8.2: Переміщення грошей за участю простих відсотків
- Page ID
- 66757
Чи можете ви розрахувати суму грошей, необхідну для досягнення майбутньої мети? Припустимо, ви закінчите коледж з дипломом ділового адміністрування протягом декількох місяців і вже зареєструвалися у вашому місцевому університеті, щоб продовжити навчання до ступеня бакалавра комерції. Ви оцінюєте загальну вартість навчання, збори та підручники в $8,000. Дослідивши деякі короткострокові інвестиції, ви виявите, що найкраща проста процентна ставка, яку можна отримати, становить 4,5%. Скільки грошей ви повинні інвестувати сьогодні, щоб вони росли з відсотками до необхідних грошей за навчання?
У попередньому розділі ви розраховували суму відсотків, зароблених або нарахованих за інвестицією або позикою. Хоча це число добре знати, більшу частину часу інвестори цікавляться виключно тим, скільки в цілому, включаючи як основний капітал, так і відсотки, або заборговані, або збережені. Також для розрахунку суми відсотків у Формулі 8.1 необхідно знати основну суму. Коли люди планують майбутнє, вони знають майбутню суму грошей, яка їм потрібна, але не знають, скільки грошей вони повинні інвестувати сьогодні, щоб досягти цієї мети. Це так у вступному прикладі вище, тому вам потрібна додаткова техніка для обробки простих відсотків.
У цьому розділі досліджується, як розрахувати основну суму та відсотки разом в одному розрахунку. Це додає гнучкості з'ясувати, скільки грошей є на початку періоду часу, поки ви знаєте значення в кінці, або навпаки. Таким способом можна вирішити практично будь-яку просту ситуацію з інтересами.
Вартість погашення (або майбутня вартість)
Вартість погашення угоди - це сума грошей, що утворилася в кінці угоди, сума, яка включає як відсотки, так і основну суму разом. Це називається значенням строку погашення, оскільки у фінансовому світі припинення фінансової операції відоме як «погашення» угоди. Сума основного боргу з відсотками в певний момент в майбутньому, але не обов'язково в кінці угоди, відома як майбутня вартість.
Формула
Для будь-якої фінансової операції, пов'язаної з простими відсотками, справедливо наступне:
\[\text{Amount of money at the end }=\text{ Amount of money at the beginning }+\text{ Interest}\nonumber \]
Застосовуючи алгебру, можна підсумувати цей вираз наступним рівнянням, де майбутнє значення або значення зрілості зазвичай позначається символом\(S\):
\[S=P+I\nonumber \]
Підставляючи у формулу 8.1\(I = Prt\), виходить рівняння
\[S=P+Prt\nonumber \]
Спростіть це рівняння шляхом факторингу\(P\) праворуч, щоб прийти до Формули 8.2.
Залежно від фінансового сценарію, яку інформацію ви знаєте, і яку змінну потрібно обчислити, вам може знадобитися друга формула, що пропонує альтернативний метод розрахунку простої суми відсотків в доларах.
Як це працює
Виконайте наступні дії при роботі з разовими платежами, пов'язаними з простими відсотками:
Крок 1: Формула 8.2 має чотири змінні, будь-які три з яких ви повинні визначити, щоб працювати з одним платежем, що включає прості відсотки.
- Якщо\(P\) або\(S\) відсутній, але\(I\) відомо, застосуйте Формулу 8.3, щоб визначити невідоме значення.
- Якщо\(I\) відома лише сума відсотків і\(P\) ні не\(S\) визначена, нагадайте, що процентна сума є частиною і що процентна ставка є продуктом ставки та часу (наприклад, 6% щорічно протягом дев'яти місяців - це зароблена процентна ставка 4,5%). Застосовуйте формулу 2.2 на ставку, порцію та базу для вирішення бази, яка є поточною вартістю або\(P\).
- При необхідності намалюйте часову шкалу, щоб проілюструвати, як гроші рухаються через час.
Крок 2: Переконайтеся, що проста процентна ставка та часовий період виражені загальною одиницею. Якщо ні, вам потрібно перетворити одну з двох змінних для досягнення спільності.
Крок 3: Застосуйте формулу 8.2 та вирішіть для невідомої змінної, маніпулюючи формулою за потребою.
Крок 4: Якщо вам потрібно розрахувати суму відсотків, застосовуйте Формулу 8.3.
Припустимо, що сьогодні у вас є 10 000 доларів, які ви збираєтеся інвестувати під 7% простих відсотків протягом 11 місяців. Скільки грошей у вас буде в цілому в кінці 11 місяців? Скільки відсотків ви заробляєте?
Крок 1: Основна сума полягає в тому\(P = \$10,000\), що проста процентна ставка становить 7% на рік\(r= 0.07\), або, а час -\(t = 11\) місяці.
Крок 2: Час у місяцях, але щоб відповідати ставці, його потрібно щорічно виражати як\(t=\dfrac{11}{12}\).
Крок 3: Застосовуючи формулу 8.2 для обчислення майбутньої вартості, включаючи відсотки,
\(S=\$ 10,000 \times(1+0.07 \times)=\dfrac{11}{12}\$ 10,641.67\). Це загальна сума після 11 місяців.
Крок 4: Застосування формули 8.3 для розрахунку зароблених відсотків,\(I=\$ 10,641.67-\$ 10,000.00=\$ 641.67\). Ви також можете застосувати Формулу 8.1 для розрахунку суми відсотків; однак, Формула 8.3 набагато простіша у використанні. The $10,000 заробляє $641.67 в простих відсотках протягом наступних 11 місяців, в результаті чого $10,641.67 в цілому.
Речі, на які слід остерігатися
Як і у випадку з Формулою 8.1, найпоширенішою помилкою у застосуванні Формули 8.2 є неможливість забезпечити вираження швидкості та часу в однакових одиницях. Перш ніж приступити, завжди перевіряйте ці дві змінні!
Шляхи до успіху
При вирішенні Формули 8.2 для швидкості або часу, як правило, простіше використовувати Formula 8.3 і Formula 8.1 замість. Виконайте наступні дії, щоб вирішити для швидкості або часу:
- Якщо вам надали як поточну, так і майбутню вартість, застосуйте Формулу 8.3 для розрахунку суми відсотків (\(I\)).
- Застосуйте та переставте формулу 8.1, щоб вирішити або швидкість, або час, як потрібно.
У кожній з наступних ситуацій визначте, яке твердження є правильним.
- Якщо у вас є майбутня вартість $5,000 і відсотки беруть участь, то ваша поточна вартість
- Більше $5,000
- Те ж саме
- Менше $5,000
- Якщо у вас був основний капітал $10,000, заробляючи 10% простих відсотків за будь-який період менше року, ви заробляєте
- Більше $1,000 відсотків
- Рівно $1,000 відсотків
- Менше $1,000 відсотків
- Якщо ви взяли кредит на $2500 під 5% просту процентну ставку протягом півроку і ви не зробили ніяких платежів протягом цього періоду, ви повинні
- Більше $2,500
- Рівно $2,500
- Менше $2,500
- Відповідь
-
- Менше $5,000. При нарахуванні або отриманні відсотків поточна вартість завжди менше майбутньої вартості.
- Менше ніж 1,000 доларів. The $10,000 заробляє рівно $1,000 відсотків на рік, тому будь-який часовий проміжок менше року виробляє меншу суму відсотків.
- Більше $2500. Коли нараховуються відсотки, майбутня вартість завжди більша за поточну вартість
Ви тільки що успадкували $35,000 від маєтку вашого дядька і плануєте придбати будинок чотири місяці з сьогоднішнього дня. Якщо ви використовуєте свою спадщину в якості першого внеску на будинок, скільки ви зможете покласти, якщо ваші гроші заробляють 4¼ простих відсотків? Скільки відсотків ви заробили?
Рішення
Розрахуйте суму грошей через чотири місяці, включаючи як основний капітал, так і зароблені відсотки. Це значення зрілості (\(S\)). Також розрахуйте зароблені відсотки (\(I\)).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Відомі основний капітал, процентна ставка та часові рамки:\(P = \$35,000, r = 4¼\%\) на рік,\(t = 4\) місяці
Як ви туди потрапите
Крок 2:
Поки ставка щорічна, час - в місяцях. Перетворіть час на річне число.
Крок 3:
Застосувати Формулу 8.2.
Крок 4:
Застосовуйте формулу 8.3 для розрахунку суми відсотків.
Виконувати
Крок 2:
Чотири місяці з 12 місяців в році\(t=\dfrac{4}{12}\)
Крок 3:
\[S=\$ 35,000 \times\left(1+4\dfrac{1}{4} \% \times \dfrac{4}{12}\right)=\$ 35,000 \times(1+0.0425 \times 0 . \overline{3})=\$ 35,495.83 \nonumber \]
Крок 4:
\[I = \$35,495.83 − \$35,000.00 = \$495.83 \nonumber \]
Через чотири місяці ви будете мати $35,495.83 в якості початкового внеску до вашого будинку, який включає в себе $35,000 в основному і $495.83 відсотків.
Нагадаємо, розділ відкривачка, де восени вам знадобилося $8,000 для навчання, а найкраща проста процентна ставка, яку ви могли знайти, склала 4,5%. Припустимо, у вас є вісім місяців, перш ніж вам потрібно оплатити навчання. Скільки грошей потрібно вкласти сьогодні?
Рішення
Обчисліть основну суму грошей сьогодні (\(P\)), що ви повинні інвестувати таким чином, що він буде заробляти відсотки і в кінцевому підсумку на $8,000, необхідних для навчання.
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Майбутнє значення, процентна ставка та часовий період відомі:\(S = \$8,000, r = 4.5\%\) на рік,\(t = 8\) місяці
Як ви туди потрапите
Крок 2:
Поки ставка щорічна, час - в місяцях. Перетворіть час на річне число.
Крок 3:
Застосувати Формулу 8.2, переставляючи для\(P\).
Виконувати
Крок 2:
Вісім місяців з 12 місяців в році\(t=\dfrac{8}{12}\)
Крок 3:
\[\begin{aligned} &\$ 8,000=P\left(1+4.5 \% \times \dfrac{8}{12}\right)\\ &P=\dfrac{\$ 8,000}{(1+0.045 \times 0.\overline {6})}=\$ 7,766.99 \end{aligned} \nonumber \]
Якщо ви розмістите $7,766.99 в інвестиції, вона зросте до $8,000 за вісім місяців.
Ви сидите в офісі у вашій місцевій фінансовій установі 4 серпня. Співробітник банку каже вам: «Ми зробимо вам багато чого. Якщо ми просунемо цю кредитну лінію, і ви сьогодні займете 20 000 доларів, коли ви хочете погасити цей баланс 1 вересня, вам доведеться заплатити нам лише 20 168.77 доларів, що не набагато більше!» Перш ніж відповісти, ви вирішуєте оцінити твердження. Розрахуйте просту процентну ставку, яку співробітник банку використовував в своїх розрахунках.
Рішення
Визначте процентну ставку, яку ви б стягували за вашою кредитною лінією, або\(r\).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Основна сума, сума погашення та терміни відомі: з 4\(P = $20,000.00, S = $20,168.77, t =\) серпня по 1 вересня
Як ви туди потрапите
Крок 1 (продовження):
Розрахуйте кількість днів у транзакції.
Крок 2:
Оскільки процентні ставки зазвичай виражаються щорічно, перетворіть час від днів до річного числа.
Крок 3:
Використовуйте комбінацію Формули 8.3 і Формули 8.1. Спочатку розрахуйте суму відсотків, використовуючи формулу 8.3.
Крок 3 (продовження):
Потім застосуйте Формулу 8.1, переставляючи для\(r\).
Виконувати
Крок 1 (продовження):
| Дата початку | Дата закінчення | Дні між датами |
|---|---|---|
| Серпень 4 | 31 серпня | 31− 4 = 27 |
| 31 серпня | 1 вересня | 1 − 0 = 1 |
| ВСЬОГО | 27+ 1 = 28 днів | |
Крок 2:
28 днів з 365 днів у році\(t=\dfrac{28}{365}\)
Крок 3:
\[I = \$20,168.77 − \$20,000.00 = \$168.77 \nonumber \]
Крок 3 (продовження):
\[r=\dfrac{\$ 168.77}{\$ 20,000.00 \times \dfrac{28}{365}}=0.110002 \text { or } 11.0002 \% \nonumber \]
Інструкції з калькулятора
Припустімо рік 2011 і скористайтеся функцією DATE:
| ДТ1 | DT2 | ДБД | Режим |
|---|---|---|---|
| 08.0411 | 09.01.11 | Відповідь: 28 | АКТ |
Процентна ставка по запропонованій кредитній лінії становить 11,0002% (зверніть увагу, що це, ймовірно, рівно 11%; зайві 0,0002%, швидше за все, обумовлені округленою сумою відсотків, використовуваної при розрахунку).
Еквівалентні платежі
Життя буває. Іноді кращі закладені фінансові плани йдуть невиконаними. Можливо, ви втратили роботу. Можливо, безрозсудний водій підсумовував ваш транспортний засіб, який ви тепер повинні замінити за рахунок, який ви повинні боротися, щоб вписатися у ваш бюджет. Незалежно від причини, ви опинитеся не в змозі здійснити платіж заборгованості, як обіцяли.
З позитивного боку, можливо, ви просто отримали велику спадщину несподівано. Що робити, якщо ви купили скретч-квиток і щойно виграли 25 000 доларів? Тепер, коли у вас є гроші, ви, можливо, захочете погасити цей борг достроково. Чи можна це зробити?
Будь то запізнення або дострокова оплата, будь-яка сплачена сума повинна бути еквівалентною початковому фінансовому зобов'язанню. Як ви дізналися, при переміщенні грошей в майбутнє накопичуються прості відсотки. Коли ви переміщаєте гроші в минуле, з грошей необхідно зняти прості відсотки. Цей принцип поширюється як на дострокові, так і прострочені платежі:
- Прострочення платежів. Якщо борг виплачується несвоєчасно, то має бути накладено справедливе по відношенню до обох залучених сторін фінансове стягнення. Цей штраф повинен відображати поточну процентну ставку та додаватися до початкового платежу. Припустимо, ви заборгували 100 доларів своєму другові і що справедлива поточна ставка простих відсотків становить 10%. Якщо ви сплачуєте цей борг на рік із запізненням, то слід додати штраф за прострочення відсотків 10% у розмірі 10 доларів США, що робить ваш платіж заборгованості $110. Це нічим не відрізняється від того, що ваш друг отримує сьогодні 100 доларів і інвестує його сам під 10% відсотків, щоб він накопичився до 110 доларів за один рік.
- Дострокові платежі. Якщо борг виплачується достроково, повинен бути якийсь фінансовий стимул (інакше навіщо морочитися?). Тому процентна вигода, яка відображає поточну процентну ставку на достроковий платіж, повинна бути віднімана з початкового платежу. Припустимо, ви зобов'язані своєму другові $110 через рік і що справедлива поточна ставка простих відсотків становить 10%. Якщо ви платите цей борг сьогодні, то 10% достроковий відсоток вигоди в розмірі $10 повинні бути відраховані, роблячи ваш борг платіж сьогодні $100. Якщо ваш друг потім інвестує ці гроші під 10% простих відсотків, через рік він матиме $110, що ви повинні були заплатити.
Зверніть увагу на ці приклади, що проста процентна ставка 10% означає, що сьогодні 100 доларів - це те ж саме, що має $110 через рік. Це ілюструє концепцію того, що два платежі є еквівалентними платежами, якщо, як тільки справедлива процентна ставка враховується, вони мають однакове значення в той же день. Таким чином, загалом ви знаходите дві суми в різні моменти часу, які мають однакове значення, як показано на малюнку нижче.
Як це працює
Кроки, необхідні для розрахунку еквівалентного платежу, нічим не відрізняються від етапів для разових платежів. Якщо проводиться достроковий платіж, то ви знаєте майбутню вартість, тому вирішуєте за теперішню вартість (яка знімає відсотки). Якщо проводиться несвоєчасний платіж, то ви знаєте поточну вартість, тому вирішуєте для майбутньої вартості (яка додає пеню відсотків).
Шляхи до успіху
Бути фінансово розумним означає звертати увагу, коли ви робите ваші боргові платежі. Якщо ви не отримуєте фінансової вигоди за внесення дострокового платежу, то навіщо це робити? Розсудливий вибір - зберігати гроші самостійно, інвестувати їх за найкращою можливою процентною ставкою та погасити борг, коли це настане. Які б відсотки не були зароблені, це ваш зберегти, і ви все ще виконуєте свої боргові зобов'язання своєчасно!
Ерін сьогодні заборгувала Шарлотті 1500 доларів. На жаль, Ерін мала деякі несподівані витрати і не в змозі здійснити оплату свого боргу. Після обговорення питання вони погоджуються, що Ерін може здійснити платіж через дев'ять місяців і що справедлива проста процентна ставка при простроченні платежу становить 5%. Скільки Ерін потрібно заплатити через дев'ять місяців? Який розмір її несвоєчасного штрафу?
Рішення
Прострочення платежу - це майбутня сума вартості (\(S\)). Штраф за прострочення дорівнює відсоткам (\(I\)).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Відомі платіж сьогодні, узгоджена процентна ставка та терміни прострочення платежу:\(P = \$1,500, r = 5\%\) щорічно,\(t = 9\) місяців
Як ви туди потрапите
Крок 2:
Поки ставка щорічна, час - в місяцях. Перетворіть час на річне число.
Крок 3:
Застосувати Формулу 8.2.
Крок 4:
Застосовуйте формулу 8.3 для розрахунку суми штрафу за прострочення відсотків.
Виконувати
Крок 2:
Дев'ять місяців з 12 місяців в році - це\(t=\dfrac{9}{12}\).
Крок 3:
\[S=\$ 1,500 \times\left(1+5 \% \times \dfrac{9}{12}\right)=\$ 1,500 \times(1+0.05 \times 0.75)=\$ 1,556.25 \nonumber \]
Крок 4:
\[I = \$1,556.25 − \$1,500.00 = \$56.25 \nonumber \]
Несвоєчасний платіж Ерін становить $1,556.25, що включає штраф у розмірі 56.25 доларів США за внесення платежу через дев'ять місяців.
Руперт заборгував Амінаті два боргові платежі: 600 доларів через чотири місяці і 475 доларів через одинадцять місяців. Руперт прийшов в деякі гроші сьогодні і хотів би погасити обидві борги негайно. Аміната погодилася, що справедлива процентна ставка становить 7%. Яку суму повинен заплатити Руперт сьогодні? Яка загальна сума його допомоги по достроковій виплаті?
Рішення
Достроковий платіж - це сума поточної вартості (\(P\)). Обидва платежі будуть перенесені на сьогоднішній день і підсумовані. Дострокова виплата буде загальною сумою знятих відсотків (\(I\)).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Відомі два платежі, процентна ставка та терміни платежу:\(r = 7\%\) щорічно
Перший платіж:\(S = \$600, t = 4\) місяці з цього моменту
Другий платіж:\(S = \$475, t = 11\) місяці відтепер
Замінний платіж проводиться сьогодні.
Як ви туди потрапите
Виконайте кроки 2 і 3 для кожного платежу:
Крок 2:
Поки ставка щорічна, час - в місяцях. Перетворіть час на річне число.
Крок 3:
Застосуйте Формулу 8.2, переставляючи її для вирішення\(P\). Після того, як ви розрахуєте обидва\(P\), їх можна підсумувати, щоб прийти до загального платежу.
Крок 4:
Для кожного платежу застосовуйте Формулу 8.3 для розрахунку пов'язаної дострокової процентної вигоди. Всього два значення,\(I\) щоб отримати ранній відсоток вигоди в цілому.
Виконувати
Оплата #1:
Крок 2:
Чотири місяці з 12 місяців в році\(t=\dfrac{4}{12}\)
Крок 3:
\[\begin{aligned} \$ 600&=P\left(1+7 \% \times \dfrac{4}{12}\right)\\ P&=\dfrac{\$ 600}{(1+0.07 \times 0.\overline3)}\\ & =\$ 586.32 \end{aligned} \nonumber \]
Оплата #2:
Крок 2:
Одинадцять місяців з 12 місяців в році\(t=\dfrac{11}{12}\)
Крок 3:
\[\begin{aligned} &\$ 475=P\left(1+7 \% \times \dfrac{11}{12}\right)\\ &P=\dfrac{\$ 475}{(1+0.07 \times 0.91 \overline{6})}=\$ 446.36 \end{aligned} \nonumber \]
Підсумки:
\(P\)сьогодні\(= $586.32 + $446.36 = $1,032.68\)
Крок 4:
Оплата #1:\(I=S–P = $600 – $586.32 = $13.68 \)
Оплата #2:\(I=S–P = $475 – $446.36 = $28.64 \)
\[I = \$13.68 + \$28.64 = \$42.32 \nonumber \]
Щоб очистити обидві борги сьогодні, Руперт платить $1,032.68, що відображає зниження процентних виплат на $42.32 за достроковий платіж.