближення за допомогою «формули калькулятора». На скільки цифр згодні два методи?
\(f(x)=x^2\text{.}\)Оцініть на\(x=2\text{.}\)
- Відповідь
-
\(f'(x)=2x\text{,}\)Таким чином\(f'(2)=4\text{.}\), числова похідна погоджується на 12 десяткових знаків.
\(g(x)=5x\text{.}\)Оцініть на\(x=7\text{.}\)
\(h(x)=1.06^x\text{.}\)Оцініть на\(x=10\text{.}\)
- Відповідь
-
\(h'(x)=\ln(1.06)(1.06)^x\text{.}\)Таким чином\(h'(10)=\ln(1.06)(1.06)^{10}\ (\approx 0.104)\text{.}\), числова похідна погоджується з 10 десятковими знаками.
\(f(x)=e^x\text{.}\)Оцініть на\(x=5\text{.}\)
\(k(x)=\ln(x)\text{.}\)Оцініть на\(x=100\text{.}\)
- Відповідь
-
\(k'(x)=1/x\text{.}\)Таким чином\(k'(100)=0.01\text{.}\), числова похідна погоджується з 13 десятковими знаками.
\(m(x)=3/x\text{.}\)Оцініть на\(x=\pi\text{.}\)
Знайти дотичні лінії до заданих кривих в зазначених точках.
\(f(x)=3x^4\text{.}\)В\(x=1\text{.}\)
- Відповідь
-
Нам потрібна точка: якщо\(x =1\) тоді\(y=f(1)=3\text{.}\)
Потрібен ухил:\(f'(x)=12 x^3\text{.}\) Звідси\(m=f'(1)=12\text{.}\)
Знайдіть рядок:\(y-y_0=m(x-x_0 )\text{,}\) так\(y-3=12(x-1)\text{,}\)
Коментарі
- Ми можемо переписати дотичну лінію як\(y=12x-9\)
- Ми могли б використовувати версію перехоплення нахилу лінії, щоб вирішити проблему, а також. Тоді\(y=mx-b\text{.}\) ми знаємо\(m = 12\text{,}\) і можемо вирішити для\(b\), даючи\(x = 1\) і\(y = 3\text{.}\)
\(g(x)=a x\text{.}\)В\(x=b\text{.}\)
\(h(x)=1.05^x\text{.}\)В\(x=20\text{.}\)
- Відповідь
-
Нам потрібна точка: якщо\(x =20\) тоді\(y=h(20)=(1.05)^20\approx 2.6533\text{.}\)
Нам знадобиться ухил:\(h'(x)=\ln(1.05) (1.05)^x\text{.}\)
Звідси\(m=\ln(1.05) (1.05)^{20}=0.12945\)
Знайдіть рядок:\(y-y_0=m(x-x_0 )\text{,}\) так\(y-2.6533=0.12945(x-20)\text{.}\)
\(f(x)=e^x\text{.}\)В\(x=1\text{.}\)