12.2: ануїтети постійного зростання
- Page ID
- 66694
Багато експертів рекомендують економити близько 10% річного доходу на ваші внески RRSP. Як і більшість людей, коли ви закінчите коледж або університет, ваш роботодавець запропонує вам стартову зарплату, яка, як правило, знаходиться в нижньому кінці їх шкали оплати праці. У більшості компаній ви маєте право отримувати щорічні підвищення відповідно до заздалегідь визначеної структури оплати праці або за допомогою оглядів ефективності. Це являє собою річний дохід, який завжди зростає. Як результат, ваші внески RRSP завжди повинні зростати щорічно.
Всі ануїтетні розрахунки поки дозволили лише фіксовані внески. Більш реалістично, у багатьох фінансових ситуаціях, таких як ваш RRSP, ануїтетні платежі повинні постійно збільшуватися на регулярній основі. Для цієї ситуації потрібно вивчити постійне зростання ануїтетів.
Поняття постійного зростання
Постійний зростання ануїтет - це ануїтет, при якому кожен ануїтетний платіж збільшується на фіксований відсоток. Цифра тут ілюструє початковий внесок у розмірі 1,000 доларів, що зростає на 5% з кожним наступним платежем.
Окрім ваших внесків RRSP, ануїтетні платежі регулярно збільшуються у багатьох ситуаціях:
- Коли ви черпаєте зі своїх пенсійних накопичень, ви повинні збільшувати свої виплати щороку, щоб не відставати від вартості життя. Цей зростаючий попит на ваш пенсійний фонд повинен бути врахований у належному плані заощаджень RRSP.
- Виплати за Канадським пенсійним планом та забезпеченням по старості разом з більшістю пенсійних планів приватних компаній щорічно збільшуються, щоб відповідати темпу інфляції.
Зміна кожного платежу є фіксованим відсотком і, отже, являє собою процентну зміну ануїтетного платежу. Це може бути представлено символом зміни відсотків\(∆\%\), який використовується в розділі 3.1. Ця змінна представляє періодичну зміну відсотків, де період узгоджується з інтервалом оплати. Таким чином, якщо платежі щомісячні, то змінну відсотка зміни потрібно виражати як зміна відсотків на місяць.
Вплив постійного зростання на ануїтетний платіж
Щоб зрозуміти, як постійне зростання впливає на змінну ануїтетних платежів, подивіться, як представлені перші чотири платежі в будь-якому постійному зростанні ануїтету. Нагадаємо в ануїтети, що\(N\) представляє кількість виплат, тому:
\(N = 1\): Перший платіж\(= PMT = PMT(1 + ∆\%)^{N – 1}\) (оскільки\(N = 1\) це дає нульовий показник на зміну відсотків)
\(N = 2\): Другий платіж\(= PMT (1 + ∆\%) = PMT(1 + ∆\%)^{N – 1}\)
\(N = 3\): Третій платіж\(= PMT (1 + ∆\%)(1 + ∆\%) = PMT (1 + ∆\%)^2 = PMT(1 + ∆\%)^{N – 1}\)
\(N = 4\): Четвертий платіж\(= PMT (1 + ∆\%)(1 + ∆\%)(1 + ∆\%) = PMT (1 + ∆\%)^3 = PMT(1 + ∆\%)^{N – 1}\)
Зверніть увагу, що кожен ануїтетний платіж в кінцевому рахунку представлений\(PMT(1 + ∆\%)^{N – 1}\) незалежно від кількості ануїтетних платежів.
Вплив постійного зростання на ануїтетну процентну ставку
Ви повинні скорегувати ануїтетну періодичну процентну ставку, щоб ізолювати зростання ануїтету від відсотків, оскільки зростання ануїтетних платежів вже відображено в\(PMT(1 + ∆\%) ^ {N — 1}\) вище. Протягом будь-якого окремого періоду відсотки складаються за ставкою, розрахованою як\(1 + i\). З іншого боку, внески за той же період часу зростають на\(1 + ∆\%\). Тому відсотки на рахунку ростуть більше, ніж зростання внесків за ставкою, яка обчислюється:
\[\dfrac{(1+i)}{(1+\Delta \%)}-1 \nonumber \]
Для ілюстративних цілей припускають ануїтет з періодичною процентною ставкою 10% і періодичним темпом зростання 5%. Застосовуємо вищевказаний розрахунок:
\[\dfrac{1+0.1}{1+0.05}-1=\dfrac{1.1}{1.05}-1=0.047619 \nonumber \]
Таким чином, кожен період чистого зростання, пов'язаного виключно з відсотками, становить періодичне складання 4,7619%, а не 10%. Ця процентна ставка, яку іноді називають чистою ставкою, повинна замінити періодичну процентну ставку, яку ви використовуєте у всіх ануїтетних формулах.
Формула
Чотири формули майбутньої вартості та теперішньої вартості як звичайних, так і ануїтетних зборів наведені нижче, включаючи концепцію постійного зростання. Зверніть увагу в кожній формулі, що періодична процентна ставка змінюється на чисту ставку. Формула зміни відсотків у знаменнику не вимагає\(\dfrac{CY}{PY}\) показника, оскільки змінна вже виражається в тих же періодичних умовах, що і платежі.
- Формули майбутніх значень. Аннуїтетний платіж модифікований, щоб включити зростання платежів від\(PMT\) до\(PMT(1 + ∆\%)^{N – 1}\), як показано раніше. Перший платіж має нульове зростання, що призводить до того, що показник має один період зростання менше, ніж кількість здійснених платежів.
- Формули теперішніх значень. Повертаючи ануїтет до свого початку, це являє собою 0-й платіж, оскільки перший платіж ще не відбувся. Застосовуючи t\(PMT(1 + ∆\%)^{N – 1}\) формулу\(PMT(1+\Delta \%)^{0-1}=PMT(1+\Delta \%)^{-1}=\dfrac{PMT}{1+\Delta \%}\), яка потім підставляє\(PMT\) в формулу.
Формула майбутньої вартості та значення зростання - 12.1, 12,2, 12,3, 12,4
Зробіть такі примітки щодо змінних:
- \(PMT\). Кожен платіж постійно збільшується в постійному зростанні ануїтету. Тому перший платіж - це чітко ідентифікована вартість. Щоб з'ясувати величину будь-якого іншого платежу, скористайтеся формулою\(PMT(1+\Delta \%)^{N-1}\), як проілюстровано раніше. Наприклад, якщо платіж у розмірі 1000 доларів зростає на 5% і значення 10-го платежу потрібно знати, він розраховується як\(\$ 1,000(1+0.05)^{10-1}=\$ 1,551.33\).
- \(i\). Процентна ставка, отримана за формулою 9.1, конвертується відповідно до інтервалу виплат, якщо це необхідно. Періодична процентна ставка коригується для відображення чистої ставки шляхом її поділу на\(1 + ∆\%\).
- \(∆\%\). Періодична зміна відсотків, що відповідає інтервалу платежів між кожним наступним платежем в ануїтет. Якщо виплати проводяться щоквартально, то потрібно зміна відсотків за квартал. Значення\(∆\%\) в цих формулах обмежується значенням, меншим за еквівалентну періодичну процентну ставку\(i\) (де\(i\) виражається як процентна ставка за інтервал платежу). Ситуації\(\Delta \% \geq(1+i)^{\frac{CY}{PY}}-1\), коли виходять за рамки даного підручника. Якщо\(∆\%\) присвоєно значення 0%, то ці формули повертаються до формул 11.2 до 11.5 відповідно. Отже, формули з глави 11 іноді називають формулами ануїтету з нульовим зростанням і представляють спрощені версії цих повних ануїтетних формул.
Як це працює
Виконайте ті самі кроки, описані для майбутньої вартості у розділі 11.2 та кроки щодо поточної вартості у розділі 11.3. Єдина помітна відмінність полягає в тому, що ви повинні визначити періодичні темпи зростання ануїтетного платежу і, звичайно, використовувати нові Формули 12.1 до 12,4. На малюнку нижче показано типовий графік, коли задіяно постійне зростання. Зверніть увагу на тип ануїтету\(∆\%\) після ануїтету і що тільки один з\(FV_{ORD}\)\(FV_{DUE}\)\(PV_{ORD}\), або\(PV_{DUE}\) коли-небудь з'являється на часовій шкалі.
Найпоширеніші програми, що включають постійне зростання ануїтетів, вимагають від вас розрахувати майбутню вартість, поточну вартість або перший ануїтетний платіж. У перших двох випадках ви використовуєте формули 12.1 до 12.4, щоб вирішити для\(FV\) і\(PV\). Якщо перший ануїтетний платіж є невідомою змінною, ви можете змінити будь-яку з формул 12.1 на 12.4 алгебраїчно, щоб ізолювати за\(PMT\) потребою.
Важливі примітки
Більшість фінансових калькуляторів, включаючи Texas Instruments BAII Plus, не запрограмовані з постійним ростом ануїтетів. Вони призначені тільки для обробки фіксованих платежів ануїтетів.
Тим не менш, в Інтернеті або в ваших показаннях ви можете зустріти методи, які показують вам, як адаптувати вхід калькулятора, щоб «обдурити» калькулятор. Важливо відзначити, що ці методи в цілому складні, що вимагають запам'ятовування безлічі пристосувань і умовних модифікацій. Виходи не обов'язково правильні, якщо вони не будуть додатково адаптовані. В кінцевому рахунку, ці хитрощі не рекомендуються. Цей підручник вирішує постійне зростання ануїтетів тільки за допомогою формул і за допомогою шаблону Excel.
Шляхи до успіху
Хоча вся дискусія йшла про зростання, ви також можете використовувати ці формули в ситуаціях, пов'язаних з постійним скороченням, оскільки вимога\(\Delta \%<(1+i)^{\frac{CY}{PY}}-1\) залишається вірною. Використовуйте від'ємне значення для темпу зростання у всіх розрахунках.
Крім того, якщо ви хочете знати загальну вартість ануїтетних платежів у постійному зростанні ануїтету, ви можете використовувати Формулу 11.2 з кількома адаптаціями:
- Розглядайте перший платіж як суму ануїтетного платежу або\(PMT\).
- Замініть періодичну ставку зростання на еквівалентну періодичну процентну ставку під час встановлення\(CY\) та\(PY\) обидві на 1. Це усуває\(\dfrac{CY}{PY}\) показник.
- Зберегти використання в\(N\) якості кількості платежів.
Таким чином, підстановка і спрощення дає наступний розрахунок:
\[\text { Sum of constant growth payments }=PMT\left[\dfrac{[(1+\Delta \%)]^{\mathrm{N}}-1}{\Delta \%}\right] \nonumber \]
Якщо ануїтетний платіж збільшується на 5 доларів щоразу з $100 до $105 до $110 до $115, чи є це ситуацією постійного зростання?
- Відповідь
-
Ні. Постійне зростання представлено фіксованим відсотковим зростанням, а не фіксованим зростанням доларової суми.
Бредфорду 27 років і починає інвестувати 3,000 доларів на рік у свій RRSP заробляє 9% щорічно. Він вирішує, що щороку буде збільшувати свої внески на 2,5%. Обчисліть значення терміну погашення у віці 65 років як для звичайної ануїтету, так і для ануїтету.
Рішення
Якщо кожен платіж збільшується на фіксований відсоток, то це постійний зростання ануїтету. Обчисліть два значення погашення, один для звичайної ануїтету\(FV_{ORD}\), або, і один для ануїтету належної, або\(FV_{DUE}\).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Існують щорічні внески з річною складною процентною ставкою. Початок платежу створює простий постійний зростання ануїтету за рахунок, тоді як кінцеві платежі створюють звичайний простий постійний зростання ануїтету. Хронологія наведена нижче.
Крок 2:
Обидва ануїтети:\(PV\)\(IY\) = 0$,\(CY\) = 9%, = 1,\(PMT\) = $3,000,\(PY\) = 1, Роки = 38,\(∆\%\) = 2,5%
Як ви туди потрапите
Крок 3:
Застосувати формулу 9.1.
Крок 4:
З\(PV\) = $0 пропустіть цей крок.
Крок 5:
Застосовуйте формулу 11.1 та формули 12.1 та 12.2.
Виконувати
Крок 3:
\(i=9 \% / 1=9 \%\)
Крок 5:
\(N=1 \times 38=38 \text { payments } \)
\[FV_{ORD}=\$ 3,000(1+0.025)^{37}\left[\dfrac{\left [\dfrac{(1+0.09)^{\frac{1}{1}}}{(1+0.025)^{\frac{1}{1}}} \right ]^{38}-1}{\dfrac{(1+0.09)^{\frac{1}{1}}}{(1+0.025)^{\frac{1}{1}}}-1}\right]=\$ 1,102,199.91 \nonumber \]
\[FV_{DUE}=\$ 1,102,199.91 \times(1+0.09)^{\frac{1}{1}}=\$ 1,201,397.90 \nonumber \]
Внески 38 складають загальний внесок у розмірі 186 681,89 доларів США. Значення строку погашення звичайного ануїтету становить $1,102,199.91, а ануїтет до оплати є одним з'єднанням вище на $1,201,397.90.
Скільки грошей потрібно сьогодні для фінансування 10-річної ануїтету, що заробляє 5,6%, що складається щоквартально, де перший щомісячний платіж становитиме 2,000 доларів, а кожен платіж зросте на 0,2%? Розраховують як звичайну ануїтет, так і ренту за рахунок.
Рішення
Якщо кожен платіж збільшується на фіксований відсоток, то це постійний зростання ануїтету. Розрахувати дві основні суми, один для звичайного ануїтету, або\(PV_{ORD}\), і один для ануїтету належної, або\(PV_{DUE}\).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Існують щомісячні виплати з щоквартальною складною процентною ставкою. Початок виплат створюють загальний постійний зростання ануїтету за рахунок, тоді як кінцеві виплати створюють звичайний загальний постійний зростання ануїтету.
Шкала часу відображається нижче.
Крок 2:
Обидва ануїтети:\(FV\)\(IY\) = 0 доларів,\(CY\) = 5,6%,\(PMT\) = 4, = 2000 доларів,\(PY\) = 12, років = 10,\(∆\%\) = 0,2%
Як ви туди потрапите
Крок 3:
Застосувати формулу 9.1.
Крок 4:
З\(FV\) = $0 пропустіть цей крок.
Крок 5:
Застосовуйте формулу 11.1 та формули 12.3 та 12.4.
Виконувати
Крок 3:
\(i=5.6 \% / 4=1.4 \%\)
Крок 5:
\(N=12 \times 10=120 \text { payments } \)
\[ PV_{ORD}=\dfrac{\$ 2,000}{1+0.002}\left[\dfrac{1-\left[\dfrac{(1+0.002)}{(1+0.014)^{\frac{4}{12}}}\right]^{120}}{\dfrac{(1+0.014)^{\frac{4}{12}}}{(1+0.002)}-1}\right]=\$ 205,061.74 \nonumber \]
\[PV_{DUE}=\$ 205,061.7409 \times(1+0.014)^{\frac{4}{12}}=\$ 205,061.7409 \times 1.004645=\$ 206,014.26 \nonumber \]
120 платежів кожен збільшився на 0.2% становить загальну виплату в розмірі $270,944.49. Для фінансування цих виплат звичайний постійний ануїтет зростання вимагає $205,061.74 сьогодні, тоді як постійне зростання ануїтету вимагає трохи більше, дорівнює $206,014.26, оскільки перший платіж знімається негайно.
Після обговорення зі своїм фінансовим радником 28 лютого 2012 року Дженніфер визначила, що їй потрібні 2 мільйони доларів у своєму RRSP, коли вона виходить на пенсію 28 лютого 2015 року. Вона вирішила почати робити щорічні внески до свого RRSP, починаючи з 28 лютого 2013 року, і збільшувати ці внески на 3% щороку. Якщо її РРСП може заробляти 8,5% в сукупності щорічно, в якій сумі вона повинна зробити свій перший внесок?
Рішення
Якщо кожен платіж збільшується на фіксований відсоток, то це постійний зростання ануїтету. Розрахуйте суму її першого ануїтетного платежу (\(PMT\)).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Є щорічні внески в кінці інтервалу з річною складною процентною ставкою. Тому це звичайна проста постійна ростова рента.
Шкала часу відображається нижче.
Крок 2:
\(PV\)= $0,\(FV_{ORD}\) = $2,000,000,\(IY\) = 8,5%,\(CY\) = 1,\(PY\) = 1, років = 39,\(∆\%\) = 3%
Як ви туди потрапите
Крок 3:
Застосувати формулу 9.1.
Крок 4:
З\(PV\) = $0 пропустіть цей крок.
Крок 5:
Застосовуємо Формулу 11.1 і Формулу 12.1. Після того, як ви підставили і спростили цю формулу, переставляйте її на\(PMT\).
Крок 3:
\(i=8.5 \% / 1=8.5 \%\)
Крок 5:
\(N=1 \times 39=39 \text { payments } \)
\[\$ 2,000,000=PMT(1+0.03)^{38}\left[\dfrac{\left[\dfrac{(1+0.085)^{\frac{1}{3}}}{(1+0.05)^{\frac{1}{1}}}\right]^{39}-1}{\dfrac{(1+0.055)^{\frac{1}{1}}}{(1+0.03)^{\frac{1}{1}}}-1}\right] \nonumber \]
\[\$ 2,000,000=PMT(3.074783)\left[\dfrac{6.605154}{0.053398}\right] \nonumber \]
\[\begin{align*} \$ 2,000,000&=PMT(380.340030) \\ \$ 5,258.45&=PMT \end{align*} \nonumber \]
Перший платіж Дженніфер становить $5258.45, а потім збільшується на 3% щороку для її 39 платежів, щоб забезпечити достатню суму капіталу для досягнення її фінансової мети в $2,000,000. Зауважимо, що через округлення першого ануїтетного платежу вона фактично в кінцевому підсумку незначно не дотягує до своєї мети в розмірі 0,97 долара.
