10.5: Застосування - інфляція, купівельна спроможність та темпи змін
- Page ID
- 66836
Наскільки інфляція врізається в доходи і багатство людей? У 1955 році середній канадський робітник заробив річну валову зарплату близько $2,963.1 До 2010 року середній канадський працівник приніс додому річний валовий заробіток приблизно $44,366.2 Чи означає це, що канадці сьогодні в 15 разів багатші, ніж наші бабусі і дідусі? З попередніх обговорень у розділі 4.3 про інфляцію, реальний дохід та купівельну спроможність, ви вже можете сказати, що ми це не так. Фактичне збільшення - щось менше, ніж в 15 разів. Але наскільки це менше?
Щоб відповісти на питання, ви повинні висловити обидва доходи з прив'язкою до одного і того ж року. Або конвертувати дохід 1955 року в еквівалент 2010 року, або навпаки. На допомогу, що робити, якщо вам скажуть, що рівень інфляції з 1955 по 2010 рік становив в середньому 3,91% 3% на рік? Для перетворення ви можете використовувати або метод зміни відсотків, або метод реального доходу. Кожен з них створює проблеми, хоча:
• Щоб використовувати формулу зміни відсотків з розділу 3.1, вам доведеться застосувати її 55 разів поспіль! Зрозуміло, що це недоцільно.
• Щоб використовувати формулу реального доходу з розділу 4.3, вам знадобляться номери індексів споживчих цін за обидва роки. Розташування значень ІСЦ може зайняти багато часу, особливо протягом багатьох років у далекому минулому. Ще одне ускладнення полягає в тому, що якщо ви хочете проектувати майбутні цінності (наприклад, еквівалентний дохід, скажімо, у 2020 році замість 2010 року), значення ІСЦ не існує протягом майбутніх років.
Повинно бути простіший шлях! У цьому розділі ви побачите, як адаптувати концепції та формули складних відсотків відповідно до таких додатків, як інфляція, купівельна спроможність і навіть зміна відсотків.
Інфляція
Інфляція - це загальний висхідний рух цін на продукцію в економіці. Вимірюється позитивною зміною індексу споживчих цін. Історичні темпи інфляції в Канаді проілюстровані на малюнку нижче.
Зауважимо, що історично ціни завжди зростали в довгостроковій перспективі. Однак у короткостроковій перспективі були періоди, протягом яких ціни рухалися вниз. Це відомо як дефляція, яка вимірюється негативною зміною індексу споживчих цін. Такі періоди дефляції зазвичай тривають не дуже довго; найдовший зафіксований період припав на період Великої депресії. Зовсім недавно дефляція сталася протягом декількох місяців в 2009 році.
Інфляція найчастіше виражається як річна ставка; отже, ви розглядаєте її математично як щорічно збільшену процентну ставку. Це номінальна процентна ставка (\(IY\)) з частотою складання одиниці, або\(CY\) = 1. Зверніть увагу, що якщо дефляція сталася протягом розглянутого періоду часу, процентна ставка є негативним числом. Якщо у вас є низка темпів інфляції, ви розглядаєте це як змінну процентну ставку. Якщо ви знаходите середній рівень інфляції протягом деякого періоду часу, ви ставитеся до цього як до пошуку еквівалентної фіксованої процентної ставки. Використовуючи складні процентні формули, призначте теперішнє значення будь-якому початковому значенню в задачі під рукою, тоді як майбутнє значення є будь-яким кінцевим значенням. Кількість періодів компаундирования (\(N\)) все ще відображає кількість сполук між двома значеннями.
Як це працює
Ви можете використовувати будь-яку з формул і прийомів з глави 9 для роботи з інфляцією. Вступний приклад доходів в 1955 і 2010 роках проілюструє процеси.
Рішення для майбутньої цінності
Якщо невідома змінна є кінцевим значенням, застосовують Формулу 9.3, вирішуючи для майбутнього значення. Якщо застосовується тільки один рівень інфляції (фіксована ставка), для цього потрібно лише одне застосування формули. Якщо рівень інфляції змінюється з плином часу, ви застосовуєте формулу кілька разів або скористаєтеся швидким методом розрахунку:
\[FV=PV \times\left(1+i_{1}\right)^{N_{1}} \times\left(1+i_{2}\right)^{N_{2}} \times \ldots \times\left(1+i_{n}\right)^{N_{n}} \nonumber \]
У прикладі можна було перенести дохід 1955 року на 2010 рік. У цьому випадку\(PV\) = 2 963$,\(IY\) = 3,91%,\(CY\) = 1, і\(N\) = 55. При фіксованій процентній ставці застосуйте Формулу 9.3 і розрахуйте\(FV = $2,963(1 + 0.0391)^{55} = $24,427.87\). Таким чином, еквівалентний дохід 2010 року 1955 становить приблизно $24,427. Зверніть увагу, що фактичний дохід 2010 року приблизно на 81% вище, що означало б, що канадці дійсно стали багатшими.
Рішення для теперішньої вартості
Якщо невідома змінна є початковим значенням, застосуйте Формулу 9.3, переставляючи на теперішнє значення. Залежно від того, чи є рівень інфляції фіксованим або змінним, вирішуйте за допомогою тієї ж техніки, що і для майбутньої вартості. У прикладі можна було перенести дохід 2010 року на 1955 рік. У цьому випадку\(FV\) = $44,366,\(IY\) = 3,91%,\(CY\) = 1, і\(N\) = 55. При фіксованій процентній ставці застосуйте Формулу 9.3, переставляючи для\(PV\), і порахуйте\(PV\) = $44,366 ÷ (1 + 0,0391) 55 = $5381,41. Таким чином, еквівалентний дохід 1955 року становить приблизно $5381. Зверніть увагу, що цей дохід на той же відсоток (81%) перевищує фактичний дохід 1955 року, як ви виявили за першим методом.
Рішення для ставки
Якщо середній рівень інфляції є невідомою змінною, то початкове і кінцеве значення es повинні бути відомі. У прикладі припустимо, що середній рівень інфляції невідомий, але відомі еквівалентні доходи\(PV\) = $2963 в 1955 році і\(FV\) = $24,427,87 в 2010 році. The\(CY\) = 1 і\(N\) = 55 років. Застосування формули 9.3 призводить в\(\$24,427.87 = \$2,963(1 + i)^{55}\). Вирішуючи за\(i\) вас отримаєте 3.91%. Це середній рівень інфляції (так як\(CY\) = 1, то\(i = IY\)).
Рішення за термін
Якщо невідомою змінною є проміжок часу між початковим і кінцевим значеннями, знову застосуйте Формулу 9.3 і переставляйте для\(N\). У прикладі припустимо, що початкові і кінцеві значення\(PV\) = $2963 в 1955 році і\(FV\) = $24,427,87 відомі, але рік для майбутньої вартості невідомий. The\(IY\) = 3,91% і\(CY\) = 1. Застосування формули 9.3 дає вам\(\$24,427.87 = $2,963(1 + 0.0391)^N\). Рішення для\(N\) дає 55 років. Стартовий рік 1955 + 55 років - це кінцевий 2010 рік, в якому застосовується еквівалентний дохід у розмірі 24 427.87 доларів США.
Важливі примітки
Ваш калькулятор BAII Plus
Кнопки тимчасової вартості грошей призначені для фінансових розрахунків і вимагають від вас дотримуватися грошового потоку w підписати конвенцію в будь-який час. Пам'ятайте, що ця конвенція вимагає, щоб гроші, які залишають вас, вводяться як негативне число, а гроші, отримані вами, вводяться як позитивне число.
Коли ви адаптуєте цю функцію до економічних розрахунків, таких як інфляція, гроші не інвестуються або отримуються - цифри переміщуються в часі. Щоб дотримуватися вимоги калькулятора конвенції про знак грошового потоку, переконайтеся, що знаки, прикріплені до теперішнього (\(PV\)) та майбутніх значень (\(FV\)), протилежні. Вибір того, який позитивний, а який негативний, є довільним і не впливає на результат розрахунку. Ігноруйте знак грошового потоку, який відображається на будь-яких рішеннях.
Багато експертів сьогодні стверджують, що середньостатистичному канадському пенсіонеру в 2012 році потрібно приблизно $40,000 валового річного доходу, щоб вийти на пенсію комфортно. Припустимо, що вам 20 років у 2012 році. Історично в Канаді рівень інфляції склав в середньому 3,16%. Якщо середній рівень інфляції збережеться в майбутньому, який валовий дохід вам буде потрібно при виході на пенсію в 65 років?
Рішення
Обчисліть кінцеве значення (\(FV\)) для вашого річного валового доходу, коли ви виходите на пенсію у віці 65 років.
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Справжня вартість, фіксований рівень інфляції та часові рамки відомі, як показано на часовій шкалі.
Роки = 45
Як ви туди потрапите
Крок 2:
З а\(CY\) = 1, то\(i = IY\).
Крок 3:
Застосовуйте формулу 9.2 для обчислення кількості періодів складання.
Крок 4:
Розрахуйте майбутнє значення, застосувавши Формулу 9.3.
Виконувати
Крок 2:
\(i\)= 3,16%
Крок 3:
\(N\)= 1 × 45 = 45
Крок 4:
\(FV = \$40,000(1 + 0.0316)^{45} = \$162,207.15\)
| П | В/У | ПВ | PMT | ФВ | П/У | С/У |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 45 | 3.16 | -40000 | 0 | Відповідь: 160,798.0247 | 1 | 1 |
Коли ви виходите на пенсію в 2057 році, якщо інфляція продовжує в середньому 3,16% щорічно, на думку експертів, ваш річний валовий дохід повинен становити 162 207,15 доларів, щоб вам було комфортно жити.
Інструкції Excel
Відкрийте шаблон Excel під назвою «Розділ 9: Шаблон окремих платежів та складних відсотків».
Купівельна спроможність
Нагадаємо з розділу 4.3, що купівельна спроможність долара - це сума товарів і послуг, які можна обміняти на долар. Купівельна спроможність має зворотний зв'язок з інфляцією. Коли відбувається інфляція і ціни зростають, ваша купівельна спроможність знижується.
Формула
У формулі, введеній у розділі 4.3, знаменник використовував ІСЦ для відображення зміни цін на продукцію. У додатках на складні відсотки ви замість цього використовуєте рівень інфляції, як показано у Формулі 10.2.
Як це працює
Виконайте наступні дії, щоб вирішити питання купівельної спроможності за допомогою складних відсотків:
Крок 1: Визначте рівень інфляції (\(IY\)), сукупність на рівень інфляції (\(CY\)) та термін (Роки). Зазвичай,\(i = IY\) і\(N\) = Роки; однак, застосуйте Формулу 9.1 і Формулу 9.2, якщо вам потрібно обчислити\(i\) або\(N\).
Крок 2: Застосуйте формулу 10.2, вирішуючи за купівельну спроможність долара.
На прикладі доходу визначте, як змінилася купівельна спроможність фізичної особи з 1955 по 2010 рік. Нагадаємо, що середня інфляція за цей період склала 3,91% на рік.
Крок 1: The\(IY\) = 3,91%,\(CY\) = 1, а Роки = 55. Річна ставка дозволяє\(i\) = 3,91% і\(N\) = 54.
Крок 2: З формули 10.2,\(PPD=\dfrac{\$ 1}{(1+0.0391)^{55}} \times 100=12.1296 \%\). Як груба інтерпретація, це означає, що якби хтось міг придбати 100 предметів із 100 доларів у 1955 році, той самий 100 доларів придбав би лише близько 12 тих самих предметів у 2010 році.
Речі, на які слід остерігатися
Визначте, яке саме питання задається вам розрахувати щодо купівельної спроможності долара.
- Якщо питання запитує: «Яка купівельна спроможність долара?» то ваша відповідь - результат Формули 10.2.
- Якщо питання запитують: «Як знизилася ваша купівельна спроможність?» то ваша відповідь 100% мінус результат Формули 10.2.
Дуже важливо планувати при вирішенні цих питань, щоб ваше рішення відповідало поставленому питанню.
Яка купівельна спроможність вашого долара, якщо ціни на продукцію:
- Подвійний?
- Потрійний?
- Чотиримісний?
- Відповідь
-
- 1/2 = 50%
- 1/3 =\(3.3\bar{3}\%\)
- 1/4 = 25%
Історичні темпи інфляції в Канаді становили 3,13% з червня 2007 року по червень 2008 року, − 0,26% з червня 2008 року по червень 2009 року та 0,96% з червня 2009 року по червень 2010 року. Порівнюючи червень 2007 до червня 2010 року, яка купівельна спроможність долара 2007 року в 2010 році?
Рішення
Розрахуйте купівельну спроможність долара 2007 (\(PPD\)) в 2010 році.
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Рівень інфляції та терміни відомі, як показано на часовій шкалі.
\(CY\)(для кожного часового відрізка) = 1, Термін (для кожного часового відрізка) = 1 рік
Як ви туди потрапите
Крок 1 (продовження):
Визначте періодичну процентну ставку (\(i\)) і кількість з'єднань (\(N\)) для кожного часового сегмента. З\(CY\) = 1, потім\(i = IY\) і\(N\) = Роки.
Крок 2:
Застосовуємо Формулу 10.2, підставивши змінну версію процентної ставки в знаменник.
Виконувати
Крок 1 (продовження):
\(i_1\)= 3.13%,\(i_2\) = − 0.26%,\(i_3\) = 0.96%;\(N_1, N_2, N_3\) = 1
Крок 2:
\ [\ почати {вирівняний}
PPD &=\ dfrac {\ $1} {(1+0.0313)\ раз (1-0.0026)\ раз (1+0,0096)}\ раз 100\\
&= 96.2933\%
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]
Інструкції з калькулятора
| Часовий відрізок | П | В/У | ПВ | PMT | ФВ | П/У | С/У |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3.13 | Відповідь: 0.969649 | 0 | -1 | 1 | 1 |
| 2 | \(\surd\) | -0.26 | Відповідь: 0.972177 | \(\surd\) | -0.969649 | \(\surd\) | \(\surd\) |
| 3 | \(\surd\) | 0,96 | Відповідь: 0.962933 | \(\surd\) | -0.972177 | \(\surd\) | \(\surd\) |
Купівельна спроможність долара червня 2007 року в червні 2010 року становить 96,2933%. Якщо 100 доларів у червні 2007 року можна було придбати 100 предметів, то в червні 2010 року 100 доларів могли придбати лише близько 96 предметів.
Курси змін
Нагадаємо з розділу 3.1, що ви могли б обчислити процентну зміну між Старим і Новим числами. Хоча ця формула добре працює, коли ви зацікавлені лише в одновідсотковій зміні, вона стає трудомісткою і нудною, коли ви працюєте з низкою відсотків змін. Наприклад, припустимо, що\(TSX\) має значення 12 000. \(TSX\)Потім падає на 4% щомісяця протягом п'яти місяців, а потім підвищується на 4% щомісяця протягом п'яти місяців. Що таке «Нове» значення для\(TSX\)? Це не 12,000! Якщо ви використовуєте формулу для зміни відсотків, вам потрібна серія з 10 обчислень, які вирішують для «Нового» кожного разу - один розрахунок на кожен місяць! Не дуже весело. Математично, в ряду процентних змін кожна зміна сполучається на попередній. Таким чином, ви можете використовувати складні процентні формули для роботи з будь-якою серією процентних змін.
Формула
Ви можете вирішити будь-яку серію процентних змін, застосувавши адаптовану версію Формули 9.3 для змінних процентних ставок:
Як це працює
Виконайте наступні дії, щоб адаптувати формулу 9.3 для програм процентних змін:
Крок 1: Призначте або «Старе» значення,\(PV\) або «Нове» значення\(FV\) (залежно від того, яке ви знаєте).
Крок 2: Визначте серію змін відсотків (\(i_1\)через\(i_n\)) і скільки разів поспіль відбувається кожне значення зміни відсотків (\(N_1\)через\(N_n\)). Пам'ятайте, що зменшення - це негативні значення.
Крок 3: Застосуйте адаптовану версію Формули 9.3, вирішуючи для будь-якого\(FV\) або\(PV\).
Як приклад, дізнайтеся нове значення для\(TSX\) заснованого на стартовому значенні 12 000 зі зменшенням на 4% протягом п'яти місяців з подальшим збільшенням на 4% протягом п'яти місяців.
Крок 1: Значення «Старе»\(PV\) = 12,000.
Крок 2: Перша зміна — зменшення на 4%, або\(i_1\) = − 4%. Відбувається вона п'ять місяців поспіль, таким чином\(N_1\) = 5. Далі збільшення на 4%, або\(i_2\) = 4%, також відбувається п'ять місяців поспіль, таким чином\(N_2\) = 5.
Крок 3: Використовуйте формулу 9.3 для розрахунку\(FV = 12,000 × (1 − 0.04)^5 × (1 + 0.04)^5 = 11,904.31\). Значення «Нове»\(TSX\) після 10 місяців зміни становить 11,904,31.
Важливі примітки
Ви можете використовувати свій фінансовий калькулятор f або ці нефінансові розрахунки так само, як і для інфляції. Ви повинні слідувати конвенції про грошовий потік, гарантуючи, що\(PV\) і\(FV\) мають протилежні ознаки. Однак зайвий раз знаки не мають ніякого сенсу в цих розрахунках.
Речі, на які слід остерігатися
Коли ви працюєте зі змінними темпами інфляції, купівельною спроможністю долара або курсами змін, ви можете спростити змінні ставки в єдину фіксовану ставку за допомогою геометричного середнього, перш ніж застосовувати складну формулу відсотків. Наприклад, використовуючи\(TSX\) приклад вище, геометричне середнє значення 10 місяців зміни становить:
\[GAvg =\left [\sqrt[10]{(1-0.04)^{5} \times(1+0.04)^{5}}-1 \right] \times 100=-0.080032 \% \nonumber \]
Використовуючи це розрахункове значення як періодичну процентну ставку та підставляючи формулу 9.3, виробляє:
\[FV = 12,000 × (1 − 0.00080032)^{10} = 11,904.31\nonumber \]
Аналогічно, ви можете вирішити приклад\(\PageIndex{2}\) з цим підходом. Деякі студенти виявили цю техніку простішою, ніж працювати зі змінними ставками. У будь-якому випадку, незалежно від того, чи використовуєте ви змінні ставки або геометричне середнє як фіксовану ставку, обидва методи дають одне і те ж рішення.
Якщо кількість зменшується,\(x\%\) а потім збільшується на той самий відсоток, чому ви не прийдете до початкової кількості як ваше «Нове» значення?
- Відповідь
-
Початкове зменшення зробить базове число менше. Якщо нове базове число потім збільшується на той самий відсоток, цей відсоток визначається з меншої бази. Це не дасть такого ж значення, як зменшення.
Місто Ванкувер відстежує зайнятість у своєму районі Metro Core. У 1971 році приблизно 45 000 працівників у районі Metro Core були класифіковані як «професійні та комерційні працівники». З 1971 по 1981 рік кількість робітників зростала приблизно на 4,5% на рік. З 1981 по 1991 рік темпи зростання становили близько 3,1% на рік, а з 1991 по 2001 рік темпи зростання становили близько 1,5% на рік.4 Округлено до найближчої тисячі, скільки людей було зайнято в галузі «професійних та комерційних послуг» у районі Metro Core Ванкувера в 2001 році?
Рішення
Ви шукаєте «Нове» значення (\(FV\)) кількості працівників після 30 років процентних змін.
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Початкове значення та структура послідовності процентних змін відомі, як показано на часовій шкалі.
Як ви туди потрапите
Крок 2:
Захоплення значень\(i_n\) і\(N_n\) для кожного послідовного значення зміни відсотків. Зверніть увагу, що часова шкала має три часові відрізки, тому кожна змінна має три значення.
Крок 3:
Застосувати формулу 9.3.
Виконувати
Крок 2:
\[i_{1}=4.5 \%, N_{1}=10, i_{2}=3.1 \%, N_{2}=10, i_{3}=1.5 \%, N_{3}=10 \nonumber \]
Крок 3:
\ [\ почати {вирівняний}
&FV = 45 000\ разів (1+0,045) ^ {10}\ раз (1+0,031) ^ {10}\ раз (1+0,015) ^ {10}\
&FV = 45 000 разів 1,045^ {10}\ раз 1.031^ {10}\ раз 1.015^ {10}\\
&FV = 45 000 разів 1.552969\ раз 1,357021\ раз 1,160540 = 110,058 = 110,000
\ кінець { вирівняні}\ nonumber\]
Інструкції з калькулятора
| Часовий відрізок | П | В/У | ПВ | PMT | ФВ | П/У | С/У |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 4.5 | -45000 | 0 | Відповідь: 69,883.62398 | 1 | 1 |
| 2 | \(\surd\) | 3.1 | -69 883 62398 | \(\surd\) | Відповідь: 94,833.56372 | \(\surd\) | \(\surd\) |
| 3 | \(\surd\) | 1.5 | -94 833,56372 | \(\surd\) | Відповідь: 110,058.2223 | \(\surd\) | \(\surd\) |
З 1971 по 2001 рік кількість працівників у сфері «професійних та комерційних послуг» у районі Metro Core Ванкувера зросла з 45 000 до 110 000.
Посилання
- Статистичне управління Канади, «Середній річний, щотижневий і погодинний заробіток, чоловіки і жінки заробітку, обробна промисловість, Канада, 1934 до 1969,» адаптовані з серії E60—68, www.statcan.gcc.ca/pub/11-516-x/секція/E60 _68eng.csv, доступ 28 липня 2010.
- Статистика Канади, «Заробіток, середній тиждень, за провінціями та територіями» адаптовано з таблиці CANSIM 281-0027 та Каталог № 72-002-X, www40.statcan.gc.ca/ l01/cst01 /labr79-eng.htm, доступ до серпня 11, 2011.
- Статистичне управління Канади, «Індекси споживчих цін для Канади, щомісяця, 1914—2012 (серія V41690973)»; всі значення, засновані на травні кожного року; www.bankofcanada.ca/ставки/пов'язані/інфляції-калькулятор/? page_moved=1, доступ 26 листопада 2012 року.
- Місто Ванкувер, «Зміна зайнятості в метро Core,» Листопад 22, 2005, http://s3.amazonaws.com/zanran_stora...es/7116122.pdf, доступ до серпня 20, 2013