3.3: Співвідношення, пропорції та пропорції (це лише справедливо)
- Page ID
- 66766
У вас і вашого ділового партнера є гарна проблема: Споживачі клацають пакети вашого нового скрабу для обличчя евкаліпта loganberry так швидко, як ви можете їх виробляти. Кожна пачка скрабу містить 600 мг екстракту логаняри і 80 мг евкаліптової олії, а також воду і глину та інші інгредієнти. Співвідношення є неоціненними для розуміння взаємозв'язку між різними кількостями, наприклад, скільки кожного інгредієнта вам потрібно.
У вас немає проблем з отриманням води та глини, але екстракт логанберрі та евкаліптова олія не вистачає через погану погоду. У будь-який період часу ваші постачальники можуть надати в сім разів більше екстракту логанберрі, ніж евкаліптова олія. Щоб розібратися, який інгредієнт обмежує ваше виробництво, потрібні пропорції.
Іноді потрібно співвідносити пропорцію із загальною кількістю. Для цього потрібні навички пропорції. Наприклад, як тільки ваш бізнес виріс, ви починаєте використовувати виробничу лінію, яка дотримується звичайної практики виробництва більше одного продукту. Скраб для обличчя з папайї, який ви представили нещодавно, і скраб евкаліпта з логанберрі вимагають такої ж кількості часу виробництва. Потужність вашого обладнання становить 1000 одиниць на добу. Скільки одиниць кожного виду скрабу ви повинні виробляти, щоб задовольнити ринковий попит у співвідношенні дев'ять до двох?
Через роки ви поділяєте прибуток вашого ділового партнерства пропорційно загальним інвестиціям кожного партнера. Ви інвестували $73 000, тоді як ваш партнер інвестував $46 000. З загальним прибутком $47,500, яка ваша частка?
Розуміння взаємозв'язків між різними величинами та те, як компоненти співвідносяться із загальною сумою, підкреслює необхідність розуміння співвідношень, пропорцій та пропорції.
Що таке співвідношення?
Співвідношення - це фіксована залежність між двома або більше величинами, сумами або розмірами подібного характеру. Щоб співвідношення існувало, всі терміни, що беруть участь у співвідношенні, повинні бути ненульовими. Вивчіть критерії цього визначення більш уважно:
- Там повинно бути дві або більше величин. Співвідношення не існує, якщо задіяна лише одна величина. Наприклад, паливний бак на вашому Mustang займає 60 літрів бензину. Це не співвідношення, оскільки немає ніякого відношення до будь-якої іншої кількості, кількості чи розміру. З іншого боку, якщо ви порівняєте свій паливний бак з паливним баком Хаммера вашого друга, тепер у вас є дві кількості, і ви можете сказати, що її паливний бак має вдвічі більшу ємність вашого.
- Всі терміни повинні мати схожий характер. У всіх представлених прикладах зверніть увагу, що всі величини, суми або розміри базуються на одній одиниці. У рецептурі косметики це було від міліграмів до міліграмів; на виробничій лінії це були одиниці до одиниць; в інвестиційному сценарії це були долари до доларів. Щоб співвідношення мало значення і було правильно інтерпретовано, всі терміни співвідношення повинні бути виражені в подібному характері. Коли ви розміщуєте різні одиниці, такі як кілометри та метри, у однаковому співвідношенні, результат заплутаний і призведе до неправильної інтерпретації відносин.
- Усі терміни повинні бути ненульовими. Числа, які фігурують у співвідношенні, називаються термінами співвідношення. Якщо у нас є рецепт з чотирма склянками борошна на одну склянку цукру, є два терміни: чотири і один. Якщо будь-який термін дорівнює нулю, то кількість, сума або розмір не існує. Наприклад, якщо рецепт закликав чотири склянки борошна до нуля склянки цукру, цукру немає! Тому кожен член повинен мати якесь значення, відмінне від нуля.
Давайте продовжимо використовувати приклад чотирьох склянок борошна на одну склянку цукру. Коефіцієнти бізнесу виражаються в п'яти поширених форматах, як показано в таблиці нижче.
| Формат | Приклад співвідношення | Тлумачення |
|---|---|---|
| Кому | Від 4 до 1 | Чотири склянки борошна на одну склянку цукру |
| : (товста кишка) | 4:1 | Чотири склянки борошна на одну склянку цукру |
| Дріб | \(\dfrac{4}{1}\) | Чотири склянки борошна на одну склянку цукру |
| Десяткова | 4 | У чотири рази більше борошна, ніж цукру |
| Відсоток | 400% | Борошно 400% цукру (Підказка: думаю швидкість, порція, база) |
Всі ці формати добре працюють, коли в співвідношенні всього два терміни. Якщо є три і більше термінів, співвідношення найкраще виражати у форматі двокрапки. Наприклад, якщо в рецепті передбачалося чотири частини борошна на одну частину цукру до двох частин шоколадної стружки, співвідношення становить 4:1: 2. Дробні, десяткові та відсоткові форми не працюють з трьома або більше термінами.
Спрощення та зменшення коефіцієнтів
Коли співвідношення використовується для вираження взаємозв'язку між різними змінними, воно повинно бути легким для розуміння та інтерпретації. Іноді, коли ви встановлюєте співвідношення спочатку, терміни важко зрозуміти. Наприклад, що робити, якщо рецепт закликав 62½ частини борошна на 25 частин цукру? Це не дуже зрозуміло. Висловлюючи таке ж співвідношення іншим способом, можна сказати, що рецепт вимагає 5 частин борошна на 2 частини цукру. Зверніть увагу, як відносини зрозуміліше в останньому вираженні. У будь-якому випадку, однак, обидва співвідношення означають одне і те ж; у десятковому форматі це співвідношення виражається як значення 2.5. Нагадаємо, що в розділі 2.2 обговорювалося, як фракції виражаються у вищому і нижчому вираженні. Тепер ми застосовуємо ті самі знання до співвідношень, щоб зробити відносини максимально зрозумілими.
Коли ви зменшуєте відношення до нижчих членів, пам'ятайте дві важливі характеристики, що включають кардинальне правило і цілі числа:
- Кардинальне правило. Нагадаємо, з розділу 2.5, що кардинальне правило алгебри говорить: «Що ви робите з одним, ви повинні зробити з іншим». Іншими словами, яка б математична операція не виконувалася на терміні в співвідношенні повинна бути однаково виконана на кожному іншому терміні в співвідношенні. Якщо це правило порушено, то взаємозв'язок між термінами розривається.
- Ведення цілих чисел. Цілі числа легше зрозуміти, ніж десяткові і дроби. Зменшуючи відношення до нижчих членів, прагніть підтримувати кожен член як ціле число (так само, як у розділі 2.2).
Як це працює
Кроки, пов'язані зі зниженням коефіцієнтів до нижчих термінів, перераховані нижче. Можливо, вам не знадобляться деякі кроки, тому пропустіть їх, якщо характеристика не кидається в співвідношенні.
Крок 1: Очистіть будь-які дроби, які при поділі утворюють незавершену десяткову. Застосовуйте правила алгебри і помножте кожен член на знаменник, який очищається від співвідношення. Наприклад, якщо співвідношення є\(\dfrac{1}{3} : 2\), перший член при діленні дає незавершену десяткову. Очистіть дріб, множивши кожен член на знаменник 3, в результаті чого вийде співвідношення 1:6.
Крок 2: Виконайте ділення на всі дроби, які дають кінцеву десяткову. Наприклад, якщо співвідношення є\(\dfrac{2}{5} : \dfrac{3}{10}\), обидва члени перетворюються в кінцеві десяткові числа, що призводить до співвідношення\(0.4 : 0.3\).
Крок 3: Усуньте всі десяткові числа із співвідношення шляхом множення. Іншими словами, висловіть коефіцієнт у вищих вираженнях, множивши кожен член на ступінь 10. Потужність 10, яку ви виберете, повинна бути досить великою, щоб усунути всі десяткові знаки. Наприклад, якщо співвідношення є\(0.2 : 0.25 : 0.125\), зверніть увагу, що третій член має найбільше десяткових знаків. Для переміщення десяткових трьох позицій вправо потрібна сила of.\(1,000 (10^3)\) Помножте кожен член на ступінь 1000, в результаті чого вийде співвідношення\(200 : 250 : 125\).
Крок 4: Знайдіть загальний коефіцієнт, який рівномірно ділиться на кожен член, створюючи таким чином цілі числа. Якщо ви не виявили таких факторів, то співвідношення знаходиться в найнижчих показниках. Наприклад, якщо співвідношення є,\(10 : 4 : 6\) це може бути враховано, розділивши кожен член на 2, в результаті чого співвідношення\(5 : 2 : 3\). Немає загального фактора, який зменшує це співвідношення далі; отже, він знаходиться в найнижчих показниках.
Важливі примітки
Щоб зарахувати будь-який термін, згадайте свої таблиці множення. Припустимо, співвідношення є\(36 : 24\). При факторингу завжди найкраще підбирати найнижчий термін у співвідношенні. Дивлячись на 24 і згадайте, що примножується разом, щоб прибути в 24. У цьому випадку вашими факторами є\(1 \times 24\),\(2 \times 12\),\(3 \times 8\), і\(4 \times 6\). Мета полягає в тому, щоб знайти найбільше значення серед цих факторів, яке також рівномірно ділиться на інший термін 36. Найбільшим фактором, який робить це істинним, є 12. Тому виконайте крок 4 в нашому процесі скорочення, розділивши кожен член на коефіцієнт 12, що призводить до співвідношення\(3 : 2\).
Речі, на які слід остерігатися
Завжди переконайтеся, що перед тим, як застосувати будь-який із кроків скорочення, ваші стосунки відповідають вимогам щодо співвідношення в першу чергу. Наприклад, вираз 10 км: 500 м не є співвідношенням 1:50, оскільки порушує характеристику «подібного характеру» визначення співвідношення. Потрібно перевести метри в кілометри, виробляючи 10 км: 0,5 км. Тепер, коли у вас є співвідношення, зменшення до найнижчих показників призводить до\(20 : 1\) співвідношення. Це зовсім інше, ніж\(1 : 50\)! Вивчений урок полягає в тому, щоб переконатися, що ви працюєте з належним співвідношенням, перш ніж маніпулювати ним.
Шляхи до успіху
На четвертому етапі процедури не відчувайте себе змушеним знайти те, що називається «магічним фактором». Це єдиний коефіцієнт, який знижує відношення до найнижчих показників за один розрахунок. Хоча це приємно, якщо це станеться, ви також можете знайти будь-який фактор, який зробить співвідношення меншим і легше працювати.
- Наприклад, припустимо співвідношення\(144 : 72 : 96\). Це може бути не дуже очевидно, який фактор входить в кожен з цих термінів на перший погляд. Однак всі вони є парними числами, тобто всі вони можуть бути розділені на 2. Це виробляє\(72 : 36 : 48\).
- Знову ж таки, «магічний фактор» може бути не зрозумілим, але кожен термін все ще рівний. Ще раз ділимо на 2, виробляючи\(36 : 18 : 24\).
- Якщо жодного магічного фактора не видно, знову зверніть увагу, що всі числа парні. Ще раз розділіть на 2, виробляючи\(18 : 9 : 12\).
- Загальним фактором для цих термінів є 3. Розділений на кожен термін, який у вас є\(6 : 3 : 4\). Загального фактора для цих термінів немає, і співвідношення зараз знаходиться в найнижчих показниках.
У наведеному вище прикладі було зроблено чотири кроки, щоб отримати відповідь - і це все гаразд. Ви помітили «чарівний фактор», який міг би вирішити це за один крок? Ви можете знайти його, якщо помножити всі фактори, які у вас є:\(2 \times 2 \times 2 \times 3=24\). Розділивши кожен член в початковому співвідношенні на 24, виходить розчин в один крок. Якщо ви не помітили цього «чарівного фактора», немає нічого поганого в тому, щоб зробити чотири кроки (або більше!) щоб отримати відповідь. В кінцевому підсумку обидва способи виробляють один і той же розчин.
Зменшіть наступні співвідношення до найнижчих показників:
- \(49 : 21\)
- \(0.33 : 0.066\)
- \(\dfrac{9}{2} : \dfrac{3}{11}\)
- \(5^{1 / 8} : 6^{7 / 8}\)
Рішення
Вас попросили зменшити коефіцієнти до найнижчих показників.
Що ви вже знаєте
Чотири коефіцієнти, які слід зменшити, були надані у форматі двокрапки.
Як ви туди потрапите
Крок 1: Очистити всі дроби, які утворюють незавершені десяткові дроби.
Крок 2: Виконайте поділ на всі дроби, які виробляють кінцеві десяткові дроби.
Крок 3: Усуньте всі десяткові знаки за допомогою множення.
Крок 4: Розділіть кожен термін на загальний фактор, зменшивши його до найнижчих.
Виконувати
Крок 1:
- Без дробів
- Без дробів
- Помножте обидва члени на 11:\(\dfrac{99}{2} : 3\)
- Немає дробів, які утворюють незавершені десяткові дроби
Крок 2:
- Без дробів
- Без дробів
- Виконуємо поділ:\(49.5 : 3\)
- Виконуємо поділ:\(5.125 : 6.875\)
Крок 3:
- Без десяткових знаків
- Зніміть десяткові знаки, множивши на 1000:\(330 : 66\)
- Зніміть десяткові числа, множивши на 10:\(495 : 30\)
- Зніміть десяткові знаки, множивши на 1000:\(5,125 : 6,875\)
Крок 4:
- Ділимо на 7:\(7 : 3\)
- Розділити на 66:\(5 : 1\)
- Ділимо на 15:\(33 : 2\)
- Ділимо на 125:\(41 : 55\)
У найнижчих показниках коефіцієнти становлять\(7 : 3\),\(5 : 1\),\(33 : 2\), і\(41 : 55\), відповідно.
Зменшення відношення до найменшого члена одиниці
Ваша мета в зменшенні співвідношення полягає в тому, щоб полегшити його розуміння. Іноді, навіть після того, як ви застосували прийоми зменшення співвідношення, кінцевий результат все одно важко зрозуміти. Подивіться на частину (d) Прикладу\(\PageIndex{1}\). Ви прийшли до остаточного рішення\(41 : 55\), без подальшого скорочення можливого. Подумайте про це як 41 склянку борошна до 55 склянок цукру. Відносини не дуже зрозумілі.
За цих обставин, хоча цілі числа є кращими загалом, ви повинні зменшити співвідношення далі, повторно вводячи десяткові числа, щоб зробити відносини більш зрозумілими. Це означає, що ви застосовуєте техніку під назвою «зменшення співвідношення до найменшого терміну одиниці». У цій техніці найменший термін у співвідношенні матиме значення 1, як тільки ви виконаєте зменшення та спрощення співвідношення.
Як це працює
Виконайте наступні дії, щоб зменшити співвідношення до найменшого терміну одиниці:
Крок 1: Знайдіть найменший термін у співвідношенні. (Не просто вибирайте перший термін.)
Крок 2: Розділіть кожен член у співвідношенні на обраний найменший член. Кожен інший термін стає десятковим числом, для якого або передбачена чітка інструкція округлення, або ви повинні дотримуватися правил округлення, які використовуються в цьому підручнику. Найменший член за характером ділення дорівнює одиниці.
Давайте продовжимо з частиною (d) Прикладу\(\PageIndex{1}\), в якій зменшене співвідношення є\(41 : 55\).
Крок 1: Знайдіть найменший термін у співвідношенні. Це перший термін і має значення 41.
Крок 2: Візьміть кожен термін і розділіть його на 41, щоб прийти\(1 : 1 . \overline{34146}\). Десяткове число дозволяє приблизно інтерпретувати співвідношення як «одна чашка борошна до дотику над\(1^{1 / 3}\) чашками цукру». Хоча і не ідеально, це більш зрозуміло, ніж\(41 : 55\).
Важливі примітки
Можливо, вам доведеться зробити судовий дзвінок, коли ви вирішите, чи залишати зменшене співвідношення в спокої або зменшити його до співвідношення, де найменший термін - один. Немає чіткого остаточного правила; однак майте на увазі наступні дві думки:
- Для цілей цього підручника вам надаються чіткі інструкції про те, як поводитися з співвідношенням, що дозволяє кожному прийти до одного і того ж рішення. Ваша інструкція буде читати або «Зменшити відношення до найменших його термінів», або «Зменшити співвідношення до найменшого терміну одиниці».
- У реальному світі таких інструкцій не існує. Тому ви завжди повинні базувати своє рішення на тому, який формат легше зрозуміти вашій аудиторії. Якщо зменшена фракція залишає вашу аудиторію не в змозі зрозуміти відносини, то використовуйте скорочення до співвідношення з найменшим терміном одного замість.
Система управління запасами у вашій компанії вимагає від вас збереження співвідношення від 27 до 47 Nintendo Wiis до Sony PlayStations на полиці. На полиці 38 Nintendo Wiis.
- Висловіть співвідношення, де найменший член дорівнює одиниці. Округлите рішення до двох десяткових знаків.
- Використовуючи співвідношення, визначте, скільки PlayStations має бути у вашому інвентарі.
Рішення
Ці терміни не мають загального коефіцієнта (зверніть увагу, що 47 - це просте число). Терміни в цьому співвідношенні ні в якому разі не можуть бути зменшені, що ускладнює оцінку відносин. Тому зменшіть відношення до найменшого терміну одиниці. Як тільки відносини стануть більш очевидними, визначте, скільки PlayStations повинно бути на полиці.
Що ви вже знаєте
Співвідношення Wiis до PlayStations становить 27:47.
38 Wii наразі на полиці.
Як ви туди потрапите
Крок 1: Знайдіть найменший термін.
Крок 2: Розділіть всі терміни на найменший термін, щоб отримати співвідношення.
Крок 3: Використовуйте співвідношення, щоб розрахувати кількість PlayStations, необхідних на полиці.
Виконувати
Крок 1:
Найменший термін - 27.
Крок 2:
Розділіть кожен член на 27. \(\dfrac{27}{27} : \dfrac{47}{27} \text { becomes } 1 : 1.74\)
Управління запасами вимагає, щоб 1,74 одиниці PlayStations були на полиці для кожної одиниці Wiis.
Крок 3:
\(38 \times 1.74=66.12\)одиниць. Оскільки можливі лише цілі одиниці, округліть до найближчого цілого числа 66.
Система управління запасами вимагає приблизно 1.74 PlayStations для кожного Nintendo Wii на полиці. Тому з 38 Wiis на полиці вам потрібно, щоб 66 PlayStations також були на полиці.
Що таке пропорції?
Знання взаємозв'язку між конкретними величинами корисно, але що робити, якщо ваша кількість не відповідає конкретній кількості, вираженій у існуючому співвідношенні? Приклад 3.3B проілюстрував, що потрібно навчитися застосовувати співвідношення, щоб відповідати поточним умовам. Співвідношення в системі інвентаризації було виражено в перерахунку на 27 Nintendo Wiis; однак на полиці відображалося 38 одиниць. Як ми можемо співвіднести існуюче співвідношення з необхідним співвідношенням?
Пропорція - це твердження рівності між двома співвідношеннями. Так само, як у нас є як алгебраїчні вирази, так і алгебраїчні рівняння, існують співвідношення і пропорції. При алгебраїчних виразах було можливо лише спрощення. Коли вираз було включено в алгебраїчне рівняння, ви вирішували для невідомого. Те ж саме стосується співвідношень і пропорцій. При співвідношеннях можливе тільки спрощення. Пропорції дозволяють вирішити для будь-якої невідомої змінної. Приклад Wii та PlayStation можна було налаштувати наступним чином:
Пропорція повинна дотримуватися трьох характеристик, включаючи критерії співвідношення, порядок термінів та кількість термінів.
- Характеристика #1: Критерії співвідношення повинні бути виконані. За визначенням пропорція - це рівність між двома співвідношеннями. Якщо ліва або права частина пропорції не відповідає критеріям співвідношення, то пропорція не може існувати.
- Характеристика #2: Той самий порядок термінів. Порядок термінів на лівій стороні пропорції повинен бути в точно такому ж порядку термінів на правій стороні пропорції. Наприклад, якщо ваше співвідношення - це кількість MP3 до компакт-дисків та DVD-дисків, то ваша пропорція налаштовується наступним чином:
\[\mathrm{MP} 3 : \mathrm{CD} : \mathrm{DVD}=\mathrm{MP} 3 : \mathrm{CD} : \mathrm{DVD}\nonumber \]
- Характеристика #3: Однакова кількість термінів. Співвідношення на кожній стороні повинні мати однакову кількість термінів, так що кожен член з лівого боку мав відповідний термін з правого боку. Пропорція не\(\mathrm{MP} 3 : \mathrm{CD} : \mathrm{DVD}=\mathrm{MP} 3 : \mathrm{CD}\) є дійсною, оскільки\(\mathrm{DVD}\) термін на лівій стороні не має відповідного терміну на правій стороні.
Коли ви працюєте з пропорціями, математична мета полягає в тому, щоб вирішити невідому величину або величину. Для того щоб вирішити будь-яку пропорцію, завжди дотримуйтесь наступних чотирьох правил:
- Правило #1: Принаймні одне значення для будь-якого терміну відомо. Принаймні одне з значень лівої або правої сторони для кожного члена має бути відомим. Наприклад, не\(x : 5 = y : 10\) є розв'язною пропорцією, оскільки відповідні перші члени з обох сторін невідомі. Однак\(15 : 5 = y : 10\) це можна вирішити, оскільки відомий принаймні один із перших відповідних термінів (15 та\(y\)).
- Правило #2: Одна пара відповідних термінів повинна бути відома. Принаймні одна пара відповідних термінів на лівій та правій стороні повинна мати обидві відомі величини. Наприклад, не\(3 : x : 6 = y : 4 : z\) є розв'язною пропорцією, оскільки немає пари перших членів (3 і\(y\)), других членів (\(x\)і 4) або третіх членів (6 і\(z\)), які дають пару відомих значень. Однак\(3 : x : 6 = 9 : 4 : z\) це розв'язна пропорція, оскільки відомі перші члени з обох сторін (3 та 9).
- Правило #3: Підкоряйтеся BEDMAS і виконуйте належну алгебраїчну маніпуляцію. Щоб маніпулювати пропорцією, ви повинні відповідати правилам BEDMAS (Розділ 2.1) та всім правилам алгебри (Розділ 2.4 та Розділ 2.5). Порушення будь-якого з цих правил порушує рівність коефіцієнтів і виробляє неправильну пропорцію.
- Правило #4: Використовуйте дробовий формат. Дробовий формат для співвідношень рекомендується для вирішення пропорції. Інші чотири формати, як правило, ускладнюють вирішення пропорції, а необхідні математичні операції стають незрозумілими.
Як це працює
Виконайте наступні кроки у вирішенні будь-якої пропорції для невідомої змінної або змінних:
Крок 1: Налаштуйте пропорцію з відомим співвідношенням на лівій стороні. Помістіть співвідношення з будь-якими невідомими змінними на правій стороні.
Крок 2: Працюйте лише з двома термінами одночасно та висловлюйте два члени в дробовому форматі. Це не проблема, якщо пропорція має лише два члени з кожного боку рівняння, наприклад,\(27 : 47 = 38 : p\). Це виражається як\(\dfrac{27}{47}=\dfrac{38}{p}\). Якщо пропорція має три або більше термінів на кожній стороні, ви можете вибрати будь-які два терміни з кожної сторони пропорції до тих пір, поки ви вибираєте однакові два терміни з кожного боку. Роблячи свій вибір, прагніть мати пару членів на одній стороні рівняння, де обидва значення відомі, тоді як інша сторона рівняння складається з одного відомого члена та одного невідомого члена. Наприклад, припустимо пропорцію\(6 : 5 : 4 = 18 : 15 : y\). Виділення першого і третього членів тільки з кожного боку рівняння виробляє\(6 : 4 = 18 : y\). Зверніть увагу, що тепер це пропорція лише з двома термінами на кожній стороні, які ви можете висловити як\(\dfrac{6}{4}=\dfrac{18}{y}\).
Крок 3: Вирішіть для невідомої змінної. Дотримуйтесь правил БЕДМАС і виконуйте належні алгебраїчні маніпуляції.
Крок 4: Якщо пропорція містить більше однієї невідомої змінної, поверніться до кроку 2 і виберіть інше сполучення, яке ізолює одну з невідомих змінних. Хоча одна з невідомих змінних тепер відома як результат кроку 3, не використовуйте це відоме значення для вибору. Небезпека використання розв'язаної невідомої змінної полягає в тому, що якщо сталася помилка, помилка буде каскадом через всі інші обчислення. Наприклад, припустимо, що початкова пропорція була\(3 : 7 : 6 : 8 = x : y : z : 28\). З кроку 2 ви, можливо, вибрали сполучення\(3 : 8 = x : 28\), і на кроці 3 ви, можливо, помилково розрахували\(x = 11.5\) (правильна відповідь\(x = 10.5\)). Повертаючись до кроку 2, щоб вирішити іншу невідому змінну, не\(x\) залучайте до наступного сполучення. Щоб ізолювати\(y\), використовувати\(7 : 8 = y : 28\) і ні\(3 : 7 = 11.5 : y\), що принаймні гарантує, що ваш розрахунок\(y\) не буде автоматично неправильним на основі попередньої помилки.
Речі, на які слід остерігатися
Ви завжди повинні вибирати терміни з однакових позицій по обидва боки пропорції. В іншому випадку ви порушите рівність пропорції, так як терміни вже не в одному порядку з обох сторін і Характеристика #2 не задовольняється. Наприклад, при роботі з пропорцією\(6 : 5 : 4 = 18 : 15 : y\) зверху ви не можете вибрати перший і третій терміни з лівого боку, а також вибрати другий і третій терміни з правого боку. Іншими словами,\(6 : 4 \neq 15 : y\) починаючи з\(1^{st}\)\(: 3^{rd}\) терміну\(\neq 2^{nd}\) термін\(: 3^{rd}\) термін.
Шляхи до успіху
Завжди найпростіше вирішити пропорцію, коли невідома змінна знаходиться в чисельнику. Ця характеристика вимагає мінімальної алгебри та обчислень для виділення змінної. Якщо ви опинитеся з невідомою змінною в знаменнику, ви можете математично інвертувати дріб з обох сторін, так як це підпорядковується кардинальному правилу «що ви робите з одним, ви повинні робити з іншим». При інвертуванні чисельник стає знаменником і навпаки. Наприклад, якщо пропорція є, інверсія потім виробляє частку. Зверніть увагу, що для виділення невідомої змінної в інвертованій пропорції потрібно лише множення 12 з обох сторін. Це набагато менше роботи!
- Деякі з наведених пропорцій порушують характеристики або правила пропорцій. Вивчіть кожен і визначте, чи всі правила і характеристики дотримані. Якщо немає, визначте проблему.
- \(4 : 7 = 6 : y\)
- \(5 : 3 = 6 : a : b\)
- \(6 km : 3 m=2 m : 4 km\)
- \(6 : k = 18 : 12\)
- \(4 : 0 = 8 : z\)
- \(9 = p\)
- \(4 : 7 : 10 = d : e : f\)
- \(y : 10 : 15 = x : 30 : z\)
- У наступному вирішені пропорції, яка людина правильно виконав крок 2 пропорції кроків? \[6 : 5 : 4 : 3 = x : y : z : 9 \nonumber \]
- Особа А:\(6 : 5 = x : y\)
- Особа B:\(4 : 3 = y : 9\)
- Особа C:\(4 : 3 = z : 9\)
- Відповідь
-
-
- ГАРАЗД
- Не однакова кількість термінів з кожного боку (Характеристика #3)
- Терміни не в однакових одиницях; терміни не в тому ж порядку (Характеристики #1 і #2)
- ГАРАЗД
- Не відповідає критеріям співвідношення; є термін нуль (Характеристика #1)
- Не відповідає критеріям співвідношення; повинен мати принаймні два члени з кожного боку (Характеристика #1)
- Немає відповідного відомого терміна з обох сторін; кожна пара термінів містить невідоме (Правило #2)
- Перший відповідний термін не відомий з обох сторін; принаймні один повинен бути відомий (Правило #1)
- Людина С зробила це правильно. Особа А не вдалося виділити змінну, і різні терміни були витягнуті особою Б (3-й термін: 4-й термін ≠ 2-й термін: 4-й термін).
-
Нещодавня стаття повідомляла, що компанії певної галузі усереднювали операційний прибуток у розмірі 23 000 доларів США на 10 штатних працівників. Менеджер з маркетингу хоче оцінити операційну рентабельність для одного з конкурентів своєї компанії, в якому працюють 87 штатних працівників. Який розрахунковий операційний прибуток для цього конкурента?
Рішення
Існує взаємозв'язок між кількістю штатних працівників і операційним прибутком. Це співвідношення. Якщо ви встановили подібний коефіцієнт для конкурента, ви створюєте пропорцію, яку ви можете вирішити для орієнтовного операційного прибутку конкурента, або\(p\).
Що ви вже знаєте
Ви знаєте галузь та інформацію про конкурентів:
Операційний прибуток галузі = $23,000
Промисловість штатних працівників = 10
Операційний прибуток конкурента =\(p\)
Конкурент штатних співробітників = 87
Як ви туди потрапите
Крок 1: Налаштуйте пропорцію.
Крок 2: Експрес в дробовому форматі.
Крок 3: Ізолюйте невідому змінну,\(p\).
Крок 4: Так як є тільки один невідомий, цей крок не потрібен.
Виконувати
Крок 1:
\[\text {industry profit : industry employees = competitor profit : competitor employees}\nonumber \]
\[\$ 23,000 : 10=p : 87\nonumber \]
Крок 2:
\[\dfrac{\$ 23,000}{10}=\dfrac{p}{87}\nonumber \]
Крок 3:
\[\dfrac{\$ 23,000 \times 87}{10}=p\nonumber \]
\[p=\$ 200,100\nonumber \]
Якщо галузь становить в середньому 23 000 доларів операційного прибутку на 10 штатних працівників, то конкурент із 87 штатними працівниками має приблизно 200 100 доларів операційного прибутку.
Готуючись до вечірки, Брендану потрібно змішати пунш, що складається з фруктового соку, горілки і 7UP в\(5 : 3 : 2\) співвідношенні відповідно. Якщо у Брендана є пляшка горілки об'ємом 2 л, скільки фруктового соку та 7UP він повинен змішати з нею?
Рішення
Взаємозв'язок між рецептом пуншу інгредієнтами фруктового соку, горілки та 7UP утворює співвідношення. Якщо ви встановили подібне співвідношення для того, що насправді має і потребує Брендан, ви можете розрахувати точну кількість фруктового соку, горілки та 7UP, які необхідні.
Що ви вже знаєте
Ви знаєте співвідношення рецептів пуншу\(5 : 3 : 2\).\(\text {fruit juice : vodka : 7UP}\) Брендан має 2 л горілки.
Як ви туди потрапите
Крок 1: Налаштуйте пропорцію.
Крок 2: Виберіть два терміни, що містять одну невідому змінну, і висловіть у дробовому форматі.
Крок 3: Ізолюйте невідому змінну.
Крок 4: Виберіть ще два терміни, що містять іншу невідому змінну, і висловіть у дробовому форматі, перш ніж ізолювати невідому змінну.
Виконувати
Крок 1:
\[5 : 3 : 2 = f : 2 : s\nonumber \]
Крок 2:
\[\begin{aligned} \dfrac{5}{3}&=\dfrac{f}{2}\\ \dfrac{10}{3}&=f\\ 3.\overline{3}&=f \end{aligned}\nonumber \]
Крок 3:
\[\begin{aligned} \dfrac{3}{2}&=\dfrac{2}{s}\\ \dfrac{2}{3}&=\dfrac{s}{2}\\ \dfrac{4}{3}&=s\\ 1.\overline{3}&=s \end{aligned}\nonumber \]
Підтримуючи співвідношення\(5 : 3 : 2\) між фруктовим пуншем, горілкою та 7UP, Брендан повинен змішати\(3^{1 / 3}\) L фруктового соку і\(1^{1 / 3}\) L 7UP з його 2 л горілки.
Що таке проратування?
Співвідношення і пропорції зазвичай використовуються в різних бізнес-додатках. Але будуть численні ситуації, коли ваш бізнес повинен розподіляти обмежені кошти між різними підрозділами, відділами, бюджетами, приватними особами і так далі. У відкритті цього розділу один приклад обговорював поділ прибутку з вашим діловим партнером, де ви повинні розподіляти прибуток пропорційно загальним інвестиціям кожного партнера. Ви інвестували $73 000, тоді як ваш партнер інвестував $46 000. Скільки від загального прибутку $47,500 ви повинні отримати?
Процес пропорції - це взяття загальної кількості і розподіл або розподіл її пропорційно. У наведеному вище прикладі ви повинні взяти загальний прибуток у розмірі 47 500 доларів і розподілити його пропорційно своєму діловому партнеру на основі інвестицій кожного партнера. Пропорція становить:
\[\text { your investment : your partner's investment }=\text { your profit share : your partner's profit share }\nonumber \]
Ця пропорція має дві основні проблеми:
- Ви не знаєте жодного з термінів на правій стороні. Згідно з правилами пропорцій, це робить пропорцію нерозв'язною.
- Є частина інформації з ситуації, яку ви взагалі не використовували! Що сталося із загальним прибутком $47 500?
Кожна пропорційна ситуація передбачає прихований термін. Цей прихований термін зазвичай є сумою всіх інших термінів на тій же стороні пропорції і являє собою загальну суму. У нашому випадку це 47 500 доларів загального прибутку. Ця величина повинна бути розміщена як додатковий термін з обох сторін пропорції, щоб створити пропорцію, яку насправді можна вирішити.
Як це працює
Проратування являє собою складну пропорцію. Таким чином, кроки, що беруть участь у пропорції, подібні до кроків вирішення будь-якої пропорції:
Крок 1: Налаштуйте пропорцію з відомим співвідношенням на лівій стороні. Помістіть співвідношення з будь-якими невідомими змінними на правій стороні.
Крок 2: Вставте прихований термін з обох сторін пропорції. Зазвичай цей термін являє собою загальну кількість всіх інших термінів на тій же стороні пропорції.
Крок 3: Працюючи лише з двома термінами одночасно, висловіть два члени в дробовому форматі. Переконайтеся, що в результуючій пропорції з'являється лише одна невідома змінна.
Крок 4: Вирішіть для невідомої змінної. Переконайтеся, що правила БЕДМАС дотримуються і виконуються належні алгебраїчні маніпуляції.
Крок 5: Якщо пропорція містить більше однієї невідомої змінної, поверніться до кроку 3 і виберіть сполучення, яке ізолює іншу з невідомих змінних.
Щоб вирішити ваш сценарій поділу прибутку, дозвольте\(y\) представити вашу частку прибутку та\(p\) представляти частку вашого партнера:
Крок 1: ваші інвестиції: інвестиції вашого партнера = ваша частка прибутку: частка прибутку вашого партнера
\[\$ 73,000 : \$ 46,000=y : p\nonumber \]
Крок 2: Вставте прихований загальний термін з обох сторін:
\[\text { your investment } \quad : \quad \text { your partner's investment } \quad : \quad \text { total investment } \quad = \quad \text { your profit share } \quad : \quad \text { your partner's profit share : } \quad \text { total profits }\nonumber \]
\[\$ 73,000 : \$ 46,000 : \$ 119,000=y : p : \$ 47,500\nonumber \]
Крок 3:
Налаштуйте одну пропорцію:
\[\dfrac{\$ 73,000}{\$ 119,000}=\dfrac{y}{\$ 47,500}\nonumber \]
Крок 4:
Вирішити для\(y\). Розрахувати\(y = \$29,138.66\).
Крок 5:
Налаштуйте іншу пропорцію:
\[\dfrac{\$ 46,000}{\$ 119,000}=\dfrac{p}{\$ 47,500}\nonumber \]
Вирішити для\(p\). Розрахувати\(p = \$18,361.34\).
Ваша остаточна пропорція:
\[\$ 73,000 : \$ 46,000 : \$ 119,000=\$ 29,138.66 : \$ 18,361.34 : \$ 47,500.00\nonumber \]
Так ви отримаєте\(\$29,138.66\) від загального прибутку і ваш партнер отримає\(\$18,361.34\).
Важливі примітки
Щоб полегшити розв'язування ситуацій, завжди найкраще вставити прихований термін як останній член з обох сторін рівняння. Це змушує невідомі змінні в чисельник, коли ви вибираєте пари термінів. Потім потрібно менше алгебри для виділення та вирішення невідомої змінної.
Речі, на які слід остерігатися
Переконайтеся, що коли ви вставляєте прихований термін, ви ставите його в одне і те ж положення з обох сторін пропорції. Поширена помилка полягає в тому, щоб поставити підсумок на «сторонні» пропорції:
\[A : B=C : D \text { when prorated becomes }\nonumber \]
\[\text { Total } : A : B=C : D : \text { Total }\nonumber \]
Це порушує пропорційні характеристики, так як терміни знаходяться не в одному порядку з обох сторін. Правильна вставка прихованого загального терміна робить пропорцію такою:
\[A : B : \text { Total }=C : D : \text { Total }\nonumber \]
Шляхи до успіху
Інший спосіб наближення пропорції полягає в тому, щоб обчислити основу «на одиницю», а потім помножити кожен член в пропорції на цю базу. Наприклад, припустимо, що ви розподіляєте 100 доларів між трьома людьми, які мають акції по три, п'ять і два. Це всього 10 акцій (прихований термін). Тому 100 доларів, розділені на 10 акцій, - це 10 доларів за акцію. Якщо у першої особи три частки, то\(\$ 10 \times 3=\$ 30\). Друге і третє люди отримують\(\$ 10 \times 5=\$ 50\) і\(\$ 10 \times 2=\$ 20\), відповідно. Тому
\[3 : 5 : 2 : 10=\$ 30 : \$ 50 : \$ 20 : \$ 100\nonumber \]
Ви заплатили свою щорічну премію за страхування автомобіля в розмірі 1791 доларів на Ford Mustang GT. Після п'яти повних місяців ви вирішите продати свій автомобіль і використовувати гроші для покриття шкільних витрат. Припускаючи, що ніяких зборів або інших відрахувань від вашого страхового агентства, скільки вашої щорічної страхової премії ви повинні отримати як відшкодування?
Рішення
Ви повинні з'ясувати, скільки вашої щорічної страхової премії повинна бути відшкодована. Це буде грунтуватися на кількості часу, який ви не вимагали страховки. Позначимо цю суму як\(r\), повернення коштів.
Що ви вже знаєте
Ви маєте деяку інформацію про премії та часові рамки:
Загальна виплачена страховка = $1,791
Всього сплачених місяців = 12
Використані місяці = 5
Як ви туди потрапите
Крок 1: Налаштуйте пропорцію.
Крок 2: Вставте прихований термін.
Крок 3: Виберіть два терміни, що містять одну невідому змінну, і висловіть у дробовому форматі.
Крок 4: Ізолюйте невідому змінну.
Крок 5: Виберіть ще два терміни, що містять іншу невідому змінну, і висловіть у дробовому форматі, перш ніж ізолювати невідому змінну.
Виконувати
Крок 1:
\[\text { insurance used : refund }=\text { months used : months not used }\nonumber \]
\[\text { insurance used } : r=5 : \text { months not used }\nonumber \]
Крок 2:
\[\text { insurance used } : r : \$ 1,791=5 : \text { months not used : } 12\nonumber \]
Дві змінні залишаються невизначені. Ми виводимо, що ви не користувалися своїм автомобілем протягом 7 місяців (12 − 5). Ми не знаємо використовувану страховку і привласнюємо їй змінну\(u\).
\[u : r : \$ 1,791=5 : 7 : 12\nonumber \]
Крок 3:
\[\dfrac{r}{\$ 1,791}=\dfrac{7}{12}\nonumber \]
Крок 4:
\[r=\$ 1,044.75\nonumber \]
Крок 5:
\[\dfrac{u}{\$ 1,791}=\dfrac{5}{12} \quad u=\$ 746.25\nonumber \]
Ви використали 746,25 доларів від щорічної страхової премії в розмірі 1791 доларів США. Залишилося сім місяців, ви маєте право на відшкодування $1,044,75.
Бухгалтер намагається визначити рентабельність трьох різних виробів, що випускаються його компанією. Деякі відомості про кожного наведено нижче:
| Шоколад | Вафлі | Нуга | |
|---|---|---|---|
| Прямі витрати | $743,682 | $2 413,795 | $347 130 |
Хоча кожен продукт має прямі витрати, пов'язані з його виробництвом та збутом, існують деякі накладні витрати (витрати, які не можуть бути призначені жодному товару), які необхідно розподілити. Вони складають $721 150. Загальноприйнятою методикою є призначення цих накладних витрат пропорційно прямим витратам, понесеним кожним продуктом. Яка загальна вартість (пряма і накладна) для кожного товару?
Рішення
Потрібно розрахувати суму прямих і накладних витрат по кожному виробу. Прямі витрати відомі. Окремі накладні витрати невідомі, але їх можна розрахувати за допомогою пропорції загальних накладних витрат. У вас є три невідомі, а саме: шоколад над головою (Co), вафлі над головою (Wo) та нуга над головою (No).
Що ви вже знаєте
Ви маєте деяку інформацію про прямі витрати та накладні витрати:
Шоколад прямий (\(Cd\)) = $743 682
Вафлі прямі (\(Wd\)) = $2,413,795
Пряма нуга (\(Nd\)) = $347,130
Загальні накладні витрати = $721,150
Як ви туди потрапите
Крок 1: Налаштуйте пропорцію.
Крок 2: Вставте прихований термін.
Крок 3: Виберіть два терміни, що містять одну невідому змінну, і висловіть у дробовому форматі. Почати можна з шоколаду над головою, або\(Co\).
Крок 4: Ізолюйте невідому змінну.
Крок 5: Виберіть ще два терміни, що містять іншу невідому змінну, і висловіть у дробовому форматі, перш ніж ізолювати невідому змінну. Приступайте до накладних вафель, або\(Wo\).
Крок 6: Виберіть ще два терміни, що містять іншу невідому змінну, і висловіть у дробовому форматі, перш ніж ізолювати невідому змінну. Приступайте до нуги над головою, або\(No\).
Крок 7: Підсумуйте прямі та накладні витрати на кожен товар.
Виконувати
Крок 1:
\[Cd : Wd : Nd=Co : Wo : No\nonumber \]
\[\$ 743,682 : \$ 2,413,795 : \$ 347,130=Co : Wo : No\nonumber \]
Крок 2:
\[\$ 743,682 : \$ 2,413,795 : \$ 347,130 : \text { Total direct costs }=Co : Wo : No : \$ 721,150\nonumber \]
Розрахуйте загальні прямі витрати як суму всіх трьох прямих витрат:
\[\text { Total direct costs }=\$ 743,682+\$ 2,413,795+\$ 347,130=\$ 3,504,607\nonumber \]
Пропорція тепер:
\[\$ 743,682 : \$ 2,413,795 : \$ 347,130 : \$ 3,504,607=Co : Wo : No : \$ 721,150\nonumber \]
Крок 3:
\[\dfrac{\$ 743,682}{\$ 3,504,607}=\dfrac{Co}{\$ 721,150}\nonumber \]
Крок 4:
\[\$ 153,028.93=Co\nonumber \]
Крок 5:
\[\begin{aligned} \dfrac{\$ 2,413,795}{\$ 3,504,607}&=\dfrac{Wo}{\$ 721,150}\\ \$ 496,691.43=Wo \end{aligned}\nonumber \]
Крок 6:
\[\begin{aligned} \dfrac{\$ 347,130}{\$ 3,504,607}&=\dfrac{No}{\$ 721,150}\\ \$ 71,429.64&=No \end{aligned}\nonumber \]
Крок 7:
\[\text { Chocolate total cost }=\$ 743,682.00+\$ 153,028.93=\$ 896,710.93\nonumber \]
\[\text { Wafer total cost }=\$ 2,413,795.00+\$ 496,691.43=\$ 2,910,486.43\nonumber \]
\[\text { Nougat total cost }=\$ 347,130.00+\$ 71,429.64=\$ 418,559.64\nonumber \]
Зібравши прямі витрати з виділеними накладними витратами, загальна вартість шоколаду становить 896 710,93 доларів, вафлі - $2 910,486,43, а нуга - $418 559,64.