Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.6: Природні логарифми (Як я можу отримати цю змінну з показника?)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66717

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ваші інвестиції заробляють складні відсотки в розмірі 6% на рік. Вам цікаво, скільки часу буде потрібно, щоб подвоїти в ціні. Відповідаючи на це питання, потрібно вирішити рівняння, в якому невідома змінна знаходиться в експоненті замість базової позиції. Щоб знайти відповідь, потрібні логарифми, які розглянуті в цьому розділі і будуть застосовані в Главі 9 і Главі 11.

    логарифми

    Логарифм визначається як показник, до якого база повинна бути піднята для отримання певної потужності. Хоча база може приймати будь-яке значення, найчастіше використовуються два значення для бази.

    1. Базове значення 10. Це називається загальним логарифмом. Таким чином, якщо у вас є\(10^2 = 100\), то 2 - загальний логарифм 100 і це пишеться як\(\log_{10}(100) = 2\), або просто\(\log(100) = 2\) (можна припустити 10, якщо основа не записана). Формат загального логарифма потім можна підсумувати як

    \[\text {log (power) }=\text { exponent }\nonumber \]

    \[\text { If you have } 10^{x}=y, \text { then } \log (y)=x.\nonumber \]

    1. Базове значення e. Це називається натуральним логарифмом. У математиці існує відома константа\(e\), яка є незавершеним десятковим і має приблизне значення\(e = 2.71828182845\). Якщо у вас є\(e^3 = 20.085537\), то 3 - натуральний логарифм 20.085537 і ви пишете це як\(ln(20.085537) = 3\). Формат натурального логарифма потім підсумовується як:

    \[\ln (\text { power })=\text { exponent }\nonumber \]

    \[\text { If you have } e^{4}=54.59815, \text { then } \ln (54.59815)=4.\nonumber \]

    Загальні логарифми використовувалися в минулому, коли калькулятори не були оснащені силовими функціями. Однак з появою комп'ютерів і просунутих калькуляторів, які мають силові функції, природний логарифм зараз є найбільш часто використовуваним форматом. Звідси цей підручник зосереджується лише на природних логарифмах.

    Властивості природних логарифмів

    Природні логарифми володіють шістьма властивостями:

    1. Натуральний логарифм 1 дорівнює нулю. Наприклад, якщо 1 - потужність, а 0 - показник, то у вас є\(e^0 = 1\). Це підпорядковується законам експонентів, розглянутих у розділі 2.4 цієї глави.
    2. Натуральний логарифм будь-якого числа, більшого за 1, є додатним числом. Наприклад, натуральний логарифм 2 дорівнює 0,693147, або\(e^{0.693147} = 2\).
    3. Натуральний логарифм будь-якого числа менше 1 є від'ємним числом. Наприклад, натуральний логарифм 0,5 дорівнює\(−0.693147\), або\(e^{−0.693147} = 0.5\). Подібно до властивості 1, це підпорядковується законам експонентів, розглянутих у розділі 2.4\(e^{−0.693147} = \dfrac{1}{e^{0.693147}}\), де завжди виробляє належний дріб.
    4. Натуральний логарифм не може бути меншим або рівним нулю. Оскільки e є додатним числом з показником, немає значення показника, яке може виробляти потужність нуля. Так само не можна виробляти негативне число, коли база позитивна.
    5. Натуральний логарифм частки двох позитивних чисел дорівнює\(\bf{\ln \left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln (x)-\ln (y)}\). Наприклад,

    \[\ln \left(\dfrac{\$ 20,000}{\$ 15,000}\right)=\ln (\$ 20,000)-\ln (\$ 15,000).\nonumber \]

    \[\ln (1 . \overline{3})=9.903487-9.615805\nonumber \]

    \[0.287682=0.287682\nonumber \]

    1. Натуральний логарифм степеня позитивної бази дорівнює\(\bf{\ln \left(x^{y}\right)=y(\ln x)}\). Ця властивість дозволяє перемістити показник вниз в базу. Ви застосовуватимете цю властивість, особливо в главі 9 та главі 11. Демонструючи цей принцип,

    \[\begin{aligned} \ln \left(x^{y}\right) &=y(\ln x) \\ \ln \left(1.05^{6}\right) &=6 \times \ln (1.05) \\ \ln (1.340095) &=6 \times 0.048790 \\ 0.292741 &=0.292741 \end{aligned}\nonumber \]

    Важливі примітки

    clipboard_e8901f9a6a4758dbedbf93c3e35c65c25.png

    Застосування природних логарифмів на калькуляторі TI BAII Plus вимагає двох кроків.

    1. Вводимо потужність.
    2. Коли живлення все ще знаходиться на дисплеї, натисніть клавішу LN, розташовану в лівій колонці клавіатури. Рішення на дисплеї - це значення показника. Якщо ввести неможливе значення для натурального логарифма, на екрані відобразиться повідомлення «Помилка 2".

    Якщо ви знаєте показник і хочете дізнатися силу, пам'ятайте про це\(e^x = \text {power}\). Це називається функцією анти-лог. Таким чином, якщо ви знаєте показник дорівнює 2, то\(e^2 = 7.389056\). На вашому калькуляторі антилог може розташовуватися на другій полиці безпосередньо над кнопкою LN. Щоб отримати доступ до цієї функції, спочатку натисніть клавішу в експоненті, а потім натисніть\(2^{nd} e^x\).

    Шляхи до успіху

    Вам не доведеться запам'ятовувати математичну постійну величину\(e\). Якщо вам потрібно згадати це значення, використовуйте показник 1 і зверніться до\(e^x\) функції. Отже,\(e^1 = 2.71828182845\).

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Give It Some Thought

    Для кожної з наступних ступенів визначте, чи натуральний логарифм є позитивним, негативним, нульовим або неможливим.

    1. 2.3
    2. 1
    3. 0,45
    4. 0,97
    5. −2
    6. 4.83
    7. 0
    Відповідь
    1. позитивний (властивість 2)
    2. нуль (Нерухомість 1)
    3. негативний (властивість 3)
    4. негативний (властивість 3)
    5. неможливо (Майно 4)
    6. позитивний (властивість 2)
    7. неможливо (властивість 4)
    Приклад\(\PageIndex{1}\): Applying Natural Logarithms and Properties

    Вирішіть перші два питання за допомогою калькулятора. Для наступних двох питань продемонструйте відповідне властивість.

    1. \(\ln(2.035)\)
    2. \(\ln(0.3987)\)
    3. \(\ln \left(\dfrac{\$ 10,000}{\$ 6,250}\right)\)
    4. \(\ln \left[(1.035)^{12}\right]\)

    Рішення

    Потрібно застосувати властивості натуральних логарифмів.

    Що ви вже знаєте

    Відомі властивості природних логарифмів.

    Як ви туди потрапите

    1. Застосувати властивість 2 і ключ це через калькулятор.
    2. Застосувати властивість 3 і ключ це через калькулятор.
    3. Застосовувати майно 5,\(\ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln (x)-\ln (y)\).
    4. Застосувати майно 6,\(\ln \left(x^{y}\right)=y(\ln x)\)

    Виконувати

    1. \(\ln(2.035) = 0.710496\)
    2. \(\ln(0.3987) = −0.919546\)
    3. \(\begin{aligned} \ln \left(\dfrac{\$ 10,000}{\$ 6,250}\right)&=\ln (\$ 10,000)-\ln (\$ 6,250) \\ \ln (1.6)&=9.210340-8.740336 \\ 0.470004&=0.470004 \end{aligned} \)
    4. \ (\ почати {вирівняний}
      \ ln\ ліворуч [(1.035) ^ {12}\ праворуч] &= 12\ разів\ ln (1.035)\
      \ ln (1.511068) &= 12\ разів 0.034401\\
      0.412817&= 0.412817
      \ кінець {вирівняний}\)

    Інструкція калькулятора

    Відповідь
    а. 2.035 ПН 0,710496
    б. 0,3987 ПН -0.919546
    c. \(10000 \div 6250=\) ПН 0.470004
    д. \(1.035 y^x 12=\) ПН 0,412817

    Організація відповідей у більш поширений формат:

    1. \(e^{0.710496}=2.035\)
    2. \(e^{-0.919546}=0.3987\)
    3. \(\ln \left(\dfrac{\$ 10,000}{\$ 6,250}\right)=0.470004\)(як доведено майном)
    4. \(\ln \left[(1.035)^{12}\right]=0.412817\)(як доведено майном)

    Автори та авторства