12.1: Відстрочені ануїтети

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66673

Jean-Paul Olivier
Red River College of Applied Arts, Science, & Technology

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Сила складного інтересу, як ви вже переконалися, вражає. Ваші інвестиції реалізують експоненціальне зростання, і протягом тривалих періодів часу результати вражаючі.

Скориставшись цим принципом, багато батьків (і бабусі та дідусі теж) вкладають великі суми грошей, коли їхні діти молоді, щоб мати достатньо грошей, щоб оплатити навчання в коледжі чи університеті. Проста інвестиція в розмірі 10,000 доларів при народженні без додаткових внесків може підтримувати приблизно чотири роки на суму 1200 доларів щомісячних платежів дитині, починаючи з 18 років. Це понад $55,000 на освіту дитини!

Багато студентів зараз залишаються вдома довше зі своїми батьками, поки вони продовжують післядипломну освіту. Деякі накопичують суми багатства в ранньому віці за допомогою заробітку за сумісництвом, коли вони мало або зовсім не мають витрат. Припустимо, 21-річний студент накопичив $50,000 і замість того, щоб використовувати ці гроші на новий автомобіль або рюкзак по всій Європі, вона інвестувала їх у свій RRSP. До 65 років і не вносячи ще копійки, вона могла б мати пенсійний фонд, який підтримує 20 років щомісячного доходу в розмірі 15 000 доларів, або приблизно 3,6 мільйона доларів!

Порівняйте це з тим, хто робить щомісячні платежі в розмірі 300 доларів щомісяця від 21 до 65 років, тому вносячи 528 платежів на загальну суму 158,400 доларів з кишені протягом багатьох років. При рівних умовах ця людина буде отримувати близько $12 000 щомісяця протягом 20 років, або приблизно $2,9 млн. Бачите різницю? Ця людина не тільки вкладає $108 400 більше в RRSP, але отримує на 0,7 мільйона доларів менше доходу під час виходу на пенсію.

Хоча інвестування $50,000 в RRSP замість того, щоб купувати новий автомобіль, не зовсім так сексуально, чи можете ви собі уявити, що ніколи не доведеться вносити свій внесок у свій RRSP знову і бути безпечним у вашій пенсії, перш ніж ви навіть почнете свою кар'єру? Фінансова свобода, яку ви будете відчувати до кінця свого життя, була б завидною.

У цьому розділі досліджується концепція інвестування єдиних платежів сьогодні з метою використання вартості погашення для підтримки ануїтету після цього. Це частіше називають відкладеним ануїтетом.

Що таке відкладений ануїтет?

Відкладений ануїтет - це фінансова операція, де ануїтетні платежі затримуються до певного періоду часу. Зазвичай ануїтет має два етапи, як зображено на цьому малюнку.

$clipboard_e1697da28a992a9dee79252c1cf0edf2c.png$

Стадія накопичення. Допускається одноразовий платіж, щоб заробити відсотки протягом зазначеного терміну. У цей період часу немає ануїтетних виплат, який прийнято називати періодом відстрочки.
Етап платежів. Ануїтет приймає форму будь-якого з чотирьох типів ануїтету і починається на початку цього етапу відповідно до фінансового контракту. Зверніть увагу, що вартість погашення стадії накопичення така ж, як і основна для етапу виплат.

Процентна ставка за відстроченими ануїтетами може бути як змінною, так і фіксованою. Однак, оскільки відкладені ануїтети зазвичай використовуються для задоволення конкретної потреби, фіксовані процентні ставки є більш поширеними, оскільки вони дозволяють забезпечити впевненість у розрахунках.

Формула

Для відкладеної ануїтету ви застосовуєте комбінацію формул, які ви вже використовували протягом цієї книги. Етап накопичення не є ануїтетом, тому він використовує різні формули складного відсотка єдиного платежу з глави 9. Стадія платежів - це ануїтет, тому він використовує різні формули ануїтету з глави 11.

Як це працює

Для відстрочених ануїтетів найбільш поширеними невідомими змінними є або поточна вартість, тривалість періоду відстрочки, сума ануїтетного платежу, або кількість ануїтетних платежів, які є стійкими для виплати фіксованого доходу. Виконайте наступну послідовність кроків для кожної з цих змінних:

Рішення для теперішньої вартості	Рішення за період відстрочки	Рішення щодо суми ануїтетного платежу	Рішення щодо кількості ануїтетних платежів
Крок 1: Намалюйте часову шкалу та визначте змінні, які ви знаєте, разом із типом ануїтету.
Крок 2: Починаючи з кінця вашої шкали часу, обчисліть поточну вартість ануїтету, використовуючи кроки з розділу 11.3 (Формули 11.4 або 11.5). Округлите відповідь до двох десяткових знаків.		Крок 2: Починаючи з початку часової шкали, розрахуйте майбутню вартість єдиного платежу, використовуючи кроки з розділу 9.2 (Формула 9.3). Округліть відповідь до двох десяткових знаків.
Крок 3: Візьміть основну частину ануїтету та, використовуючи кроки з розділу 9.3 (Формула 9.3), розрахуйте поточну вартість для єдиної суми	Крок 3: Вирішіть кількість періодів складання, використовуючи застосовні кроки з розділу 9.7 (Формула 9.3). Інвестиція єдиного платежу - це поточна вартість, а основна частина ануїтету - майбутня вартість.	Крок 3: Розрахуйте суму ануїтетного платежу, використовуючи кроки з розділу 11.4 (Формула 11.4 або 11.5).	Крок 3: Розрахуйте кількість ануїтетних платежів, використовуючи кроки з розділу 11.5 (Формула 11.4 або 11.5).

Важливі примітки

Округлення. Значення строку погашення єдиного платежу або поточна вартість ануїтету завжди округляється до двох десяткових знаків. Оскільки накопичувальний фонд відрізняється від платіжного ануїтету, логістично гроші перераховуються між різними банківськими рахунками, а це означає, що лише два десяткових знака переносяться або вперед, або назад через цей крок необхідних розрахунків.

Речі, на які слід остерігатися

Уникайте цих трьох поширених джерел помилок, коли ви працюєте з відстроченими ануїтетами:

Поєднання періоду відстрочки та терміну ануїтету. Це помилка трактувати період відстрочки і термін ануїтету як одночасні періоди часу. Наприклад, якщо відкладений ануїтет має трирічний період відстрочки і 10-річний термін ануїтету, це іноді інтерпретується, помилково, як ануїтет, що закінчується 10 років з сьогоднішнього дня. Ці часові відрізки є окремими та послідовними на часовій шкалі! Правильне тлумачення полягає в тому, що термін ануїтету закінчується 13 років з сьогоднішнього дня, оскільки 10-річний термін не починається до закінчення трирічної відстрочки.
Неправильний час між етапами. Поширеною помилкою є неправильне визначення, коли закінчується період відстрочки і починається ануїтет. Ця помилка зазвичай є результатом забуття того, що платежі за звичайними ануїтетами починаються один інтервал оплати після початку ануїтету, тоді як аннуїтет належні платежі починаються негайно. Таким чином, якщо перший щоквартальний платіж за звичайною ануїтетом повинен бути виплачений 6¾ років з сьогоднішнього дня, то термін відстрочки становить 6½ року. Якщо відстрочка припадає на належну ануїтет, то термін відстрочки становить 6¾ років.
заплутаний$N$. Відкладений ануїтет вимагає різних розрахунків$N$ використання або Формули 9.2 або Формули 11.1. На етапі накопичення нагадаємо, що$N$ повинно представляти кількість складених періодів, розрахованих за формулою 9.2. На етапі виплат$N$ повинні представляти кількість ануїтетних платежів, розрахованих за формулою 11.1.

Вправа$\PageIndex{1}$: Give It Some Thought

Якщо відстрочена ануїтет має чотирирічний період відстрочки і семирічний термін ануїтету, скільки років з сьогоднішнього дня закінчиться термін ануїтету?
Якщо звичайний відстрочений ануїтет робить свій перший щомісячний платіж через 25 місяців, як довго триває період відстрочки? Що робити, якщо це була відстрочена ануїтет?

Відповідь

11 років
24 місяці; 25 місяців

Приклад$\PageIndex{1}$: Investing an Inheritance for your Retirement

Фрейзер 33 роки і тільки що отримав спадок від маєтку батьків. Сьогодні він хоче вкласти суму грошей, щоб він міг отримувати 5000 доларів наприкінці кожного місяця протягом 15 років, коли він виходить на пенсію у віці 65 років. Якщо він може заробляти 9% щорічно до 65 років, а потім 5% щорічно, коли фонд виплачує, скільки грошей він повинен інвестувати сьогодні?

Рішення

Розрахуйте єдиний платіж, який потрібно інвестувати сьогодні. Це поточна вартість ($PV$) відкладеної ануїтету.

Що ви вже знаєте

Крок 1:

Відстрочена ануїтет має щомісячні платежі в кінці з річною процентною ставкою. Тому це звичайна загальна ануїтет.

Графік відкладеної ануїтету відображається нижче.

$clipboard_e55206423174ac6b3d4c95367ee2716ac.png$

Звичайний загальний ануїтет:$FV$ = $0,$IY$ = 5%,$CY$ = 1,$PMT$ = $5,000,$PY$ = 12, років = 15

Період відстрочки:$FV = PV_{ORD}$,$IY$ = 9%,$CY$ = 1, років = 32

Як ви туди потрапите

Крок 2:

Обчисліть періодичну процентну ставку ($i$, Формула 9.1), кількість ануїтетних платежів ($N$, Формула 11.1) та поточну вартість звичайного загального ануїтету ($PV_{ORD}$, Формула 11.4).

Крок 3:

Знижка основної суми ануїтету назад до сьогоднішнього дня. Обчисліть періодичну процентну ставку ($i$, Формула 9.1), кількість одноразових періодів складених платежів ($N$, Формула 9.2) та поточну вартість одного платежу ($PV$, Формула 9.3 переставлена).

Виконувати

Крок 2:

$i=5 \% / 1=5 \% ; N=12 \times 15=180$платежі

\[PV_{ORD}=\$ 5,000\left[\dfrac{1-\left[\dfrac{1}{(1+0.05)^{\frac{1}{12}}}\right]^{180}}{(1+0.05)^{\frac{1}{12}}-1}\right]=\$ 636,925.79 \nonumber \]

Крок 3:

$i=9 \% / 1=9 \% ; N=1 \times 32=32$сполуки

\[\begin{align*} \$ 636,925.79 &= PV(1+0.09)^{32} \\ PV &= \$ 636,925.79\div(1.09)^{32}\\ &= \$ 40,405.54 \end{align*} \nonumber \]

Інструкції з калькулятора

Етап	Режим	П	В/У	ПВ	PMT	ФВ	П/У	С/У
Платежі	КІНЕЦЬ	180	5	Відповідь: -636,925.79	5000	0	12	1
Накопичення	$\surd$	32	9	Відповідь: 40,405.53861	0	636925.79	1	1

Якщо Фрейзер інвестує $40,405.54 сьогодні, у нього буде достатньо грошей, щоб витримати 180 зняття $5,000 на пенсію.

Приклад$\PageIndex{2}$: Planning the Deferral Period

Башир хоче, щоб ануїтет заробляв 4,3%, складений піврічно, щоб виплачувати йому 2500 доларів на початку кожного місяця протягом 10 років. Щоб досягти своєї мети, наскільки до початку ануїтету Баширу потрібно інвестувати 50 000 доларів на 8,25%, що складаються щоквартально? Припустимо 91 день в кварталі.

Рішення

Розрахуйте кількість часу між сьогоднішнім днем і початком ануїтету. Це період відстрочки, або$N$.

Що ви вже знаєте

Крок 1:

Відстрочений ануїтет має щомісячні платежі на початку з піврічною процентною ставкою. Тому це загальна рента за рахунок.

Графік відкладеної ануїтету відображається нижче.

$clipboard_ed564210c891708ff1cac4b8e30a7dd5e.png$

Загальна ануїтет до сплати:$FV$$IY$ = 0 доларів,$CY$ = 4,3%, = 2,$PMT$ = 2500 доларів,$PY$ = 12, років = 10

Період відстрочки:$PV$ = $50,000,$FV = PV_{DUE}$,$IY$ = 8.25%,$CY$ = 4

Як ви туди потрапите

Крок 2:

Крок 3:

Визначте кількість з'єднань на етапі накопичення. Обчисліть періодичну процентну ставку ($i$, Формула 9.1) з подальшим числом складених періодів разового платежу ($N$, Формула 9.3 переставлена).

Виконувати

Крок 2:

$i=4.3 \% / 2=2.15 \% ; N=12 \times 10=120 $платежі

\[PV_{DUE}=\$ 2,500\left[\dfrac{1-\left[\dfrac{1}{\left.(1+0.0215)^{\frac{2}{12}}\right]}\right.}{(1+0.0215)^{\frac{2}{12}}-1}\right] \times(1+0.0215)^{\frac{2}{12}}=\$ 244,780.93 \nonumber \]

Крок 3:

\[\begin{array}{c}{i=8.25 \% / 4=2.0625 \%} \\ {\$ 244,780.93=\$ 50,000(1+0.020625)^{N}} \\ {4.895618=1.020625^{N}} \\ {\ln (4.895618)=N \times \ln (1.020625)} \\ {\ln (4.895618)=N \times \ln (1.020625)} \\ {\quad N=\dfrac{1.588340}{0.020415}=77.801923 \text { quarterly compounds }} \\ {\text { Years }=77 \div 4=19.25=19 \text { years, } 3 \text { months }} \\ {0.801923 \times 91 \text { days }=72.975105=73 \text { days }}\end{array} \nonumber \]

Інструкції з калькулятора

Етап	Режим	П	В/У	ПВ	PMT	ФВ	П/У	С/У
Платежі	ЛВ	120	4.3	Відповідь: -244,780.9336	2500	0	12	2
Накопичення	КІНЕЦЬ	Відповідь: 77.801924	8.25	-5000	0	244780.93	4	4

Щоб досягти своєї мети, Баширу потрібно інвестувати 50 000 доларів за 19 років, 3 місяці та 73 дні до початку ануїтету.

Приклад$\PageIndex{3}$: How Much Income Will It Provide?

У день народження онуки Анрі та Френсіс внесли 3000 доларів у трастовий фонд для її майбутньої освіти. Фонд заробляє 6% в сукупності щомісяця. Коли їй виповнюється 18 років, вони хочуть, щоб вона здійснювала виплати наприкінці кожного кварталу протягом п'яти років. Якщо дохід ануїтет може заробляти 4,5% в сукупності щоквартально, яка сума кожного ануїтетного платежу внучці?

Рішення

Розрахувати суму ануїтетного платежу ($PMT$) на етапі виплати доходів відстроченого ануїтету.

Що ви вже знаєте

Крок 1:

Відстрочена ануїтет має щоквартальні платежі в кінці з квартальною процентною ставкою. Тому це звичайна проста ануїтет.

Графік відкладеної ануїтету відображається нижче.

$clipboard_e6fbf08de736dd8c0c39f2008d5718bcf.png$

Період відстрочки:$PV$ = $3,000,$IY$ = 6%,$CY$ = 12, років = 18

Звичайний простий ануїтет:$PV_{ORD} = FV$ після$FV$ відстрочки, = 0 доларів,$IY$ = 4,5%,$CY$ = 4,$PY$ = 4, років = 5

Як ви туди потрапите

Крок 2:

Розрахуйте майбутню вартість інвестицій єдиного платежу. Розрахуйте періодичну процентну ставку ($i$, Формула 9.1), кількість складених періодів одноразового платежу ($N$, Формула 9.2) та майбутнє значення єдиної суми платежу ($FV$, Формула 9.3).

Крок 3:

Робота зі звичайною простою рентою. Спочатку розрахуйте періодичну процентну ставку ($i$, Формула 9.1), кількість ануїтетних платежів ($N$, Формула 11.1) і, нарешті, суму ануїтетного платежу ($PMT$, Формула 11.4).

Виконувати

Крок 2:

$i=6 \% / 12=0.5 \% ; N=12 \times 18=216$сполуки

\[FV=\$ 3,000(1+0.005)^{216}=\$ 8,810.30 \nonumber \]

Крок 3:

$i=4.5 \% / 4=1.125 \% ; N=4 \times 5=20 $платежі

\[\$ 8,810.30=PMT\left[\dfrac{1-\left[\dfrac{1}{(1+0.01125)^{\frac{4}{4}}}\right]^N}{(1+0.01125)^{\frac{4}{4}}-1}\right] \nonumber \]

\[PMT=\dfrac{\$ 8,810.30}{\left [\dfrac{1-\left[\dfrac{1}{(1+0.01125)^{\frac{4}{4}}}\right]^N}{(1+0.01125)^{\frac{4}{4}}-1} \right ]}= \dfrac{\$ 8,810.30}{\dfrac{0.200480}{0.01125}} = \$494.39 \nonumber \]

Інструкції з калькулятора

Етап	Режим	П	В/У	ПВ	PMT	ФВ	П/У	С/У
Платежі	КІНЕЦЬ	216	6	-3000	0	Відповідь: 8,810.297916	12	12
Накопичення	$\surd$	20	4.5	-8810.30	Відповідь: 494.392721	0	4	4

Внучка отримає $494,39 наприкінці кожного кварталу протягом п'яти років, починаючи з 18 років. Оскільки платіж округляється, то самий останній платіж являє собою трохи іншу суму, яку можна було б точно визначити за допомогою методик, розглянутих в розділі 13.

Приклад$\PageIndex{4}$: How Long Can the Annuity Be Sustained?

Еміль отримав сьогодні одноразовий бонус у розмірі 25 000 доларів від свого роботодавця, і він відразу ж інвестував його на 8%, що збільшується щорічно. Через чотирнадцять років він планує зняти 2300 доларів на початку кожного місяця, щоб використовувати як свій пенсійний дохід. Якщо ануїтет доходу може заробляти 3.25% в сукупності півроку, який термін ануїтету до його виснаження (включаючи менший остаточний платіж)?

Рішення

З'ясувати, як довго ануїтет доходу здатний витримати виплати доходу. Для цього потрібно розрахувати кількість ануїтетних платежів, або$N$.

Що ви вже знаєте

Крок 1:

Графік відкладеної ануїтету відображається нижче.

$clipboard_ede22d5c2959abdc756061ce93745b2b7.png$

Період відстрочки:$PV$ = $25,000,$IY$ = 8%,$CY$ = 1, років = 14

Загальна ануїтет до оплати:$PV_{DUE} = FV$ після$FV$ відстрочки, = 0 доларів,$IY$ = 3,25%,$CY$ = 2,$PMT$ = 2,300 доларів,$PY$ = 12

Як ви туди потрапите

Крок 2:

Розрахуйте майбутню вартість єдиного депозиту. Розрахуйте періодичну процентну ставку ($i$, Формула 9.1), кількість складених періодів одноразового платежу ($N$, Формула 9.2) та майбутнє значення єдиної суми платежу ($FV$, Формула 9.3).

Крок 3:

Робота з загальною рентою до сплати. Розрахуйте періодичну процентну ставку ($i$, Формула 9.1) і кількість ануїтетних платежів ($N$, Формула 11.5 переставлена для$N$). Нарешті підставляємо в ануїтетні платежі Формулу 11.1 вирішити за роки.

Виконувати

Крок 2:

$i=8 \% / 1=8 \% ; N=1 \times 14=14 $сполуки

\[FV=\$ 25,000(1+0.08)^{14}=\$ 73,429.84 \nonumber \]

Крок 3:

$i=3.25 \% / 2=1.625 \%$

\[\$ 73,429.84=\$ 2,300\left[\dfrac{1-\left[\dfrac{1}{(1+0.01625)^{\frac{2}{12}}}\right]^N}{(1+0.01625)^{\frac{2}{12}}-1}\right] \times(1+0.01625)^{\frac{2}{12}} \nonumber \]

\[\begin{array}{l}{31.840361=\dfrac{1-0.997317^{N}}{0.002690}} \\ {0.085656=1-0.99730} \\ {\ln (0.997317)=N \times \ln (0.914343)} \\ {N=33.332019=34 \text { payments }} \\ {34=12 \times \text { Years }}\end{array} \nonumber \]

\[\text { Years }=2.8 \overline{3}=2 \text { years, } 10 \text { months } \nonumber \]

Інструкції з калькулятора

Етап	Режим	П	В/У	ПВ	PMT	ФВ	П/У	С/У
Платежі	КІНЕЦЬ	14	8	-25000	0	Відповідь: 73 429.84061	1	1
Накопичення	ЛВ	Відповідь: 33.33 2019	3.25	-73429.84	2300	0	12	2

Ануїтет триватиме 2 роки та 10 місяців до виснаження.

Автори та атрибуція

Template:ContribBusiMathOlivier

Вправа\(\PageIndex{1}\): Give It Some Thought

Приклад\(\PageIndex{1}\): Investing an Inheritance for your Retirement

Приклад\(\PageIndex{2}\): Planning the Deferral Period

Приклад\(\PageIndex{3}\): How Much Income Will It Provide?

Приклад\(\PageIndex{4}\): How Long Can the Annuity Be Sustained?