3.1: Відсоток зміни (ми вгору чи вниз?)
- Page ID
- 66763
По дорозі на роботу ви помічаєте, що ціна бензину приблизно на 10% вище, ніж була минулого місяця. В офісі звіти вказують на те, що витрати на введення знизилися на 5,4%, а продажі зросли на 3,6% в порівнянні з минулим роком. Ваш начальник просить вас проаналізувати зміни продажів у галузі за роком та подати звіт. Під час перерви на каву ви переглядаєте денні електронні листівки в папці «Вхідні». Home Depot - це реклама, що всі садові меблі на цьому тижні знижка 40%; Оголошення Safeway говорить, що вівторок - це 10% вихідний день; і історія Globe and Mail повідомляє вам, що вартість життя зросла на 3% з минулого року. Потім ви входите на свій рахунок фінансових послуг, де ви раді виявити, що взаємні фонди у вашому RRSP зросли на 6,7% в порівнянні з минулим роком. Що ви збираєтеся робити з усією цією інформацією?
Розуміння того, як дані змінюються від одного періоду до наступного, є критичною бізнес-навичкою. Це дозволяє швидко оцінити, чи покращуються справи чи погіршуються. Це також дозволяє легко порівнювати зміни в різних типах даних з плином часу. У цьому розділі досліджується поняття процентної зміни, що дозволяє обчислити зміну між двома пунктами часу. Потім вводиться швидкість зміни з плином часу, яка дозволяє визначити зміну за період, коли в розрахунку беруть участь кілька пунктів часу.
Відсоток зміни
Може бути важко зрозуміти зміну, коли вона виражається в абсолютному вираженні. Чи можете ви з першого погляду сказати, наскільки хороша угода придбати футон за 359 доларів за 215,40 доларів? Також може бути важко зрозуміти зміну, коли вона виражається у відсотках від його кінцевого результату. Ви отримуєте хорошу угоду, якщо цей футон $215.40 становить 60% від звичайної ціни? Те, що більшості людей легше зрозуміти, - це зміна, виражена у відсотках від початкової суми. Ви отримуєте хорошу угоду, якщо цей футон у розмірі 359 доларів продається зі знижкою 40%? Зміна відсотків виражає у відсотках, наскільки будь-яка кількість змінюється від початкового періоду до кінцевого періоду.
Формула
Щоб обчислити процентне зміна змінної, потрібно знати початкове число і кінцеве число. Як тільки ви це знаєте, Формула 3.1 (див. Малюнок нижче) представляє, як висловити зміну у відсотках.
Запам'ятайте два критичних поняття про зміну відсотків:
- Не включайте початкову кількість до зміни. Відсоток зміни являє собою зміни величин, а не величин самих величин. Початкова кількість не враховується до зміни відсотків. Тому, якщо будь-яка кількість подвоюється, її процентна зміна становить 100%, а не 200%. Наприклад, якщо стара кількість становила 25, а нова - 50, зверніть увагу, що кількість збільшилася вдвічі. Однак 25 з остаточних 50 походить від початкової суми і тому не зараховується до зміни. Віднімаємо його з чисельника через обчислення 50 − 25 = 25. Тому зміна у відсотках є\(\dfrac{50-25}{25} \times 100=100 \%\) Те ж саме стосується потроєння кількості. Якщо наша нова величина дорівнює 75 (що втричі перевищує стару кількість 25), то\(\dfrac{75-25}{25} \times 100=200 \%\) початкове значення 25 знову віднімається з чисельника. Оригінальні 100% завжди видаляються з формули.
- Негативні зміни. Негативна зміна має виражатися негативним знаком або еквівалентною формулюванням. Наприклад, якщо стара кількість становила 20, а нова - 15, це зменшення на 5, або зміна 15 − 20 = −5. Відсоток зміни є\(\dfrac{15-20}{20} \times 100=-25 \%\). Будьте обережні у вираженні негативного відсотка зміни. Є два правильних способи зробити це правильно:
- «Зміна становить − 25%».
- «Він зменшився на 25%».
Зверніть увагу в другому твердженні, що слово «зменшився» замінює негативний знак. Щоб уникнути плутанини, не поєднуйте негативний знак зі словом «зменшився» —нагадаємо, що два негативи роблять позитивним, тому «Він зменшився на − 25%» фактично означатиме, що кількість збільшилася на 25%.
Як це працює
Щоб вирішити будь-яке питання щодо зміни відсотків, виконайте наступні дії:
Крок 1: Зверніть увагу, що у формулі є три змінні. Визначте дві відомі змінні та одну невідому змінну.
Крок 2: Вирішіть для невідомої змінної за допомогою Формули 3.1.
Припустимо, минулого місяця ваші продажі були\(\$10,000\), і вони зросли до\(\$15,000\) цього місяця. Ви хочете висловити процентну зміну продажів.
Крок 1: Відомі змінні\(Old = \$10,000\) і\(New = \$15,000\). Невідома змінна - зміна відсотків, або\(\Delta \%\).
Крок 2: Використовуючи формулу 3.1,
Зверніть увагу, що зміна продажів становити+5,000 доларів за місяць за місяць. Щодо продажів в 10 000 доларів минулого місяця, продажі цього місяця зросли на 50%.
Важливі примітки
Щоб отримати доступ до функції зміни відсотків на калькуляторі BAII Plus, натисніть 2nd\(\Delta \%\) розташований над цифрою 5 на клавіатурі. Завжди очищайте пам'ять будь-якого попереднього питання, натиснувши 2nd CLR Work, як тільки функція відкрита. Використовуйте\(\downarrow\) стрілки\(\uparrow\) і, щоб прокручувати чотири рядки цієї функції. Щоб вирішити невідому змінну, введіть три з чотирьох змінних і натисніть клавішу Enter. З невідомою змінною на дисплеї натисніть CPT. Кожна змінна в калькуляторі виглядає наступним чином:
- OLD = Стара або початкова кількість; число, яке представляє початкову точку
- NEW = Нова або поточна кількість; число для порівняння з початковою точкою
- %CH = Зміна відсотків, або Δ% у форматі відсотків без знака%
- #PD = Кількість послідовних періодів для зміни. За замовчуванням встановлено значення 1. Поки що не чіпайте цю змінну. Пізніше в цьому розділі, коли ми покриємо швидкість зміни з часом, ця змінна буде пояснена.
Речі, на які слід остерігатися
Слідкуйте за двома поширеними труднощами, пов'язаними зі змінами відсотків.
- Ставки проти процентних змін. Іноді вас можуть заплутати, чи стосуються питання ставок (Розділ 2.3) або зміни відсотків. Нагадаємо, що ставка виражає взаємозв'язок між порцією і базою. Шукайте деякі ідентифікатори ключів, такі як «is/are» (частина) та «of» (основа). Для зміни відсотків ключовими ідентифікаторами є «by» або «ніж». Наприклад, "\(x\)збільшився на\(y\%\)" і "\(x\)\(y\%\)більше, ніж минулого року» обидва представляють собою процентну зміну.
- Математичні операції. Ви можете уявити, що ви повинні додавати або віднімати відсотки змін, але ви не можете цього зробити. Пам'ятайте, що відсотки походять від дробів. Згідно з правилами алгебри, додавати або віднімати дроби можна тільки в тому випадку, якщо вони мають одну і ту ж основу (знаменник). Наприклад, якщо інвестиція збільшується в ціні в перший рік на 10%, а потім знижується в другому році на 6%, це не є загальним збільшенням\(10 \%-6 \%=4 \%\). Чому? Якщо у вас спочатку було\(\$100\), збільшення\(10\%\) (що\(\$100 \times 10\% = \$10)\) призводить до кінця першого року.\(\$110\) Ви повинні розрахувати\(6\%\) зниження на другий рік, використовуючи\(\$110\) баланс, а не оригінал\(\$100\). Це зниження\(\$110 \times (−6\%) = −\$6.60\), що призводить до остаточного балансу\(\$103.40\). Загалом, зміна відсотків є\(3.4\%\).
Шляхи до успіху
Зміна відсотків розширює ставки, порції та базові розрахунки, наведені в розділі 2.3. Первинна відмінність полягає в порції. Замість того, щоб частина була частиною цілого, порція являє собою зміну цілого. Поставивши дві формули поруч, можна розрахувати ставку, використовуючи будь-який підхід.
\[\text { Rate }=\dfrac{\text { Portion }}{\text { Base }}=\dfrac{\text { New }-\text { Old }}{\text { Old }}\nonumber \]
- Минуло п'ять років з тих пір, як Хуан пішов за покупками нового автомобіля. Під час першого візиту до автопарку він мав шок наклейки, коли зрозумів, що ціни на нові автомобілі зросли приблизно на 20%. З чим пов'язана ця ситуація?
- Відсоток зміни
- Норма, порція, база
- Мануель мав свій будинок звичай побудований в 2006 році за $300,000. У 2014 році він був професійно оцінений в $440 000. Він хоче розібратися, наскільки цінував його будинок. Як би він це зробив?
- Ціна 2006 року - «Нова», а ціна 2014 року - «Стара».
- Ціна 2006 року - «Стара», а ціна 2014 року - «Нова».
- Відповідь
-
- a (питання стосується того, як змінилися ціни на автомобілі; зверніть увагу на ключове слово «by»)
- б (ціна 2006 - це те, що будинок раніше коштував, яка є старою кількістю; 2014 ціна являє собою нову вартість будинку)
У 1982 році середня ціна нового автомобіля, що продається в Канаді, становила 10 668 доларів. До 2009 року середня ціна нового автомобіля зросла до 25 683 доларів. На який відсоток змінилася ціна нового автомобіля за ці роки?
Рішення
Ви намагаєтеся знайти відсоток зміни ціни на новий автомобіль, або\(∆\%\).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Ви знаєте старі і нові ціни на автомобілі:
Старий = $10,668, Новий = $25,683
Як ви туди потрапите
Крок 2:
Застосувати Формулу 3.1.
Виконувати
Крок 2:
\[\begin{aligned} \Delta \% &=\dfrac{\$ 25,683-\$ 10,668}{\$ 10,668} \times 100 \\ &=\dfrac{\$ 15,015}{\$ 10,668} \times 100\\ &=140.748 \% \end{aligned}\nonumber \]
Інструкція калькулятора
| СТАРИЙ | НОВІ | %CH | #PD |
|---|---|---|---|
| 10668 | 25683 | Відповідь: 140.748031 | 1 |
З 1982 по 2009 рік середні ціни на нові автомобілі в Канаді зросли на 140,748%.
При покупці роздрібного товару податок збільшує ціну товару. Якщо ви купуєте машину Bowflex Classic Home Gym за $799.00 в Онтаріо, вона підлягає 13% HST. Яку суму ви платите за Bowflex, включаючи податки?
Рішення
Ви шукаєте ціну Bowflex після збільшення її за рахунок податку з продажів. Це «Нова» ціна на Bowflex.
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Ви знаєте початкову ціну машини і скільки збільшити її на:
\(\text { Old }=\$ 799.00 \quad \Delta \%=13 \%\)
Як ви туди потрапите
Крок 2:
Застосувати формулу 3.1:\(\Delta \%=\dfrac{\text { New }-\text { Old }}{\text { Old }} \times 100\)
Виконувати
Крок 2:
\ [\ почати {вирівняний}
&13\ %=\ dfrac {\ текст {Новий} -\ $799} {\ $799}\ раз 100\\
&0.13=\ dfrac {\ текст {Новий} -\ $799} {\\ $799}\\
&\ $ 103.87=\ текст {Новий} - $\ 799\\\\\
\\ 902.87=\ текст {Новий}
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]
Інструкція калькулятора
| СТАРИЙ | НОВІ | %CH | #PD |
|---|---|---|---|
| 799 | Відповідь: 902.87 | 13 | 1 |
Ціна Bowflex, після збільшення ціни на податки 13%, становить 902,87 долара.
Споживачі часто заперечують проти зміни цін на багато щоденних продуктів, хоча інфляція та інші зміни витрат можуть виправдати ці збільшення. Щоб знизити стійкість до зростання цін, багато виробників одночасно коригують як ціни, так і розміри продукції. Наприклад, звичайна ціна продажу пляшки шампуню становила $5,99 за 240 мл. Щоб врахувати зміни вартості, виробник вирішив змінити ціну до $5,79, але також зменшити розмір флакона до 220 мл. Яким був відсоток зміни ціни за мілілітр?
Рішення
Потрібно знайти відсоток зміни ціни за мілілітр, або\(\Delta \%\).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Ви знаєте стару ціну та розмір пляшки, а також заплановану ціну та розмір пляшки:
\[\begin{array}{ll}{\text { Old price }=\$ 5.99} & {\text { Old size }=240 \mathrm{mL}} \\ {\text { New price }=\$ 5.79} & {\text { New size }=220 \mathrm{mL}}\end{array}\nonumber \]
Як ви туди потрапите
Крок 1 (продовження):
Перетворіть ціну та розмір в ціну за мілілітр, взявши ціну та розділивши на розмір.
Крок 2:
Застосувати Формулу 3.1.
Виконувати
Крок 1:
\[\dfrac{\text { Old price }}{\text { Old size }}=\dfrac{\$ 5.99}{240 \mathrm{mL}}=\$ 0.024958 \text{ per } \mathrm{mL}\nonumber \]
\[\dfrac{\text { New price }}{\text { New size }}=\dfrac{\$ 5.79}{220 \mathrm{mL}}=\$ 0.026318 \text { per } \mathrm{mL}\nonumber \]
Крок 2:
\[\begin{array}{ll}{\Delta \%} & {=\dfrac{\$ 0.026318-\$ 0.024958}{\$ 0.024958} \times 100} \\ { } & {=\dfrac{\$ 0.001359}{\$ 0.024958} \times 100=5.4485 \%}\end{array}\nonumber \]
Інструкція калькулятора
| СТАРИЙ | НОВІ | %CH | #PD |
|---|---|---|---|
| \(5.99 \div 240=\) | \(5.79 \div 200=\) | Відповідь: 5.4484 | 1 |
Ціна за мл зросла на 5,4485%. Зауважте, що споживачеві здавалося б, ніби ціна була знижена з $5,99 до $5,79, оскільки більшість споживачів не помітили б зміни розміру пляшки.
Швидкість змін з плином часу
Зміна відсотків вимірює зміну змінної від початку до кінця в цілому. Він заснований на припущенні, що відбувається лише одна зміна. Що відбувається, коли кінцеве число є результатом декількох змін, і ви хочете знати типове значення кожної зміни? Наприклад, населення столичного району Торонто (CMA) зросла з 4 263 759 у 1996 році до 5 113 149 у 2006 році. Яке щорічне процентне зростання населення це відображає? Зверніть увагу, що ми не зацікавлені в обчисленні зміни чисельності населення протягом 10 років; замість цього ми хочемо визначити процентну зміну в кожному з 10 років. Швидкість зміни з плином часу вимірює процентну зміну змінної за період часу.
Формула
Обчислення швидкості зміни з часом не так просто, як розділити відсоток зміни на кількість задіяних часових періодів, тому що ви повинні враховувати зміну для кожного періоду часу відносно іншої початкової кількості. Наприклад, у переписі населення Торонто зміна відсотків з 1996 по 1997 рік базується на початковому розмірі населення 4 263 759. Однак зміна відсотків з 1997 по 1998 рік базується на новому показнику чисельності населення за 1997 рік. Таким чином, навіть якщо в обидва роки в місті було додано однакову кількість людей, зміна відсотка на другий рік менше, оскільки чисельна база населення стала більшою після першого року. В результаті, коли вам потрібна зміна відсотків за період часу, ви повинні використовувати Формулу 3.2.
Як це працює
Коли ви працюєте з будь-якою швидкістю зміни з плином часу, виконайте такі дії:
Крок 1: Визначте три відомі змінні та одну невідому змінну.
Крок 2: Вирішіть для невідомої змінної за допомогою Формули 3.2.
Важливі примітки
На вашому калькуляторі обчисліть швидкість зміни з плином часу за допомогою функції percent change (\(\Delta \%\)). Раніше ми ігнорували змінну #PD у функції, і їй завжди присвоювалося значення 1. За швидкістю зміни ця змінна така ж, як і\(n\) в нашому рівнянні. Тому, якщо наше питання стосувалося 10 змін, таких як щорічна зміна населення Торонто CMA з 1996 по 2006 рік, то ця змінна встановлюється на 10.
Шляхи до успіху
Можливо, вам буде важко вибрати, яку формулу використовувати: зміна відсотків або швидкість зміни з плином часу. Щоб розрізнити ці два, врахуйте наступне:
- Якщо ви шукаєте загальну швидкість зміни від початку до кінця, вам потрібно розрахувати процентну зміну.
- Якщо ви шукаєте швидкість зміни за інтервал, потрібно розрахувати швидкість зміни з плином часу.
Зрештою, формула зміни відсотків є спрощеною версією швидкості зміни з плином часу формули де\(n = 1\). Таким чином, ви можете вирішити будь-яке питання щодо зміни відсотків за допомогою Формули 3.2 замість Формули 3.1.
Для кожного з наступних розрізнити, чи слід вирішувати питання за формулою зміни відсотків або за швидкістю зміни за часом формулою.
- Коли Peewee почав п'ятиконтактний боулінг з молодіжним боулінгом Канади (YBC) в 1997 році, його середній показник становив 53. У 2011 році він закінчив свій останній рік YBC в середньому 248. Як змінився його середній показник з 1997 по 2011 рік?
- Акція була оцінена в $4,34 за акцію в 2006 році і досягла $7,15 за акцію в 2012 році. Яку річну прибутковість усвідомив акціонер?
- У 2004 році загальний обсяг продажів досяг 1,2 мільйона доларів. До 2010 року продажі зросли до $4,25 млн. Яке зростання продажів за рік?
- Відповідь
-
- Відсоток зміни; шукаємо загальні зміни
- Швидкість зміни з плином часу; шукаємо зміни на рік
- Швидкість зміни з плином часу; шукаємо зміни на рік
Використовуючи інформацію Торонто CMA, де населення зросло з 4 263 759 в 1996 році до 5 113 149 в 2006 році, підрахуйте щорічний відсоток зростання населення.
Рішення
Нам потрібно розрахувати відсоток зміни за рік, який є темпом зміни з плином часу, або\(RoC\).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Ми знаємо початкові та кінцеві числа для населення разом із часовими рамками.
Старий = 4,263,759, Новий = 5,113,149
\(n = 2006 − 1996 = 10\)років
Як ви туди потрапите
Крок 2:
Застосувати формулу 3.2.
Виконувати
Крок 2:
\ [\ почати {вирівняний}
ROC&=\ ліворуч (\ sqrt [10] {\ dfrac {5,113,149}} {4,263,759}} -1\ вправо)\ раз 100\\\
& = (\ sqrt [10] {1.199211} -1)\ раз 100\\\ раз 100\\\
&=1.8332\%
\ кінець {
вирівняні}\ nonumber\]
Інструкція калькулятора
| СТАРИЙ | НОВІ | %CH | #PD |
|---|---|---|---|
| 4263759 | 5113149 | Відповідь: 1.833244 | 10 |
За 10-річний період з 1996 по 2006 рік CMA Торонто виріс в середньому на 1.8332% на рік.
Кендра збирає хокейні карти. У своїй колекції вона має карту нового року Уейн Гретцкі в м'ятному стані. Балансова вартість карти варіюється в залежності від попиту на карту і її стану. Якщо розрахункова балансова вартість карти впала на 84 долари в перший рік, а потім зросла на 113 доларів на другий рік, визначте наступне:
- Яка зміна відсотків кожного року, якщо карта оцінюється в $1,003,33 наприкінці першого року?
- Протягом двох років, яким був загальний відсоток зміни вартості карти?
- Якою була швидкість змін за рік?
Рішення
Потрібно дати чотири відповіді на питання і знайти відсоток зміни в 1 році, або\(∆\%_1\), потім відсоток зміни в році 2, або\(∆\%_2\). Використовуючи ці перші два рішення, ми розраховуємо як загальний відсоток зміни за обидва роки\(∆\%_{\text{overall}}\), або, так і швидкість змін на рік, або\(RoC\).
Що ви вже знаєте
Крок 1:
Ми знаємо ціну картки наприкінці першого року, а також про те, як вона змінювалася щороку.
Ціна на кінець першого року = $1,003,33
Зміна ціни за перший рік = −$84
Зміна ціни за другий рік = $113
Як ви туди потрапите
Крок 2: Розрахуйте ціну на початку першого року.
Крок 3: Для зміни відсотків у році 1 застосуйте Формулу 3.1:\(\Delta \%_{1}\)
Крок 4: Розрахуйте ціну в кінці другого року.
Крок 5: Для зміни відсотків у 2-му році застосуйте Формулу 3.1:\(\Delta \%_{2}\)
Крок 6: Для загальної зміни відсотків візьміть стару ціну на початку першого року та порівняйте її з новою ціною наприкінці другого року.
Застосувати формулу 3.1:\(∆\%_{\text{overall}} \)
Крок 7: Обчисліть швидкість зміни протягом двох років, використовуючи ті ж дві ціни, але застосуйте Формулу 3.2.
Виконувати
Крок 2:
\[\text{New}=\text{Old}+\text { Change; } \quad \$ 1,003.33=\text{Old}-\$ 84.00 ; \quad \$ 1,087.33=\text{Old}\nonumber \]
Крок 3:
\[\Delta \%_{1}=\dfrac{\$ 1,003.33-\$ 1,087.33}{\$ 1,087.33} \times 100=-7.7253 \%\nonumber \]
Крок 4:
\[\text { New }=\text{Old}+\text { Change }=\$ 1,003.33+\$ 113=\$ 1,116.33\nonumber \]
Крок 5:
\[\Delta \%_{2}=\dfrac{\$ 1,116 \cdot 33-\$ 1,003.33}{\$ 1,003.33} \times 100=11.2625 \%\nonumber \]
Крок 6:
\[\Delta \%_{\text {overall }}=\dfrac{\$ 1,116.33-\$ 1,087.33}{\$ 1,087.33} \times 100=2.6671 \%\nonumber \]
Крок 7:
\[RoC=(\sqrt[2]{\dfrac{\$ 1,116 \cdot 33}{\$ 1,087 \cdot 33}}-1) \times 100=1.3248 \%\nonumber \]
Інструкція калькулятора
| Розрахунок | СТАРИЙ | НОВІ | %CH | #PD |
|---|---|---|---|---|
| Рік 1 | 1087.33 | 1003.33 | Відповідь: -7.725345 | 1 |
| Рік 2 | 1003.33 | 1116.33 | Відповідь: 11.262495 | 1 |
| Обидва роки | 1087.33 | 1116.33 | Відповідь: 2.667083 | 1 |
| RoC | 1087.33 | 1116.33 | Відповідь: 1.324766 | 2 |
Вартість хокейної карти знизилася на 7,7253% в перший рік і зросла на 11,2625% у другому році. Загалом, картка зросла на 2.6671% протягом обох років, що являє собою зростання на 1.3248% щороку.