10.2: Заява - Довгострокові векселі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 66839

Jean-Paul Olivier
Red River College of Applied Arts, Science, & Technology

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Як працюють всі ці плани «не платять до...»? Індустрія роздрібної торгівлі переповнюється планами фінансування, спеціально розробленими для залучення клієнтів до придбання товарів в кредит. Більшість цих пропозицій включають такі терміни, як «немає грошей вниз» і «немає платежів протягом х місяців». Ви можете знайти ці плани у більшості роздрібних продавців меблів, таких як The Brick та Leon, електронні роздрібні торговці, такі як Best Buy, поряд з багатьма іншими закладами, включаючи ювелірні магазини та центри сну.

Але чи замислювалися ви коли-небудь, як це працює на стороні бізнесу? Якби кожен клієнт придбав товари за цими планами, які не вимагають грошей, як би роздрібний торговець залишався у бізнесі? Наприклад, можливо, клієнти The Brick купують меблі в січні 2014 року, які їм не доведеться платити до січня 2016 року. Протягом цих двох років The Brick не отримує оплату за продану продукцію; однак він заплатив своїм постачальникам за товар. Як роздрібний торговець може залишатися в бізнесі, поки він чекає всіх цих відкладених платежів?

Споживачі, як правило, не читають дрібний шрифт на своїх контрактах з цими роздрібними торговцями. Мало хто споживачі розуміють, що роздрібні торговці часто продають ці контракти (іноді відразу) для фінансування компаній, з якими вони співпрацювали. Поки споживач не бачить помітної різниці, за лаштунками рітейлер отримує сьогодні готівку в обмін на право стягнути платіж в майбутньому, коли контракт стане належним. Таким чином фінансова компанія стає відповідальною за стягнення по кредиту споживачеві.

У цьому розділі представлена математика, що стоїть за продажем векселів між компаніями. Нагадаємо з розділу 8.4, що вексель, частіше званий купюрою, є письмовим борговим інструментом, в якому детально описується обіцянка покупця сплатити вказану суму продавцю в заздалегідь визначений і обумовлений час. Якщо борг дозволяє накопичувати відсотки, то її називають процентним векселем. Якщо резерву на відсотки немає, то його називають безвідсотковим векселем. Процентні нотатки розглядаються в цьому розділі, а непроцентні нотатки розглядаються в наступному розділі. Коли векселі тривають більше одного року, вони передбачають складні відсотки замість простих відсотків.

Процентні векселі

Коли ви берете участь в акціях «не платити до.», Ви створюєте вексель, в якому обіцяєте оплатити свої товари протягом зазначеного часового інтервалу. Ці акції зазвичай несуть 0% відсотків, якщо вони сплачуються до зазначеного терміну, тому ноти є безвідсотковими векселями. Однак несплата купюри до встановленого терміну перетворює ноту на відсоткову купюру, для якої відсотки мають зворотну силу до дати продажу, як правило, за дуже високою ставкою відсотків, наприклад 21%.

Математика процентних векселів стосується в першу чергу продажу довгострокових векселів між організаціями. Коли купюра продається, компанія, яка купує її (як правило, фінансова компанія), купує вартість погашення купюри, а не принципала купюри. Для фінансової компанії угода - це інвестиція, від якої вона має намір отримати прибуток за рахунок різниці між вартістю строку погашення та ціною покупки. Таким чином, фінансова компанія знижує вартість погашення купюри, використовуючи облікову ставку, яка дозволяє їй інвестувати меншу суму грошей сьогодні, щоб отримати більшу суму грошей у майбутньому. Компанія, що продає купюру, готова взяти меншу суму грошей, щоб перевести в готівку свою дебіторську заборгованість і виключити ризик невиконання зобов'язань по боргу.

Як це працює

Нагадаємо, що в простих відсотках продаж короткострокових векселів передбачає три етапи. Ви використовуєте ту саму послідовність трьох кроків для довгострокових складних процентних векселів. На довгострокові векселі триденний пільговий період не потрібно, тому термін погашення купюри збігається з юридичною датою виконання купюри.

Крок 1: Намалюйте часову шкалу, подібну до тієї, що на наступній сторінці, деталізуючи оригінальний вексель та продаж купюри.

$clipboard_e0831a05178313cc38d3afc4a38d42f05.png$

Крок 2: Візьміть початковий основний капітал на дату випуску та визначте майбутню вартість ноти у зазначений термін, використовуючи заявлену процентну ставку, прикріплену до нотатки. Оскільки більшість довгострокових векселів мають фіксовану процентну ставку, це передбачає розрахунок майбутньої вартості за формулою 9.3.

Розрахуйте періодичну процентну ставку за формулою 9.1,$i=\dfrac{1 Y}{C Y}$.
Обчисліть кількість періодів складання між датою випуску та датою виконання за допомогою Формули 9.2,$N = CY × \text {Years}$.
Вирішіть для майбутнього значення за допомогою Формули 9.3,$FV=PV\left(1+i\right)^N$.

Крок 3: Використовуючи дату продажу, дисконтуйте вартість строку погашення купюри, використовуючи нову обумовлену процентну ставку дисконтування для визначення виручки від продажу. Найчастіше обговорювана ставка дисконтування є фіксованою ставкою і передбачає розрахунок поточної вартості за формулою 9.3.

Розрахуйте нову періодичну процентну ставку за формулою 9.1,$i=\dfrac{1 Y}{C Y}$.
Обчисліть кількість періодів компаундирования між датою продажу купюри і терміном погашення за формулою 9.2,$N = CY × \text {Years}$. Не забудьте використовувати$CY$ для облікової ставки, а не$CY$ для початкової процентної ставки.
Вирішіть для теперішнього значення за допомогою формули 9.3$FV=PV\left(1+i\right)^N$, переставляючи для$PV$.

Припустимо, що трирічний вексель у розмірі 5,000 доларів США з 9% складеними щомісячними відсотками продається фінансовій компанії за 18 місяців до закінчення терміну за обліковою ставкою 16%, що складається щоквартально.

$clipboard_e4200e59fedb1888468a80131716efa74.png$

Крок 1: Хронологія праворуч ілюструє ситуацію.

Крок 2а: Періодична процентна ставка по$i$ купюрі = 9% /12 = 0,75%.

Крок 2b: Термін становить три роки з щомісячним складанням, в результаті чого$N$ = 12 × 3 = 36.

Крок 2c: Вартість погашення ноти$FV$ = $5,000 (1 + 0,0075) 36 = $6,543,23.

Крок 3а: Тепер продайте записку. Періодична ставка$i$ дисконтування = 16% /4 = 4%.

Крок 3b: Час до закінчення терміну становить 1½ року при щоквартальному складанні. Кількість періодів складання N = 4 × 1½ = 6.

Крок 3c: Виручка від продажу купюри становить$\$6,543.23 = PV(1 + 0.04)^6$, де PV = $5,171.21. Фінансова компанія купує купюру (інвестує в ноту) за $5171,21. Через вісімнадцять місяців, коли купюра виплачується, вона отримує $6543.23.

Важливі примітки

Припущення, що стоїть за триетапною процедурою продажу довгострокового векселя, полягає в тому, що процес починається з видачі векселя і закінчується виручкою від продажу. Однак математично ви можете розглядати будь-яку частину угоди як невідому. Наприклад, можливо, відомі деталі оригінальної купюри, відома пропозиція фінансової компанії на дату продажу, але потрібно розраховувати квартальну дисконтну ставку, яка використовується фінансовою компанією.

Найкраща стратегія в будь-якому з цих сценаріїв завжди полягає в тому, щоб виконати крок 1 і створити часову шкалу. Визначте відомі змінні для візуалізації процесу, а потім розпізнайте будь-яку змінну, що залишилася невідомою. Маючи на увазі, як працює продаж векселя, ви можете адаптувати триетапну процедуру векселя, використовуючи будь-яку з методів, розглянутих у розділі 9. Деякі приклади цих адаптацій включають наступне:

Дисконтована ставка невідома. Виконуйте кроки 1 і 2 нормально. На кроці 3 вирішуйте для i (тоді$IY$) замість$PV$.
Оригінальний принципал записки невідомий. Виконайте крок 1 нормально. Працюйте з кроком 3, але$FV$ вирішуйте замість$PV$. Потім працюйте з кроком 2 і вирішуйте$PV$ замість$FV$.
Тривалість часу, за якою дата продажу передує даті погашення, невідомий. Виконуйте кроки 1 і 2 нормально. На кроці 3$N$ вирішуйте замість$PV$. Як бачите, три кроки завжди залишаються недоторканими. Однак вам може знадобитися змінити кроки 2 і 3 або обчислити іншу невідому змінну.

Речі, на які слід остерігатися

При роботі зі складними відсотковими довгостроковими векселями найпоширеніші помилки стосуються вартості строку погашення та двох процентних ставок.

Значення терміну погашення. Пам'ятайте, що компанія, яка купує купюру, купує вартість строку погашення купюри, а не її принципал на дату випуску. Будь-яка вексельна ситуація завжди передбачає термін погашення векселя на його термін.
Дві процентні ставки. Продаж передбачає дві процентні ставки: процентну ставку, прив'язану до самої купюри, та процентну ставку (дисконтну ставку), яка використовується компанією-покупцем для придбання купюри. Не варто плутати ці дві норми.

Приклад$\PageIndex{1}$: Proceeds on an Interest-Bearing Note

Jake's Fine Jewelers продав діамантове обручку клієнту за $4,479,95 і створили вексель в рамках однієї з його акцій 1 січня 2014 року. Примітка вимагає 6% збільшених піврічних відсотків і підлягає погашенню 1 січня 2017 року. 1 жовтня 2015 року Jake's Fine Jewellers потребував грошей і продав записку фінансовій компанії з дисконтною ставкою 11%, що збільшується щоквартально. Які виручка від продажу?

Рішення

Знайдіть виручку від продажу для Jake's Fine Jewellers жовтня 1, 2013. Це поточна вартість примітки ($PV$) на основі вартості погашення та ставки дисконтування.

Що ви вже знаєте

Крок 1:

Дата випуску, дата погашення, основна сума, процентна ставка на купюрі, дата продажу та ставка дисконтування відомі, як показано на часовій шкалі.

$clipboard_e297a2948e7b6207f6c33862de98c3ade.png$

Як ви туди потрапите

Крок 2а:

Працюючи з самим векселем, розраховуйте періодичну процентну ставку, застосовуючи Формулу 9.1.

Крок 2b:

Обчисліть кількість складених періодів за формулою 9.2.

Крок 2c:

Обчисліть вартість погашення купюри за формулою 9.3.

Крок 3а:

Працюючи з продажем купюри, розраховуйте дисконтну періодичну процентну ставку, застосовуючи Формулу 9.1.

Крок 3b:

Обчисліть кількість складених періодів, що протікають між продажем і терміном погашення. Використовуйте формулу 9.2.

Виконувати

Крок 2а:

\[IY=6 \%, CY=2, i=6 \% / 2=3 \% \nonumber \]

Крок 2b:

Роки = 1 січня 2017 − 1 січня 2014 року = 3 роки,$N$ = 2 × 3 = 6

Крок 2c:

\[\begin{aligned} PV&=\$ 4,479.95\\ FV&=\$ 4,479.95(1+0.03)^{6}=\$ 5,349.29 \end{aligned} \nonumber \]

Крок 3а:

\[IY=11 \%, CY=4, i=11 \% / 4=2.75 \% \nonumber \]

Крок 3b:

Роки = 1 січня 2017 − 1 жовтня 2015 року = 1¼ років,$N$ = 4 × 1¼ = 5

Крок 3c:

\[\begin{aligned} \$ 5,349.29 &=PV(1+0.0275)^{5} \\ PV &=\dfrac{\$ 5,349.29}{1.0275^{5}}\\ &=\$ 4,670.75 \end{aligned} \nonumber \]

Інструкції з калькулятора

Частина	П	В/У	ПВ	PMT	ФВ	П/У	С/У
зрілість	6	6	-4479.95	0	Відповідь: 5 349.294586	2	2
Розпродаж	5	11	Відповідь: -4,670.753954	$\surd$	5349.29	4	4

Прекрасні ювеліри Джейка зробили продаж за $4,479.95 на 1 січня 2014 року. З 1 жовтня 2015 року він отримує $4670,75 в якості виручки від продажу фінансовій компанії. Фінансова компанія тримає ноту до погашення і отримує $5349.29 від клієнта.

Приклад$\PageIndex{2}$: Finding an Unknown Discount Rate

Дворічний вексель на суму $6,825 із відсотками у розмірі 12% щомісяця продається за шість місяців до погашення фінансовій компанії за виручку в розмірі 7 950,40 доларів. Яку піврічну збільшену облікову ставку використовувала фінансова компанія?

Рішення

Розрахуйте піврічну складну узгоджену ставку$IY$ дисконтування (), яка використовується фінансовою компанією при придбанні купюри.

Що ви вже знаєте

Крок 1:

Термін, основний капітал, процентна ставка векселя, дата продажу та сума виручки відомі, як показано на часовій шкалі.

$clipboard_e4d884b2d9844fc5b0caa4f41c186debd.png$

Як ви туди потрапите

Крок 2а:

Працюючи з самим векселем, розраховуйте періодичну процентну ставку, застосовуючи Формулу 9.1.

Крок 2b:

Обчисліть кількість складених періодів за формулою 9.2.

Крок 2c:

Обчисліть вартість погашення купюри за формулою 9.3.

Крок 3а:

Зверніть увагу$CY$ на ставку дисконтування.

Крок 3b:

Обчисліть кількість складених періодів, що протікають між продажем і до погашення. Використовуйте формулу 9.2.

Крок 3c:

Розрахуйте періодичну ставку дисконтування, яка використовується фінансовою компанією, застосувавши Формулу 9.3 і переставляючи для$i$. Потім підставити в Формулу 9.1 і переставити для$IY$.

Виконувати

Крок 2а:

\[IY=12 \%, CY=12, i=12 \% / 12=1 \% \nonumber \]

Крок 2b:

Років = 2,$N$ = 12 × 2 = 24

Крок 2c:

\[PV=\$ 6,825.00, FV=\$ 6,825.00(1+0.01)^{24}=\$ 8,665.94 \nonumber \]

Крок 3а:

$CY$= 2

Крок 3b:

Роки = 6 місяців = ½ року,$N$ = 2 × ½ = 1

Крок 3c:

Вирішити для$i$:

\[\begin{aligned} \$ 8,665.94&=\$ 7,950.40(1+i)^1 \\ 1.090000&=1+i \\ i&=0.090000 \end{aligned} \nonumber \]

Вирішити для$IY: 0.090000 = IY \div 2$

$IY$= 0,180001 або 18.0001%, що складаються півроку (швидше за все 18%; різниця обумовлена похибкою округлення)

Інструкції з калькулятора

Частина	П	В/У	ПВ	PMT	ФВ	П/У	С/У
зрілість	24	12	-6825	0	Відповідь: 8,665.938976	12	12
Дисконтна ставка	1	Відповідь: 18.0001	-7950.40	$\surd$	8665.94	2	2

Продаж векселя базується на вартості погашення 8,665,94 доларів США. Фінансова компанія використовувала дисконтну ставку 18%, що складається піврічно, щоб отримати виручку в розмірі 7 950,40 доларів.

Безвідсоткові векселі

Простий вексель, що не несе відсотків, передбачає або дійсно 0% відсотків, або ще, що вже включає фіксовану комісію або ставку в межах номіналу купюри. Тому основна сума та сума погашення векселя однакові.

Як це працює

Безвідсоткова купюра спрощує розрахунки, пов'язані з векселями. Замість того, щоб виконувати розрахунок майбутньої вартості основної суми на кроці 2, ваш новий крок 2 передбачає прирівнювання поточної вартості та вартості погашення до тієї ж суми ($PV = FV$). Потім ви переходите до кроку 3.

Припустимо, що трирічний безвідсотковий вексель у розмірі 5,000 доларів продається фінансовій компанії за 18 місяців до встановленого терміну за дисконтною ставкою 16%, що складається щоквартально.

$clipboard_ea9ee622f40e44fca766fa635156d0d40.png$

Крок 1: Хронологія проілюстрована тут.

Крок 2: Вартість погашення ноти через три роки така ж, як і основна, або$FV$ = $5,000.

Крок 3а: Тепер продайте записку. Періодична ставка$i$ дисконтування = 16% /4 = 4%.

Крок 3b: Час до закінчення терміну становить 1½ року при щоквартальному складанні. Кількість періодів складання дорівнює$N$ = 4 × 1½ = 6.

Крок 3c: Виручка від продажу купюри становить$\$5,000 = PV(1 + 0.04)^6$, або PV = $3,951,57. Фінансова компанія купує купюру (інвестує в ноту) за 3 951,57 доларів. Через вісімнадцять місяців, коли купюра виплачується, вона отримує 5000 доларів.

Вправа$\PageIndex{1}$: Give It Some Thought

Якщо непроцентна купюра продається іншій компанії за обліковою ставкою, чи є виручка від продажу більше, дорівнює або менше купюри?

Відповідь: Менше, ніж записка. Вартість строку погашення дисконтується до дати продажу.

Приклад$\PageIndex{3}$: Selling a Noninterest-Bearing Long-Term Promissory Note

П'ятирічний безвідсотковий вексель на суму 8 000 доларів був випущений 23 червня 2011 року. Планується продати купюру за дисконтною ставкою 4,5%, що складається піврічно 23 грудня 2015 року. Розрахуйте очікувані виручки по купюрі.

Рішення

Що ви вже знаєте

Крок 1:

Основна сума, що не відповідає відсоткам на примітці, дата випуску, термін виконання, ставка дисконтування та дата продажу відомі, як показано на часовій шкалі.

$clipboard_e485a38db8eae19179fa9a6d5ce57e2fc.png$

Як ви туди потрапите

Крок 2:

Прирівняйте$FV$ ноту до принципалу ноти.

Крок 3а:

Працюючи з продажем купюри, розраховуйте дисконтну періодичну процентну ставку, застосовуючи Формулу 9.1.

Крок 3b:

Крок 3c:

Розрахувати виручку від продажу можна за формулою 9.3, переставляючи для$PV$.

Виконувати

Крок 2:

$FV = PV$= $8,000

Крок 3а:

\[IY=4.5 \%, CY=2, i=4.5 \% / 2=2.25 \% \nonumber \]

Крок 3b:

Роки = 23 червня 2017 − 23 грудня 2015 року = 1½ років,$N$ = 2 × 1½ = 3

Крок 3c:

\[\begin{aligned} \$ 8,000 &=PV(1+0.0225)^{3} \\ PV &=\dfrac{\$ 8,000}{1.0225^{3}}\\ &=\$ 7,483.42 \end{aligned} \nonumber \]

Інструкції з калькулятора

П	В/У	ПВ	PMT	ФВ	П/У	С/У
6	4.5	Відповідь: -7 483.418564	0	8000	2	2

Очікувана виручка становить 7 483,42 доларів на 23 грудня 2015 року, а вартість погашення склала 8 000,00 доларів на 23 червня 2017 року.

Автори та атрибуція

Template:ContribBusiMathOlivier

Приклад\(\PageIndex{1}\): Proceeds on an Interest-Bearing Note

Приклад\(\PageIndex{2}\): Finding an Unknown Discount Rate

Вправа\(\PageIndex{1}\): Give It Some Thought

Приклад\(\PageIndex{3}\): Selling a Noninterest-Bearing Long-Term Promissory Note