2.5: Лінійні рівняння - маніпулювання та рішення (рішення головоломки)
- Page ID
- 66709
Ви ходите по магазинах на Старий флот для семи нових нарядів. Цінові бали становлять $10 і $30. Вам дуже подобаються наряди $30; однак, ваш загальний бюджет не може перевищувати $110. Як ви витрачаєте $110, щоб придбати всі необхідні наряди, не перевищуючи свій бюджет, отримуючи якомога більше $30 предметів?
Це проблема лінійних рівнянь, і вона ілюструє, як їх можна використовувати для прийняття оптимального рішення. Нехай\(L\) представляють кількість одягу за низькою ціною $10, і\(H\) представляють кількість одягу при високій ціні $30. Це призводить до отримання наступних алгебраїчних рівнянь:
\[L+H=7 \text { (the total number of outfits you need) }\nonumber \]
\[\$ 10 L+\$ 30 H=\$ 110 \text { (your total budget) }\nonumber \]
Одночасно вирішуючи ці рівняння, ви можете визначити, скільки нарядів в кожній ціновій точці ви можете придбати.
Ви зіткнетеся з багатьма подібними ситуаціями у вашій діловій кар'єрі, наприклад, у найкращому використанні виробничих потужностей виробника. Припустимо, що ваша компанія виробляє два продукти на одній виробничій лінії і продає всю свою продукцію. Кожен продукт по-різному сприяє вашій прибутковості, і кожен продукт займає різну кількість часу на виготовлення. Яку комбінацію кожного з цих продуктів ви повинні зробити таким, щоб ви експлуатували свою виробничу лінію на потужності, а також максимізуючи отриманий прибуток? У цьому розділі розглядається спосіб розв'язання лінійних рівнянь для невідомих змінних.
Розуміння рівнянь
Щоб маніпулювати алгебраїчними рівняннями та розв'язувати невідомі змінні, спочатку потрібно ознайомитися з деякою важливою мовою, включаючи лінійні та нелінійні рівняння та сторони рівняння.
Мета маніпулювання та вирішення лінійного рівняння полягає в тому, щоб знайти значення для невідомої змінної, яка робить рівняння істинним. Якщо ви підставите значення\(x = −1\) до наведеного вище прикладу, ліва частина рівняння дорівнює правій частині рівняння (див. Рисунок нижче). Значення\(x = −1\) відоме як корінь, або рішення, до лінійного рівняння.
Розв'язування одного лінійного рівняння з однією невідомою змінною
У вашому дослідженні розв'язування лінійних рівнянь вам потрібно почати з маніпулювання одним рівнянням для вирішення однієї невідомої змінної. Пізніше в цьому розділі ви перейдете від цього фундаменту до розв'язання двох лінійних рівнянь з двома невідомими.
Як це працює
Щоб визначити корінь лінійного рівняння лише з однією невідомою змінною, застосуйте наступні кроки:
Крок 1: Ваша перша мета - відокремити терміни, що містять буквальний коефіцієнт, від термінів, які мають лише числові коефіцієнти. Зібрати всі члени з буквальними коефіцієнтами тільки на одній стороні рівняння і зібрати всі члени з тільки числовими коефіцієнтами на іншій стороні рівняння. Не має значення, які члени йдуть на якій стороні рівняння, доки ви їх відокремлюєте.
Щоб перемістити член з однієї сторони рівняння в іншу, візьміть математичну протилежність переміщуваному терміну і додайте його в обидві сторони. Наприклад, якщо ви хочете перемістити +3 в\(4x + 3 = −2x − 3\) з лівого боку на правий бік, математична протилежність +3 дорівнює −3. Коли ви рухаєте термін, пам'ятайте про кардинальне правило: Що ви робите з однієї сторони рівняння, ви також повинні зробити з іншою стороною рівняння. Порушення цього правила порушує рівність у рівнянні.
Крок 2: Об'єднайте всі подібні терміни з кожного боку і спростіть рівняння відповідно до правил алгебри.
Крок 3: У терміні, що містить буквальний коефіцієнт, зменшіть числовий коефіцієнт до 1, розділивши обидві сторони рівняння на числовий коефіцієнт.
Важливі примітки
Коли ви не впевнені, чи точний обчислений корінь, простий спосіб перевірити свою відповідь - взяти вихідне рівняння та замінити корінь замість змінної. Якщо у вас правильний корінь, ліва частина рівняння дорівнює правій частині рівняння. Якщо у вас неправильний корінь, дві сторони будуть нерівні. Нерівність, як правило, є результатом однієї з трьох найпоширеніших помилок алгебраїчних маніпуляцій:
- Правила BEDMAS були порушені.
- Правила алгебри були порушені.
- Те, що було зроблено з однієї сторони рівняння, не було зроблено з іншою стороною рівняння.
Речі, на які слід остерігатися
Коли ви переміщуєте член з однієї сторони рівняння в іншу за допомогою множення або ділення, пам'ятайте, що це впливає на кожен член по обидва боки рівняння. Щоб видалити\(x\) зі знаменника в наступному рівнянні, помножте обидві сторони рівняння на\(x\):
\(\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x}+2\)стає\(x\left(\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x}\right)=\left(\dfrac{2}{x}+2\right) x\), який потім стає\(5+1=2+2 x\)
Множення кожного члена з обох сторін на\(x\) підтримує рівність.
Шляхи до успіху
Негативні цифри можуть викликати у деяких людей багато горя. У рухомих термінів з певної сторони рівняння багато людей вважають за краще уникати негативних числових коефіцієнтів перед буквальними коефіцієнтами. Переглянувши\(4x + 3 = −2x − 3\), ви можете перемістити\(4x\) з лівого боку на праву сторону, віднімаючи\(4x\) з обох сторін. Однак з правого боку це призводить до\(−6x\). Негатив легко не помітити або випадково скинути на майбутніх кроках. Замість цього перемістіть змінну в ліву частину рівняння, отримавши позитивний коефіцієнт\(6x\).
Візьміть поточний приклад у цьому розділі та вирішіть його для\(x\):\(4x + 3 = −2x − 3\)
Рішення
Це лінійне рівняння, оскільки показник на змінній дорівнює 1. Ви повинні вирішити рівняння і знайти корінь для\(x\).
Що ви вже знаєте
Рівняння вже надано.
Як ви туди потрапите
Застосуйте три кроки для вирішення лінійних рівнянь. Щоб прийти до кореня, необхідно дотримуватися правил алгебри, BEDMAS і рівності.
Виконувати
Крок 1: Перемістіть терміни з буквальними коефіцієнтами в одну сторону, а терміни з лише числовими коефіцієнтами в іншу сторону. Зберемо буквальний коефіцієнт в лівій частині рівняння. \(−2x\)Переміщайтеся в ліву сторону, розмістивши\(+2x\) по обидва боки.
\[4x + 3 = −2x – 3 \nonumber \]
З правого боку,\(−2x\) і\(+2x\) скасувати до нуля.
\[4x + 3 (\bf{+ 2x}) = −2x − 3 (\bf{+ 2x}) \nonumber \]
Крок 1 (продовження): Усі терміни з буквальним коефіцієнтом тепер ліворуч. Переведемо всі терміни, що містять тільки числові коефіцієнти, в праву сторону. Перемістіть +3 праворуч, розмістивши −3 з обох сторін.
\[4x + 3 + 2x = −3 \nonumber \]
Ліворуч +3 і −3 скасовуються до нуля.
\[4x + 3 + 2x (\bf{– 3}) = −3 (\bf{− 3}) \nonumber \]
Крок 2: Терміни тепер розділені. Поєднуйте подібні терміни за правилами алгебри.
\[4x + 2x = −3 – 3 \nonumber \]
Крок 3: Термін з буквальним коефіцієнтом множиться на числовий коефіцієнт 6. Тому розділіть обидві сторони на 6.
\[\bf{6x = −6} \nonumber \]
Лівосторонні числові коефіцієнти поділяться на 1. Вирішіть числові коефіцієнти з правого боку.
\[\dfrac{6 x}{\bf{6}}=\dfrac{-6}{\bf{6}} \nonumber \]
Це корінь рівняння.
\[x = −1 \nonumber \]
Корінь рівняння є\(x = −1\). Щоб перевірити точність вашої маніпуляції, візьміть корінь\(x = −1\) і підставте його в вихідне рівняння:
\[4(−1) + 3 = −2(−1) − 3\nonumber \]
\[−4 + 3 = 2 − 3\nonumber \]
\[−1 = −1\nonumber \]
Ліва сторона дорівнює правій стороні, тому корінь правильний.
Вирішіть наступне рівняння для\(m\):\(\dfrac{3 m}{4}+2 m=4 m-15\)
Рішення
Це лінійне рівняння, оскільки показник на змінній дорівнює 1. Ви повинні вирішити рівняння і знайти корінь для\(m\).
Що ви вже знаєте
Рівняння вже надано.
Як ви туди потрапите
Спочатку спростіть рівняння, а потім застосуйте три кроки для вирішення лінійних рівнянь. Щоб прийти до кореня, ви повинні дотримуватися правил алгебри, BEDMAS та рівності. Можна використовувати підхід, що дозволяє уникнути негативу.
Виконувати
По-перше, спростіть всі дроби, щоб зробити рівняння легше працювати з.
\[\dfrac{3 m}{4}+2 m=4 m-15 \nonumber \]
Все ще спрощуючи, збирайте подібні терміни, де це можливо.
\[(\bf{0.75m}) + 2m = 4m − 15 \nonumber \]
Крок 1: Зберіть всі члени з буквальним коефіцієнтом на одній стороні рівняння. Перемістіть всі терміни з буквальними коефіцієнтами в праву сторону.
\[(\bf{2.75m })= 4m − 15 \nonumber \]
Крок 1 (продовження): Об'єднайте подібні терміни і перемістіть всі терміни лише з числовими коефіцієнтами в ліву сторону.
\[2.75m (\bf{− 2.75m}) = 4m − 15 (\bf{− 2.75m}) \nonumber \]
З лівого боку,\(+2.75m\) і\(−2.75m\) скасувати один одного. Тепер перемістіть числові коефіцієнти в ліву сторону.
\[(\bf{0}) = 4m − 15 (\bf{− 2.75m}) \nonumber \]
Праворуч −15 і +15 скасовують один одного.
\[0 (\bf{+ 15 })= 4m − 15 − 2.75m (\bf{+ 15}) \nonumber \]
Крок 2: Об'єднайте подібні терміни з кожного боку.
\[0 (\bf{+ 15}) = 4m − 2.75m \nonumber \]
Крок 3: Розділіть обидві сторони на числовий коефіцієнт, який супроводжує буквальний коефіцієнт.
\[\bf{15 = 1.25m} \nonumber \]
Спростити.
\[\dfrac{15}{\bf{1.25}}=\dfrac{1.25 m}{\bf{1.25}} \nonumber \]
Це корінь рівняння.
\[12=m\nonumber \]
Корінь рівняння є\(m = 12\).
Це робить обидві сторони рівняння,
\(\dfrac{3 m}{4}+2 m\)і\(4 m-15\), рівний 33.
Вирішіть наступне рівняння для\(b\) та округліть відповідь до чотирьох десяткових знаків:\(\dfrac{5}{8} b+\dfrac{2}{5}=\dfrac{17}{20}-\dfrac{b}{4}\)
Рішення
Це лінійне рівняння, оскільки показник на змінній дорівнює 1. Ви повинні вирішити рівняння і знайти корінь для\(b\).
Що ви вже знаєте
Рівняння вже надано. Хоча ви можете спробувати очистити кожен дріб або спробувати знайти спільний знаменник, нагадайте, що ви можете усунути дроби, перетворивши їх у десяткові.
Як ви туди потрапите
Спростити дроби в десятковій формі. Потім застосуйте три кроки для вирішення лінійних рівнянь. Щоб прийти до кореня, необхідно дотримуватися правил алгебри, BEDMAS і рівності.
Виконувати
Спрощення дробів і перетворення в десяткові числа.
\[\dfrac{5}{8} b+\dfrac{2}{5}=\dfrac{17}{20}-\dfrac{b}{4} \nonumber \]
Крок 1: Перемістіть буквальні терміни коефіцієнта на ліву сторону.
\[(\bf{0.625})b (\bf{+ 0.4}) = (\bf{0.85 − 0.25})b \nonumber \]
Буквальні коефіцієнти з правого боку скасовують один одного.
\[0.625b + 0.4 + (\bf{0.25b}) = 0.85 − 0.25b + (\bf{0.25b}) \nonumber \]
Перемістіть числові коефіцієнти в праву сторону.
\[0.625b + 0.4 + 0.25b = 0.85 \nonumber \]
Числові коефіцієнти на лівій стороні скасовують один одного.
\[0.625b + 0.4 +0.25b (\bf{− 0.4}) = 0.85 (\bf{− 0.4}) \nonumber \]
Крок 2: Об'єднайте подібні терміни з кожного боку.
\[0.625b + 0.25b = 0.85 − 0.4\nonumber \]
Крок 3: Розділіть обидві сторони на числовий коефіцієнт, який супроводжує буквальний коефіцієнт.
\[\bf{0.875b = 0.45} \nonumber \]
Спростити.
\[\dfrac{0.875 b}{\bf{0.875}}=\dfrac{0.45}{\bf{0.875}} \nonumber \]
Округлити до чотирьох десяткових знаків відповідно до інструкцій.
\[b = 0.514285 \nonumber \]
Це і є корінь.
\[b = 0.5143 \nonumber \]
Корінь рівняння, округлений до чотирьох десяткових знаків, дорівнює\(b = 0.5143\).
Розв'язування двох лінійних рівнянь з двома невідомими змінними
Процес маніпуляції, який ви щойно відпрацювали, добре працює для вирішення одного лінійного рівняння з однією змінною. Але що буде, якщо потрібно вирішити два лінійних рівняння з двома змінними одночасно? Пам'ятайте, коли ви були в Старому флоті, купуючи сім нарядів раніше в цьому розділі (рівняння 1)? Вам потрібно було залишатися в межах цінового бюджету (рівняння 2). Кожне рівняння мало дві невідомі змінні, що представляють кількість нижчих і більш дорогих нарядів.
Мета полягає в тому, щоб звести два рівняння з двома невідомими в єдине лінійне рівняння з одним невідомим. Після завершення цього перетворення ви ідентифікуєте невідому змінну, застосувавши триступінчасту процедуру розв'язання одного лінійного рівняння, як тільки що обговорювалося.
При роботі з двома лінійними рівняннями з двома невідомими правила алгебри допускають наступні дві маніпуляції:
- Те, що ви робите з однієї сторони рівняння, має бути зроблено з іншою стороною рівняння, щоб зберегти рівність. Тому можна помножити або розділити будь-яке рівняння на будь-яке число, не змінюючи корінь рівняння. Наприклад, якщо помножити всі члени\(x + y = 2\) на 2 з обох сторін\(2x + 2y = 4\), в результаті рівність рівняння залишається незмінним і існують однакові корені.
- Терміни, які знаходяться на одній стороні рівняння, можна додавати та віднімати між рівняннями, поєднуючи подібні терміни. Кожне з двох рівнянь має ліву і праву сторону. Це правило дозволяє приймати ліву частину першого рівняння і або додавати або віднімати подібні члени на лівій стороні другого рівняння. При виконанні цієї дії запам'ятайте перше правило вище. Якщо ви додаєте ліві частини рівнянь разом, ви повинні додати праву частину обох рівнянь разом, щоб зберегти рівність.
Як це працює
Виконайте наступні дії, щоб вирішити два лінійних рівняння з двома невідомими змінними:
Крок 1: Напишіть два рівняння одне над іншим, вертикально вибудовуючи члени, які мають однакові буквальні коефіцієнти та члени, які мають лише числовий коефіцієнт. При необхідності рівняннями, можливо, доведеться маніпулювати таким чином, щоб всі буквальні коефіцієнти знаходилися з одного боку з числовими коефіцієнтами на іншій стороні.
Крок 2: Вивчіть два рівняння. Через множення або ділення зробіть числовий коефіцієнт на одному з членів, що містять буквальний коефіцієнт, точно рівний його аналогу в іншому рівнянні.
Крок 3: Додайте або відніміть два рівняння за потребою, щоб виключити однаковий член з обох рівнянь.
Крок 4: У новому рівнянні вирішіть для останнього буквального коефіцієнта.
Крок 5: Підставте корінь відомого буквального коефіцієнта в будь-яке з двох вихідних рівнянь. Якщо одне з рівнянь набуває простішу структуру, виберіть це рівняння.
Крок 6: Вирішіть вибране рівняння для іншого буквального коефіцієнта.
Шляхи до успіху
Іноді незрозуміло, як саме потрібно множити або ділити рівняння, щоб два з членів були однаковими. Наприклад, припустимо наступні два рівняння:
\[4.9x + 1.5y = 38.3\nonumber \]
\[2.7x − 8.6y = 17.8\nonumber \]
Якщо мета полягає в тому, щоб терміни, що містять буквальний коефіцієнт,\(x\) ідентичними, є два альтернативних рішення:
- Візьміть більший числовий коефіцієнт для\(x\) і розділіть його на менший числовий коефіцієнт. Отримане число є коефіцієнтом для множення рівняння, що містить менший числовий коефіцієнт. В даному випадку,\(4.9 \div 2.7 =1 . \overline{814}\). Помножте всі члени другого рівняння на,\(1 . \overline{814}\) щоб зробити числові коефіцієнти для\(x\) рівних один одному, в результаті чого вийде ця пара рівнянь:
\[4.9x + 1.5y = 38.3\nonumber \]
\[4.9 x-15.6 \overline{074} y=32.3 \overline{037} \text { (every term multiplied by } 1 . \overline{814})\nonumber \]
- Візьміть перше рівняння і помножте його на числовий коефіцієнт у другому рівнянні. Потім візьміть друге рівняння і помножте його на числовий коефіцієнт в першому рівнянні. При цьому всі члени першого рівняння помножте на 2,7. Потім помножте всі члени другого рівняння на 4,9.
\[13.23 x+4.05 y=103.41 \text { (every term multiplied by } 2.7)\nonumber \]
\[13.23 x-42.14 y=87.22 \text { (every term multiplied by 4.9) }\nonumber \]
Зауважте, що обидва підходи успішно призводять до того, що обидва рівняння мають однаковий числовий коефіцієнт перед буквальним коефіцієнтом\(x\).
Шляхи до успіху
Зрештою, кожне спарювання лінійних рівнянь з двома невідомими може бути перетворено в одне рівняння шляхом підстановки. Щоб здійснити конверсію, виконайте наступне:
- Розв'яжіть будь-яке рівняння для однієї з невідомих змінних.
- Візьміть отримане алгебраїчне вираз і підставляйте його в інше рівняння. Це нове рівняння можна розв'язати для однієї з невідомих змінних.
- Підставте новознайдену змінну в одне з вихідних рівнянь, щоб визначити значення для іншої невідомої змінної.
Візьмемо наступні два рівняння:
\[a + b = 4 \quad \quad 2a + b = 6\nonumber \]
- Розв'язування першого рівняння для результату в\(a = 4 - b\).
- Підставляючи вираз для a у друге рівняння і розв'язування для b призводить до того\(2(4 - b) + b = 6\), що вирішує як\(b = 2\).
- Нарешті, підставляючи корінь b у перше рівняння для обчислення a, дає\(a + 2 = 4\) результат\(a = 2\). Тому корінням цих двох рівнянь є\(a = 2\) і\(b = 2\).
Нагадаємо з розділу відкривачка, що в покупках нарядів є два цінових пункту $10 і $30, ваш бюджет - $110, і що вам потрібно сім предметів одягу. Наведені нижче рівняння представляють ці умови. Визначте, скільки недорогих нарядів (\(L\)) і дорогих нарядів (\(H\)) ви можете придбати.
\[L + H = 7 \text{ } \$10L + \$30H = $110\nonumber \]
Рішення
Вам потрібно визначити кількість позицій з низькою ціною, або\(L\), і товари з високою ціною, або\(H\), які знаходяться в межах вашого обмеженого бюджету. Зверніть увагу, що експоненти на змінних є 1 і що є два невідомих. Отже, існує два лінійних рівняння з двома невідомими.
Що ви вже знаєте
Вам потрібно сім предметів одягу і бюджет лише 110 доларів. Рівняння виражають співвідношення кількості та бюджету.
Як ви туди потрапите
Застосуйте шестиступінчасту процедуру розв'язання двох лінійних рівнянь з двома невідомими.
Крок 1:
Напишіть рівняння одне над іншим і вирівняйте їх.
\[\begin{array} {lllll} {L} & + &{H}& = &{7}\\ {\$10L} & + &{\$30H}& = &{\$110}\\ \end{array} \nonumber \]
Крок 2:
Помножте всі члени першого рівняння на 10, щоб мати\(L\) однаковий числовий коефіцієнт в обох рівняннях.
\[\begin{array} {lllll} {10L} & + &{10H}& = &{70}\\ {\$10L} & + &{\$30H}& = &{\$110}\\ \end{array} \nonumber \]
Крок 3:
Відніміть рівняння, віднімаючи всі члени з обох сторін.
\[\begin{array} {llllll} { } &{10L} & + &{10H}& = &{70}\\ {\text{subtract}} &{\$10L} & + &{\$30H}& = &{\$110}\\{ } &{ } & - &{\$20H}& = &{−\$40}\\ \end{array} \nonumber \]
Крок 4:
Вирішити для\(H\), розділивши обидві сторони на −20.
\[\dfrac{-\$ 20 H}{-\$ 20}=\dfrac{-\$ 40}{-\$ 20} \quad H=2 \nonumber \]
Крок 5:
Підставте відоме значення для\(H\) в одне з вихідних рівнянь. Перше рівняння просте, тому вибирайте це.
\[\begin{array} {lllll} {L} & + &{H}& = &{7}\\ {L} & + &{2}& = &{7}\\ \end{array} \nonumber \]
Крок 6:
Вирішіть для\(L\), віднімаючи 2 з обох сторін. Тепер у вас є коріння для\(L\) і\(H\).
\[\begin{array} {lllllllll} {L}&+&{2} & - &{2}& = &{7}&-&{2}\\ { } & { } &{ } & { } &{L}& = &{5} & { } & { }\\ \end{array} \nonumber \]
Ви можете придбати п'ять предметів одягу за низькою ціною та два предмети одягу за високою ціною. Це дозволяє придбати сім предметів одягу і залишитися в межах вашого бюджету $110.
Шляхи до успіху
Одне з найскладніших напрямків математики передбачає переклад слів в математичні символи і операції. Щоб допомогти в цьому перекладі, наведена нижче таблиця містить певну спільну мову та математичний символ, який зазвичай асоціюється зі словом або фразою.
| Мова | Математичний символ | ||
|---|---|---|---|
|
Сума Додавання |
На додаток до У надлишку |
Збільшено на Плюс |
+ |
|
Віднімати Знижена на Зменшено на |
Менше мінус |
Різниця Зменшено на |
- |
|
Помножити на Часи |
Відсоток від |
Продукт З |
× |
|
Розділити Відділ |
Ділимий Частота |
Пер | ÷ |
|
стає Є/Був/Були |
Буде |
Результати в Підсумки |
= |
| Більше, ніж | Більше, ніж | > | |
| Менше | Нижче ніж | < | |
| Більше або дорівнює | ≥ | ||
| Менше або дорівнює | ≤ | ||
| Не дорівнює | ≠ | ||
Tinkertown Family Fun Park стягує 15 доларів за дитячий браслет і 10,50 доларів за дорослий браслет. У теплий літній день парк розваг мав загальний дохід на зап'ястя в розмірі 15 783 доларів від продажів 1,279 наручних смуг. Скільки дорослих та дитячих браслетів продав парк того дня?
Рішення
Вам потрібна кількість як дорослих, так і дитячих браслетів, проданих в даний день. Тому ви повинні виявити два невідомих.
Що ви вже знаєте
Ціна на зап'ястя, загальна кількість та продажі відомі:
Ціна дитячого зап'ястя = 15 доларів
Ціна на зап'ястя для дорослих = $10.50
Загальний дохід = $15,783
Загальний обсяг продажів одиниці = 1,279
Кількість проданих браслетів для дорослих та кількість проданих дитячих браслетів невідомі:
Кількість браслетів для дорослих =\(a\)
Кількість дитячих зап'ястя =\(c\)
Як ви туди потрапите
- Спочатку працюйте з величинами. Обчисліть загальний обсяг продажів одиниці, додавши кількість дорослих браслетів на зап'ястя до кількості дитячих браслетів:
\[\# \text { of adult wrist bands }+\# \text { of child wrist bands }=\text { total unit sales } \nonumber \]
\[a + c = 1,279\nonumber \]
- Тепер розглянемо доларові цифри. Загальний дохід для будь-якої компанії розраховується як ціна одиниці, помножена на продані одиниці. При цьому необхідно підсумувати виручку від двох продуктів, щоб отримати загальну виручку.
\[\text { Total adult revenue }+\text { Total child revenue }=\text { Total revenue }\nonumber \]
\[\text { (Adult price } \times \text { Adult guantity })+\text { (Child price } \times \text { Child quantity) }=\text { Total revenue }\nonumber \]
\[\$ 10.50 a+\$ 15 c=\$ 15,783\nonumber \]
- Застосуйте шестиступінчасту процедуру розв'язання двох лінійних рівнянь з двома невідомими.
Виконувати
Крок 1:
Напишіть рівняння одне над іншим і вирівняйте їх.
\[\begin{array} {lllll} {a} & + &{c}& = &{1,279}\\ {\$10.50a} & + &{\$15c}& = &{\$15,783}\\ \end{array} \nonumber \]
Крок 2:
Помножте всі члени в першому рівнянні на 10,5, в результаті чого вийде однаковий числовий коефіцієнт в обох рівняннях.
\[\begin{array} {lllll} {\bf{10.50} a} & + &{\bf{10.50} c} & = & {\bf{13,429.50}} \\ {\$10.50a} & + &{\$15c}& = &{\$15,783}\\ \end{array} \nonumber \]
Крок 3:
Відніміть рівняння, віднімаючи всі члени з обох сторін.
\[\begin{array} {llllll} { } & {\bf{10.50} a} & + &{\bf{10.50} c} & = & {\bf{13,429.50}} \\ {\text{Subtract}} & {\underline{\$10.50a}} & {\underline{+}} &{\underline{\$15c}} & {\underline{=}} &{\underline{\$15,783}}\\ { } & { } & { } & {\bf{-4.5c}} & {\bf{=}} & {\bf{-2,353.50}} \\ \end{array} \nonumber \]
Крок 4:
Вирішити для\(c\) шляхом поділу обох сторін на −4.5.
\[\dfrac{-4.5 c}{-4.5}=\dfrac{-2,353.50}{-4.5} \quad c=523 \nonumber \]
Крок 5:
Підставте відоме значення для\(c\) в одне з вихідних рівнянь. Перше рівняння просте, тому вибирайте це.
\[\begin{array} {lllll} {a} & + & {c} & = &{1,279} \\ {a} & + & {\bf{523}} & = &{1,279}\\ \end{array} \nonumber \]
Крок 6:
Вирішіть для a, віднімаючи 523 з обох сторін. Тепер у вас є коріння для\(a\) і\(c\).
\[\begin{aligned} a+523 \bf{-523} &=1,279 \bf{-523} \\ a &=756 \end{aligned} \nonumber \]
Tinkertown Family Fun Park продав 523 дитячих зап'ястя та 756 дорослих зап'ястя.
