2.2: Нелінійні функції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66613

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Для більшої частини цієї глави ми обмежилися функціями, які були або лінійними функціями, або поліноміальними функціями, де вони будуються з взаємодії лінійних функцій. Хоча це полегшує розуміння економічних моделей, цілком зрозуміло, що ситуації, про які ми дбаємо, часто краще описуються більш складними функціями. Постачальники бензину мають кінцеву кількість, яку вони можуть доставити незалежно від ціни. Це призводить до дуже нелінійної функції живлення. Варто переглянути, як ми вводимо інші функції в електронну таблицю.

Алгебраїчні функції.

Почнемо з алгебраїчних функцій, які повинні бути знайомі з попередніх курсів. Ці функції дозволять нам використовувати всі моделі, які були згадані в главі 1. Для цієї таблиці ми будемо вважати, що вхід до функції був збережений в осередку A1.

Алгебраїчна запис	Запис електронної таблиці	Нотатки
$f(x)=\sqrt{2x+7}$	`= КВАДРАТНИЙ (2*А1+7)`	* Необхідний для множення
$f(x)=\sqrt[3]{2x+7}$	`=( 2* А1+7) ^ (1/3)`	інші корені, зроблені як дробові показники
$f(x)=x^4$	`=А1^4`
$f(x)=-x^4$	`=- (А1 ^ 4)`	Excel робить заперечення перед підведенням до степеня
$f(x)=\ln(x)$	`= ЛН (А1)`	Дерев'яна основа$e$ або натуральне колода
$f(x)=\log_{10}(x)$	`= ЖУРНАЛ 10 (А1)`	Підстава колоди 10 або звичайна колода
$f(x)=\log_{2}(x)$	`= ЖУРНАЛ (A1,2)`	Вхід на іншу базу
$f(x)=1.06^x$	`=1.06^ (А1)`
$f(x)=e^x$	`= ВИХІД (А1)`
$f(x)=e^{(-x^2)}$	`=EXP (- (A1^2))`	Дужки, необхідні для правильного оцінювання
$f(x)=\|x\|$	`= АБС (А1)`	Абсолютне значення

Розглянемо функцію попиту і чому вона, ймовірно, не лінійна. Ми очікуємо, що попит зростатиме щоразу, коли ми знижуємо ціну. Однак з лінійною функцією ми отримуємо такий же приріст попиту, скоротивши ціну вдвічі, або якщо з половини ціни віддаємо товар безкоштовно. Більш розумною моделлю може бути функція харчування, де зниження ціни на фіксований відсоток збільшує споживання на фіксований відсоток. Аналогічно, коли ми думаємо про функцію постачання, ми часто очікуємо, що обмеження на доступні матеріали зроблять збільшення пропозиції поступово дорожчим.

Приклад 2.3.1: Експоненціальна ціна попиту та пропозиції.

Малюнок$2.3.2.$ Відео презентація цього прикладу

Нас цікавить продаж штучок. Найбільше споживач заплатить - це 1000 доларів. Якщо ми знизимо вартість на 10%, ми збільшимо попит на 100. Найдешевший, за який продаватиме постачальник, - 200 доларів. Ми знаходимо, що ринок буде виробляти ще 100 штучок щоразу, коли ми збільшуємо ціну на 20%. Знайдіть ринкову рівновагу.

Рішення

Ми починаємо з перетворення нашої інформації про попит та пропозицію в рівняння, підключення рівнянь до Excel та створення графіка. Потім ми використовуємо Goal Seek, щоб знайти, де два рівняння рівні.

\ begin {align*}\ текст {Ціна попиту} (\ текст {кількість})\ amp =1000* (0.9) ^ {(\ текст {кількість} /100)}\\ текст {ціна пропозиції} (\ текст {кількість})\ amp =200* (1.2) ^ {(\ текст {кількість} /100)}\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

$clipboard_e84b05040febbcd495700a5767639a679.png$

Ми бачимо, що рівноважна ціна знаходиться на рівні 554,64 долара. При цій ціні попит і пропозиція становитимуть 559,45.

Приклад 2.3.3: Нелінійні функції з даних.

Малюнок$2.3.4.$ Відео презентація цього прикладу

У нас є наступна таблиця даних про ціну попиту та витрати на наш продукт.

Кількість	100	300	500	1000	1500
Ціна попиту	$35.35	$21.63	$17.25	$12.70	$10.26
Витрати	$2347.67	$5040.00	$7481,67	$12469,67	$16196,00

У нас є підстави вважати, що моя ціна попиту є певною силовою функцією. Наша функція витрат близька до лінійної, але ми можемо отримати знижки за обсягом та зменшити вартість одиниці з більшими кількостями. Таким чином, ми очікуємо, що моя функція витрат насправді квадратична, з квадратичним терміном набагато меншим, ніж лінійний термін. Знайдіть найкраще підходять криві за вартістю та ціною. Вивести функції для отримання доходу і прибутку. Знайдіть точки беззбитковості між 10 і 1500.

Рішення

Я починаю з пошуку найбільш підходящі криві вартості та ціни.

$clipboard_e19654fe9066026d39b056ff85e53a940.png$

Таким чином, ми маємо:

\ begin {вирівнювати*}\ текст {вартість} (q)\ амп =-0,0028q^2+14.353q+968.13\\ текст {ціна} (q)\ амп =286.02 q^ {-0.453}\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Далі ми слідуємо нашим моделям, щоб отримати рівняння доходу та прибутку.

\ begin {align*}\ текст {дохід} (q)\ amp =q*\ текст {ціна} (q) =q 286.02 q^ {-0.453} =286.02 q^ {0.547}\\ текст {прибуток} (q)\ amp =\ текст {дохід} (q) -\ текст {вартість} (q) =286.02 q^ {0.547} +0,0028q 2-14.353q-968.13\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Нарешті, ми завантажуємо ці рівняння назад в Excel і використовуємо Goal Seek, щоб знайти точки беззбитковості. Дивлячись на прогнозований прибуток на графіку, ми бачимо зміну знака близько 1000, тому підозрюємо там точку беззбитковості. Відзначимо також, що прибуток, здається, йде вгору, поки не$q$ складе близько 300, тому я тестую на точку беззбитковості для невеликих значень$q\text{.}$

$clipboard_e20cbb868dec823b07d6915d426652a34.png$

Ми бачимо, що у нас є точки беззбитковості, коли q 12,74 та 996.28.

Переривчасті функції.

Всі перераховані вище функції мають графіки без перерв. У математичному плані вони є неперервними функціями. Коли ми моделюємо явища реального світу, ми також хочемо використовувати функції, які мають розриви в графіку. Фарба зазвичай купується в галонних контейнерах, тому ціна на фарбування кімнати базується на кількості галонів, округлених до наступного цілого числа. Багато підприємств дадуть знижку за обсягом своїм кращим клієнтам, тому існує одна ціна для невеликих кількостей та інша ціна для великих кількостей. Вартість робочої сили змінюється, якщо задіяна оплата понаднормової роботи. У всіх цих випадках графік має розрив в ньому.

Excel має кілька переривчастих функцій, які нам корисні.

Функція	Приклад	Значення	Нотатки
КРУГЛИЙ	КРУГЛИЙ (2.347,1)	2.3	2.35 буде округлено до 2.4
ОКРУГЛИМ ВНИЗ	ОКРУГЛЕНИЙ ВНИЗ (2.99,0)	2.0	0 для цифр округлює до цілих чисел
ОБЛАВА	ОГЛЯД (-2.132,2)	-2.14	Up знаходиться далеко від 0.
СТЕЛЯ	СТЕЛЬОВИЙ (3.14159,1.5)	4.5	Округлює до кратного 1,5
ПІДЛОГИ	ПОВЕРХ (3,14159,2)	2	Округляє до кратного 2.
ЯКЩО	ЯКЩО ($2 \lt 1\text{,}$5,10)	10	Умова помилкова.
ХВ	ХВ (1, 3, 5)	1	Мінімум списку значень.
МАКС	МАКС (1, 3, 5)	5	Максимум списку значень.

Функції ROUND, ROUNDUP та ROUNDDOWN використовуються для округлення. У них є другий аргумент, який вказує кількість цифр, до яких ми округляємо. Слід зазначити, що Excel розуміє вгору і вниз як далеко від нуля для негативних чисел. Таким чином, він буде округлити$-1.5$ до$-2\text{.}$ Функції СТЕЛІ та ПІДЛОГИ також роблять округлення, але з деякими різними особливостями. Замість того, щоб вказувати кількість цифр у відповіді, ці функції округляються до кратного другому аргументу. Як і очікувалося, СТЕЛЯ округляє до наступного більш високого кратного, а FLOOR - до наступного нижнього кратного. $clipboard_e5db48672ae645789f2b39996d683bcea.png$

Малюнок$2.3.5.$ Відео обговорення переривчастих функцій в Excel

Приклад 2.3.6: Сировина в блоках.

Малюнок$2.3.7.$ Відео презентація цього прикладу

Сировина, необхідна для побудови віджетів, продається блоками, які зроблять 100 віджетів. Блок коштує 1000 доларів. Вартість робочої сили для побудови віджета становить 7 доларів. Фіксовані витрати на виробництво віджетів складають 10 000 доларів США. Знайдіть формулу витрат на виробництво віджетів. Знайти вартість виробництва 998 і 1009 віджетів. Ви також повинні знайти вартість одиниці в цих кількостях.

Рішення

Щоб зробити робочий аркуш легше слідувати, ми розбиваємо витрати на три частини, постійні витрати, витрати на робочу силу та витрати на матеріали. Фіксовані узбережжя постійні, а витрати на робочу силу лінійні. Для витрат матеріалів нам потрібно використовувати функцію СТЕЛЯ, щоб округлити кількість віджетів до наступних парних 100, а потім розділити на 100, щоб отримати кількість блоків сировини, яку ми хочемо придбати.

$clipboard_e149a72e067b7586e3101f139676dd3b2.png$

Коли ми дивимося на цифри, то бачимо, що загальна вартість виробництва 998 віджетів становить $26 986, а вартість виробництва 1009 віджетів - $28,063. Коли ми дивимося на одиничні витрати, ми очікуємо, що вартість одиниці, як правило, знизиться, оскільки ми виробляємо більше, оскільки постійні витрати розподіляються на більшу кількість одиниць. Однак вартість одиниці становить 27,04 доларів, коли ми виробляємо 998 віджетів, але це піднімається до $28,81, коли ми робимо 1009 віджетів, оскільки нам довелося купувати ще один блок сировини.

$clipboard_eccf077842916513ed1ec6b62fd569ca9.png$

Команда IF використовується, коли ми використовуємо різні формули для різних випадків. Деякі прості приклади - це оплата за понаднормову роботу, витрати на вигоду та знижка за обсягом. У багатьох робочих ситуаціях працівникам платять одну ставку до певного обсягу роботи і другу ставку за додаткову роботу. Також часто для працівників повний робочий день отримують певні пільги, такі як вихід на пенсію, які не пропонуються працівникам, що працюють на неповний робочий день. Для певних галузей також прийнято пропонувати різні тарифи для своїх найбільших та найкращих клієнтів. Основний синтаксис команди IF такий:

IF (умова тесту, значення, якщо умова істинно, значення, якщо умова помилкова)

Значення для true і false можуть бути числами, рядком або формулами для оцінки.

Приклад 2.3.8: Обчислення оплати понаднормової роботи.

Малюнок$2.3.9.$ Відео презентація цього прикладу

Я бухгалтер в невеликій фірмі. Політика компанії оплачує працівникам півтора часу за роботу більше 40 годин на тиждень. Мені потрібно обчислити тижневу зарплату 5 співробітників. Працівники працювали 35, 42, 43, 38 і 42,5 години. Їх базові ставки оплати були відповідно $8, $9, $10, $11 і $12 на годину. Обчислити заробітну плату за кожного співробітника.

Рішення

При налаштуванні робочого аркуша я буду відокремлювати регулярну оплату від понаднормової оплати. Звичайна оплата - це базова ставка, що складається з відпрацьованих годин, якщо працівник не працював більше 40 годин, і в цьому випадку базова ставка становить 40. Оплата понаднормової роботи - це базова оплата в 1,5 рази більше кількості понаднормових годин. Оскільки понаднормовий час не може бути негативним, ми використовуємо максимум 0 і відпрацьованих годин мінус 40.

$clipboard_e9f1be55f3a3f5600c94a9029e4b1302d.png$

Дивлячись на обчислені значення, працівники заборгували $280, $387, 445, 418 і 525 доларів відповідно.

$clipboard_e28b2e84b01b1f192ed7a90ea77544419.png$

Якщо наші функції перериваються, нам потрібно проявляти трохи обережності з нашими економічними моделями та цікавими моментами, які ми знайшли. Ринкова рівновага і точки беззбитковості - це обидва місця, де дві функції рівні. Коли математика не дає нам чіткої відповіді, ми повинні подумати над проблемою і розглянути, яка відповідь має найбільший сенс. Розглянемо спрощений приклад, щоб проілюструвати суть.

Приклад 2.3.10: Ринкова рівновага з переривчастою ціною пропозиції.

Малюнок$2.3.11.$ Відео презентація цього прикладу

На ринку віджетів пропозиція обмежена. Отримати більше 2 віджетів означає використання більш дорогого процесу. Мої криві попиту та пропозиції:

\ begin {align*}\ текст {ціна попиту} (q) =4-q/2\\ text {ціна пропозиції} (q) =\ begin {випадки} 1q/2+1&q\ le 2\ 1q/2+3&q>2\\\ кінець {випадки}\ текст {.} \ end {вирівнювати*}

Знайдіть ринкову рівноважну ціну.

Рішення

Ми хотіли б знайти місце, де дві криві перетинаються. Однак, коли ми дивимося на графік двох функцій, ми бачимо, що вони ніколи не зустрічаються.

$clipboard_e48cb94683caa08fe4b147d66ebb2fe2d.png$

З графіка зрозуміло, що ринок повинен досягати рівноваги в кількості 2, але незрозуміло, якою має бути рівноважна ціна. Нам потрібно зробити деякі міркування про поведінку, описану рівняннями. З нашої формули ціна постачання 2 віджетів становить $2. Однак якщо ми подивимося на ціни пропозиції$2+h$ для невеликих значень, то$h\text{,}$ побачимо, що межа ціни пропозиції зверху становить 4 долари. На практиці постачальники вироблять 2 віджета за будь-яку ціну від $2 до $4. Якщо ми пропонуємо $2, вони також готові виготовити 2 віджети. Якщо ми пропонуємо ціну 3,95 долара, вони все ще готові виготовити лише 2 віджети. Таким чином, постачальники будуть готові виготовити 2 віджети за ціною $3. Рівноважна ціна - 3.

Якщо ми хочемо подивитися на графік в Excel, корисно побудувати точки дуже близько до розриву з обох сторін. Для цієї проблеми ми могли б подивитися як на 2, так і на 2.0001.

$clipboard_e8da636222f2a8e97b9d3e3656dd8727a.png$

Урок, який слід пам'ятати, полягає в тому, що нам потрібно звернути увагу на місця, де наші функції перериваються, і що нам потрібно зрозуміти, що повинна робити наша економічна модель, коли криві не перетинаються. Наприклад, ми зрозуміємо, що точка беззбитковості - це перша точка, де дохід більше або дорівнює витратам. У безперервному випадку це зводиться до нашого старого визначення.

клас =»

Вправи Вправи 2.3 Нелінійні функції

Для вправи$2.3.1–2.3.5$ наведено рівняння кривих попиту і пропозиції:

Оцініть криві на$q_0\text{.}$
Знайдіть ринкову рівновагу.

Вправа 1:

Дано$\text{supply price}=20*(1.1)^{(q/10)}$ і$\text{demand\ price}=50*(0.95)^{(q/10)}\text{,}$ з$q_0=10\text{.}$

Відповідь: $clipboard_e644b35e2acd7056e0e7c83d0a04891c9.png$

Формули

$clipboard_e755bfdfc957572132b30ef7061b2ac5c.png$

Таблиця

При$q_0=10\text{,}$ пропозиції = 22 долари, а попит = $47,50
Використовуючи Goal Seek, ми бачимо, що рівновага відбувається за ціною 36,29 доларів$q = 62.5$

Вправа 2:

З огляду на поставку$\text{price}=10*(1.05)^{(q/10)}$ і$\text{demand price}=60*(0.96)^{(q/10)}\text{,}$ з$q_0=10\text{.}$

Вправа 3:

Дано$p_s=5 \ln(q+10)$ і$p_d=1000/(q+10)-2\text{,}$ з$q_0=40\text{.}$

Відповідь: $clipboard_eab71ab358904642cd85e7f2975ff46d9.png$

Формули

$clipboard_e50f62962a568c2a019adcb398d20d2b7.png$

Таблиця

$clipboard_eaaf31bf57fd8f8ec65cda24bbac6f2be.png$

Мета Шукати поруч$q=40$

При$q_0=40\text{,}$ пропозиції = $19,56, а попит = $18
Використовуючи Goal Seek, ми бачимо, що рівновага відбувається за ціною 19,25 долара$q = 37$

Вправа 4:

Дано$supply\ price=10 \ln(q+2)$ і$demand\ price=60*(0.90)^{(q/100)}\text{,}$ з$q_0=6000\text{.}$

Вправа 5:

Враховується

\[ \text{supply price}(q)=\begin{cases} 20*(1.1)^{(q/10)}&q \le 50\\ 20*(1.1)^{(q/10)}&q \gt 50\\ \end{cases} \nonumber \]

\[ \text{demand price}(q)=50*(0.095)^{(q/10)}\text{,} \nonumber \]

з$q_0=40\text{.}$

Відповідь

Для цієї проблеми наша функція ціни пропозиції змінюється на$q = 50\text{.}$ Це вказується в таблиці тонкою синьою колонкою.

$clipboard_ec0ba1673b23b7c52700be02abadf0ba6.png$

При$q_0=40\text{,}$ пропозиції = $29,28, а попит = $40,73
Рівновага відбувається десь між$q = 60$ і$q = 70\text{.}$ Використовуючи Goal Seek, ми виявляємо, що рівновага відбувається для$q = 62.43$

Для здійснення$2.3.6–2.3.8$, враховуючи дані попиту та пропозиції:

Знайти найбільш підходящі рівняння кривих попиту і пропозиції, використовуючи припущення, наведені в задачі.
Знайдіть ринкову рівновагу.
Знайдіть прогнозовані ціни попиту та пропозиції на додаткові кількості даних.

Вправа 6:

З огляду на дані

Кількість	100	120	140	160	180	155
Ціна поставки	32	35.5	39	42.6	47
Ціна попиту	47.2	42.5	38.3	34.5	31

і припущення, що ціна пропозиції та ціна попиту є експоненціальними.

Вправа 7:

З огляду на дані

Кількість	5017	5937	7003	8070	9017	9943	7500
Ціна поставки	17.5	19	20.4		23.7	25.1
Ціна попиту	29.6	26.7		21.3	19.2	17.6

і припущення, що ціна пропозиції є лінійною, а ціна попиту є експоненціальною.

Відповідь

$clipboard_e261aea0b840d6064ad6ccde7d92b508b.png$

Використовуючи функцію трендової лінії з Excel, ми отримуємо це
\ почати {вирівнювати*}\ текст {Постачання}\ amp= 0,0015x + 9.7518\\ текст {Попит}\ амп = 50.214e^ {(-0.0001x)}\ текст {.} \ end {вирівнювати*}
Дивіться таблиці нижче.
Дивіться таблиці нижче.

$clipboard_ea4b4e7e71955b891f9014ab5e57cb9ed.png$

Введені формули

$clipboard_e5824dc43e167f2e47884a40fa9065c75.png$

Знаходження всіх величин за допомогою цих формул. Жовті - це ті, які ми шукаємо.

$clipboard_ea1abfcb9ae112a9bea3bddde69f9c19a.png$

Використання Goal Seek для пошуку значень рівноваги в стовпці E

Вправа 8:

З огляду на дані

Кількість	1009	1469	2041	2462	3002	3517	3979	3200
Ціна поставки	98	106	112		120	1231	126
Ціна попиту	160	144		116	102		82

і припущення, що ціна пропозиції є лінійною, а ціна попиту є експоненціальною.

Для вправ$2.3.9–2.3.15$, для заданих функцій:

Дайте команду excel, яка буде виробляти наступну функцію з припущенням, що х знаходиться в комірці A2.
Дайте діаграму значень функції, що оцінюється як x йде від 0 до 100 з кроком 5.
Графік функції.
Список x-значень, де функція є переривчастою. (Там, де граф скаче.)

Вправа 9:

Нехай

\[ f(x)=\begin{cases} \ln(2x)&x \le 50\\ 200\exp(-x/10)&x \gt 50\\ \end{cases}\text{.} \nonumber \]

Відповідь

Команда Excel є = ЯКЩО (A2 < = 50, LN (2* A2), 200* EXP (-A2/10))
Графік виробляється наступним кодом.
$clipboard_edba89a5149714b50fa666bd726982190.png$
Графік буде виглядати наступним чином. Зауважте, що функція не визначена в 0.
$clipboard_e93aff21d54726161e68b2fca2397a9c1.png$
Функція не є безперервною в$x = 50\text{.}$ Примітка, що функція падає з майже 4.5 до приблизно 1 досить раптово.