2.4: Алгебраїчні вирази (шматочки головоломки)
- Page ID
- 66714
Якщо ви схожі на більшість канадців, ваш роботодавець платить вам два тижні. Припустимо, ви заробляєте $12.00 на годину. Як ви розраховуєте свій платіжний чек кожен період оплати? Ваш заробіток розраховується наступним чином:
\[\$ 12.00 \times \text{(Hours worked during the biweekly pay period)}\nonumber \]
Години, відпрацьовані протягом двотижневого періоду оплати праці, є невідомою змінною. Зверніть увагу, що вираз виглядає тривалим, коли ви виписуєте пояснення для змінної. Алгебра - це спосіб зробити такими виразами зручніше маніпулювати. Щоб скоротити вираз, полегшивши читання, алгебра призначає букву або групу букв для представлення змінної. У цьому випадку ви можете вибрати h для представлення «годин, відпрацьованих протягом двотижневого періоду оплати». Це переписує вищевказаний вираз наступним чином:
\[\$ 12.00 \times h \text { or } \$ 12 h \nonumber \]
На жаль, слово алгебра змушує очі багатьох людей глазур'ю. Але пам'ятайте, що алгебра - це всього лише спосіб вирішення числової задачі. Він демонструє, як шматочки головоломки поєднуються, щоб прийти до вирішення.
Наприклад, ви використовували свої алгебраїчні навички, якщо коли-небудь запрограмували формулу в Microsoft Excel. Ви сказали Excel, що існує зв'язок між клітинами у вашій електронній таблиці. Можливо, для вашого розрахунку потрібно осередок A3 розділити на клітинку B6, а потім помножити на клітинку F2. Це алгебраїчне рівняння. Потім Excel взяв ваше алгебраїчне рівняння і розрахував рішення, автоматично підставляючи відповідні значення з посилань комірок (ваші змінні).
Як показано на малюнку вище, алгебра передбачає інтеграцію багатьох взаємопов'язаних понять. На цьому малюнку показані лише важливі для бізнес-математики поняття, які цей підручник представить поштучно. Ваше розуміння алгебри стане більш повним, оскільки більше понять буде висвітлено протягом цієї книги.
У цьому розділі розглядається мова алгебри, експонентні правила, основні правила експлуатації та заміщення. У розділі 2.5 ви поставите ці поняття для роботи у вирішенні одного лінійного рівняння для однієї невідомої змінної разом з двома лінійними рівняннями з двома невідомими змінними. Нарешті, у розділі 2.6 ви вивчите поняття логарифмів та природних логарифмів.
Мова алгебри
Розуміння правил алгебри вимагає знайомства з чотирма ключовими визначеннями.
Алгебраїчний вираз
Математичний алгебраїчний вираз вказує на зв'язок між і математичними операціями, які повинні проводитися над серією чисел або змінних. Наприклад, вираз $12h говорить про те, що ви повинні взяти погодинну заробітну плату 12 доларів і помножити її на відпрацьовані години. Зверніть увагу, що вираз не містить знак рівності, або «=». Він лише говорить вам, що робити, і вимагає, щоб ви підставили значення для невідомої змінної (ів) для вирішення. Немає жодного визначеного рішення виразу.
Алгебраїчне рівняння
Математичне алгебраїчне рівняння приймає два алгебраїчні вирази і прирівнює їх. Це рівняння можна вирішити, щоб знайти рішення для невідомих змінних. Вивчіть наступну ілюстрацію, щоб побачити, як алгебраїчні вирази та алгебраїчні рівняння взаємопов'язані.
Термін
У будь-якому алгебраїчному вираженні терміни - це компоненти, які відокремлюються додаванням і відніманням. Дивлячись на приклад вище, вираз\(6x + 3y\) складається з двох термінів. Ці терміни є «\(6x\)» і «»\(3y\). Номіал відноситься до того, скільки термінів з'являється в алгебраїчному виразі. Якщо алгебраїчний вираз містить лише один термін\(\$ 12.00h\), як «», його називають мономіальним. Якщо вираз містить два члени або більше\(6x + 3y\), наприклад «», воно називається многочленом.
Фактор
Терміни можуть складатися з одного або декількох факторів, які розділені знаками множення або ділення. Використовуючи 6х зверху, він складається з двох факторів. Цими факторами є «6» і «\(x\)»; вони з'єднуються множенням.
- Якщо коефіцієнт числовий, його називають числовим коефіцієнтом.
- Якщо коефіцієнт є однією або декількома змінними, він називається буквальним коефіцієнтом.
Наступна графіка показує, як алгебраїчні вирази, алгебраїчні рівняння, члени та фактори взаємопов'язані між собою в рівнянні.
Експоненти
Показники широко використовуються в бізнес-математиці і є невід'ємною частиною фінансової математики. Застосовуючи складні процентні ставки до будь-якої інвестиції або позики, ви повинні використовувати показники (див. Розділ 9 і далі).
Показники - це математичне скорочене позначення, яке вказує, скільки разів кількість множиться сама по собі. Формат показника показаний нижче.
Припустимо, що у вас є\(2^{3}=8\). Показник 3 говорить взяти базу 2 помножену на себе три рази, або\(2 \times 2 \times 2\). Потужність дорівнює 8. Правильний спосіб стверджувати цей вираз - «2 до показника 3 призводить до ступеня 8».
Як це працює
Багато правил застосовуються до спрощення показників, як показано в таблиці нижче.
| Правило | Ілюстрація | Пояснення |
|---|---|---|
| 1. множення | \(y^{a} \times y^{b}=y^{a+b}\) | Якщо основи ідентичні, додайте показники і збережіть незмінну базу. |
| 2. Відділ | \(\dfrac{y^{a}}{y^{b}}=y^{a-b}\) | Якщо основи ідентичні, відніміть показники і збережіть незмінну базу. |
| 3. Підвищення повноважень до експонентів |
\(\left(y^{b} z^{c}\right)^{a}=y^{b \times a} z^{c \times a}\) або \(\left(\dfrac{y^{b}}{z^{c}}\right)^{a}=\dfrac{y^{b \times a}}{z^{c \times a}}\) |
Якщо один член піднімається до показника, кожен коефіцієнт повинен зберігати свою базу, і ви повинні помножити показники для кожного на підвищений показник. Зауважте, що якщо вираз всередині дужок містить більше одного члена, наприклад\(\left(y^{b}+z^{c}\right)^{2}\), який має два члени, ви не можете помножити показник a всередині дужок. |
| 4. Нульові показники | \(y^{0}=1\) | Будь-яка база до нульового показника завжди видаватиме ступінь 1. Це пояснюється далі в цьому розділі, коли ви переглядаєте поняття алгебраїчного поділу. |
| 5. Негативні показники | \(y^{-a}=\dfrac{1}{y^{a}}\) | Негативний знак говорить про те, що сила була зрушена між чисельником і знаменником. Він зазвичай використовується в цьому підручнику для спрощення зовнішнього вигляду. Зверніть увагу, що на калькуляторі BAII Plus, введення в негативному показнику вимагає від вас клавіші в значенні\(y\), натиснути\(y^x\), ввести значення a, натиснути\(\pm\), а потім натиснути = для обчислення. |
| 6. Дробові показники | \(y^{\dfrac{a}{b}}=\sqrt[b]{y^{a}}\) | Дробова експонента - це інший спосіб написання радикального знака. Зверніть увагу, що спочатку база береться до експоненти a, потім знайдено корінь b, щоб отримати ступінь. Наприклад, Це те ж саме, що і. Щоб ввести дробовий показник на калькуляторі BAII Plus, введіть значення, натисніть\(y\), відкрийте набір дужок\(y^x\), введіть дужки\(a \div b\), закрийте дужки та натисніть = для обчислення. |
Важливі примітки
Нагадаємо, що математики зазвичай не пишуть число 1, коли воно множиться на інший коефіцієнт, оскільки воно не змінює результат. Те ж саме стосується і експонентів. Якщо показник дорівнює 1, він, як правило, не записується, оскільки будь-яке число, помножене на себе лише один раз, є тим самим числом. Наприклад, число 2 можна було б записати як 21, але потужність все одно 2. Або візьмемо випадок\((y z)^{2}\). Це може бути написано як\(\left(y^{1} z^{1}\right)^{a}\), який при спрощенні стає\(y^{1 \times a} z^{1 \times a}\) або\(y^{a} z^{a}\). Таким чином, навіть якщо ви не бачите показника написано, ви знаєте, що значення 1.
Спростіть такі вирази:
- \(h^{3} \times h^{6}\)
- \(\dfrac{h^{14}}{h^{8}}\)
- \(\left[\dfrac{h k^{5} m^{3}}{n^{4}}\right]^{3}\)
- \(1.49268^{0}\)
- \(\dfrac{x^{2} y^{4}}{x y^{-2}}\)
- \(6^{3 / 5}\)
Рішення
Вас попросили спростити вирази. Зверніть увагу, що вирази (d) і (f) містять лише числові коефіцієнти і тому можуть бути вирішені чисельно. Всі інші вирази включають буквальні коефіцієнти і вимагають алгебраїчних навичок для спрощення.
Що ви вже знаєте
Вам надали вирази, і у вас є шість правил спрощення показників в алгебрі.
Як ви туди потрапите
- Цей вислів передбачає множення двох держав з однаковою базою. Застосувати правило #1.
- Цей вислів передбачає поділ двох повноважень з однаковою базою. Застосувати правило #2.
- Цей вираз включає в себе один термін, з продуктами і часткою все піднято до експоненти. Застосувати правило #3.
- Ця потужність передбачає нульовий показник. Застосувати правило #4.
- Цей вираз передбачає множення, ділення та негативні показники. Застосувати правила #1, #2 та #5.
- Ця влада передбачає дробову експоненту. Застосувати правило #6.
Виконувати
- \(h^{3} \times h^{6}=h^{3+6}=h^{9}\)
- \(\dfrac{h^{14}}{h^{8}}=h^{14-8}=h^{6}\)
- \(\left[\dfrac{h k^{5} m^{3}}{n^{4}}\right]^{3}=\dfrac{h^{1 \times 3} k^{5 \times 3} m^{3 \times 3}}{n^{4 \times 3}}=\dfrac{h^{3} k^{15} m^{9}}{n^{12}}\)
- \(1.49268^{0}=1\)
- \(\dfrac{x^{2} y^{4}}{x y^{-2}}=\dfrac{x^{2} y^{4} y^{2}}{x^{1}}(\text { Rule } \# 5)=\dfrac{x^{2} y^{4+2}}{x^{1}}(\text { Rule } \# 1)=\dfrac{x^{2} y^{6}}{x^{1}}=x^{2-1} y^{6}(\text { Rule } \# 2)=x y^{6}\)
- \(6^{3 / 5}=2.930156\)
Інструкції з калькулятора
д.\(1.49268 y^{x} 0=\)
ф.\(6 y^{x}(3 \div 5)=\)
Ось спрощені рішення:
- \(h^{9}\)
- \(h^6\)
- \(\dfrac{h^{3} k^{15} m^{9}}{n^{12}}\)
- 1
- \(x y^{6}\)
- \(2.930156\)
Додавання і віднімання
Спрощення надмірно довгих або складних алгебраїчних виразів завжди краще для підвищення розуміння та зменшення шансів на помилку. Наприклад, припустімо, що ви менеджер виробництва, який хоче замовити болти для виробленого виробу. Ваша компанія виробляє три продукти, все в рівній кількості. Для виробу A потрібно сім болтів, виріб B вимагає чотирьох болтів, а виріб C вимагає чотирнадцяти болтів. Якщо\(q\) являє кількість необхідної продукції, необхідно замовити\(7q + 4q + 14q\) болти. Цей вираз вимагає кожного разу чотири обчислення (кожен член потрібно помножити на\(q\), а потім потрібно скласти все разом). За допомогою правил алгебри, які слідують, ви можете спростити цей вираз до\(25q\). Це вимагає лише одного розрахунку для вирішення. Так які ж правила?
Як це працює
У математиці терміни з однаковими буквальними коефіцієнтами називаються подібними термінами. Тільки терміни з однаковими буквальними коефіцієнтами можна додавати або віднімати за допомогою наступної процедури:
Крок 1: Спростіть будь-які числові коефіцієнти, виконавши будь-яку необхідну математичну операцію або перетворивши дроби в десяткові числа. Наприклад, такі терміни, які\(\dfrac{1}{2} y\) повинні стати\(0.5y\).
Крок 2: Додайте або відніміть числові коефіцієнти подібних термінів, як зазначено операцією, дотримуючись правил BEDMAS.
Крок 3: Зберігайте і не змінюйте загальні буквальні коефіцієнти. Напишіть новий числовий коефіцієнт перед збереженими буквальними коефіцієнтами.
З попереднього прикладу потрібні\(7q + 4q + 14q\) болти. Зверніть увагу, що існує три терміни, кожен з яких має однаковий буквальний коефіцієнт. Тому можна виконати необхідне доповнення.
Крок 1: Всі числові коефіцієнти вже спрощені. Перейдіть до кроку 2.
Крок 2: Візьміть числові коефіцієнти і додайте числа:\(7 + 4 + 14\) дорівнює 25.
Крок 3: Зберегти буквальний коефіцієнт\(q\). Покладіть новий числовий коефіцієнт і буквальний коефіцієнт разом. Таким чином,\(25q\). Тому те\(7q + 4q + 14q\) ж саме, що і\(25q\).
Речі, на які слід остерігатися
Поширеною помилкою при додаванні і відніманні є об'єднання термінів, які не мають однакового буквального коефіцієнта. Потрібно пам'ятати, що буквальний коефіцієнт повинен бути ідентичним. Наприклад,\(7q\) і\(4q\) мають однаковий буквальний коефіцієнт\(q\). Однак\(7q\) і\(4q^2\) мають різні буквальні коефіцієнти, причому\(q^2\),\(q\) і не можуть бути додані або віднімані.
Шляхи до успіху
Пам'ятайте, що якщо ви зіткнетеся з буквальним коефіцієнтом без числа перед ним, це число вважається 1. Наприклад, не\(x\) має письмового числового коефіцієнта, але він такий же, як\(1x\). Іншим прикладом може бути\(\dfrac{x}{4}\) те ж саме, що і\(\dfrac{1 x}{4}\) або\(\dfrac{1}{4} x\).
На аналогічній ноті математики також не виписують буквальні коефіцієнти, які мають показник нуля. Наприклад,\(7x^0\) це просто\(7(1)\) або\(7\). Таким чином, буквальний коефіцієнт завжди є; однак він має показник нуля. Запам'ятати це допоможе вам пізніше, коли ви множите і ділите в алгебрі.
Вивчіть наступні алгебраїчні вирази і вкажіть, скільки термінів можна об'єднати шляхом додавання і віднімання. Ніяких розрахунків проводити не потрібно. Не намагайтеся спростити.
- \(\dfrac{3}{2} x+4 x^{2}-10 x-2 y+\dfrac{x}{3}\)
- \(23 g^{2}-\dfrac{17 g^{2}}{5}+g^{4}+g^{2}-\dfrac{2}{3} g^{2}-0.15 g+g^{3}\)
- Відповідь
-
- Три терміни (всі\(x\))
- Чотири терміни (всі\(g^2\))
Спростіть наступні три алгебраїчні вирази.
- \(9 x+3 y-\dfrac{7}{2} x+4 y\)
- \(P\left(1+0.11 \times \dfrac{121}{365}\right)+\dfrac{15 P}{1+0.11 \times \dfrac{36}{365}}\)
- \(x\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{3}+\dfrac{x}{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{4}}-\dfrac{3 x}{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{2}}\)
Рішення
Вас попросили спростити три алгебраїчні вирази. Зверніть увагу, що кожен член виразів приєднується до інших шляхом додавання або віднімання. Тому застосовуйте правила додавання і віднімання до кожного виразу.
Що ви вже знаєте
Три алгебраїчні вирази вже надані.
Як ви туди потрапите
Застосовуючи три кроки для додавання і віднімання, ви повинні спростити, об'єднати і виписати рішення.
Виконувати
| \(9 x+3 y-\dfrac{7}{2} x+4 y\) | Крок 1: Спрощення числових коефіцієнтів. |
| \(9 x+3 y- \mathbf{3.5} x+4 y\) | Крок 2: Об'єднайте числові коефіцієнти подібних термінів. У вас є два терміни,\(x\) з яких потрібно взяти 9-3.5=5.5. У вас також є два терміни,\(y\) з яких потрібно взяти 3+4=7 |
| \( \mathbf{5.5} x+ \mathbf{7}y\) | Крок 3: Напишіть числові коефіцієнти перед незміненими буквальними коефіцієнтами. |
| \(P\left(1+0.11 \times \dfrac{121}{365}\right)+\dfrac{15 P}{1+0.11 \times \dfrac{36}{365}}\) | Крок 1: Спрощення числових коефіцієнтів. |
| \(\mathbf{1.036465} P+\dfrac{\mathbf{15}}{\mathbf{1.062383}} P\) | Крок 1: Продовжуйте спрощувати другий термін. |
| \(1.036465 P+\mathbf{14.119194} P\) | Крок 2: Об'єднайте числові коефіцієнти, виконавши додавання. |
| \(\mathbf{15.15566} P\) | Крок 3: Напишіть числовий коефіцієнт перед незмінним буквальним коефіцієнтом. |
| \(x\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{3}+\dfrac{x}{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{4}}-\dfrac{3 x}{\left(1+\dfrac{0.1}{4}\right)^{2}}\) | Крок 1: Спрощення числових коефіцієнтів. |
| \(\mathbf{1.076890} x+\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{1.103812}} x-\dfrac{\mathbf{3}}{\mathbf{1.050625}} x\) | Крок 1: Продовжуйте спрощувати другий і третій терміни. |
| \(\mathbf{1.076890} x+\mathbf{0.905950} x-\mathbf{2.855443} x\) | Крок 2: Об'єднайте числові коефіцієнти за допомогою заданих операцій. |
| \(\mathbf{-0.872602} x\) | Крок 3: Напишіть числовий коефіцієнт перед незмінним буквальним коефіцієнтом. |
Алгебраїчні вирази спрощують наступним чином:
- \(5.5x +7y\)
- \(15.15566P\)
- \(−0.872602x\)
Зверніть увагу, наскільки легше з ними працювати, ніж оригінальні вирази.
множення
Незалежно від того, множите ви мономіал на інший мономіал, мономіал на многочлен або многочлен на інший многочлен, правила множення залишаються тими ж.
Як це працює
Виконайте наступні дії для декількох алгебраїчних виразів:
Крок 1: Перевірте, чи є спосіб спростити алгебраїчний вираз спочатку. Чи є такі терміни, які ви можете комбінувати? Наприклад, ви можете спростити\((3x + 2 + 1)(x + x + 4)\)\((3x + 3)(2x + 4)\) до спроби множення.
Крок 2: Візьміть кожен член першого алгебраїчного виразу і помножте його на кожен член у другому алгебраїчному виразі. Це означає, що числові коефіцієнти в обох домівках множаться один на одного, а буквальні коефіцієнти в обох домівках множаться один на одного. Найкраще працювати методично зліва направо, щоб нічого не пропустити. Працюючи з прикладом, в\((3x + 3)(2x + 4)\) беремо перший член першого виразу\(3x\), і множимо його на,\(2x\) а потім на 4. Потім перейдіть до другого члена першого виразу, 3, і помножте його на,\(2x\) а потім на 4 (див. Малюнок).
Це стає:\(6x^2 + 12x + 6x + 12\)
Крок 3: Виконайте будь-які заключні кроки спрощення, додаючи або віднімаючи подібні терміни за потребою. У прикладі два члени містять буквальний коефіцієнт\(x\), тому ви спростите вираз до\(6x^2 + 18x + 12\).
Важливі примітки
Якщо множення передбачає більше двох виразів, які множаться один на одного, найпростіше працювати тільки з однією парою виразів одночасно, починаючи з крайньої лівої пари. Наприклад, якщо ви множите\((4x + 3)(3x)(9y + 5x)\), вирішіть\((4x + 3)(3x)\) спочатку. Потім візьміть рішення, тримаючи його в дужках, оскільки ви не виконали математичну операцію, і помножте його на\((9y + 5x)\). Це означає, що ви повинні повторити крок 2 у процедурі множення, поки ви не вирішите всі множення.
Речі, на які слід остерігатися
Негативний знак не викликає кінця горя у багатьох людей при роботі з множенням. По-перше, якщо числовий коефіцієнт не записаний явно, він приймається рівним 1. Наприклад, подивіться на\(2(4a + 6b) − (2a − 3b)\). Це те ж саме, що і\(2(4a + 6b) + (−1)(2a − 3b)\).
Коли ви множите негатив через вираз, всі знаки в дужках зміняться. Продовжуючи другий термін у наведеному вище прикладі,\(−(2a − 3b)\) стає\(−2a + 3b\). Вираз тоді виглядає так\(2(4a + 6b) − 2a + 3b\).
Шляхи до успіху
Порядок, в якому ви пишете терміни алгебраїчного виразу, не має значення до тих пір, поки ви дотримуєтеся всіх правил BEDMAS. Наприклад, чи пишете ви\(3 \times 4\) або\(4 \times 3\), відповідь однакова, тому що ви можете робити множення в будь-якому порядку. Те ж саме стосується\(4 + 3 - 1\) або\(3 - 1 + 4\). Тепер давайте розберемося складніше. Незалежно від того\(5x - 4 + 3x^2\),\(3x^2 + 5x - 4\) чи пишете ви чи, відповідь така ж, як ви не порушили жодних правил BEDMAS. Ви все ще помножуєте першим і додаєте останній зліва направо.
Хоча спадний експоненціальний формат для написання виразів, як правило, є кращим, наприклад\(3x^2 + 5x + 4\), який спочатку перераховує буквальні коефіцієнти з більш високими показниками, не має значення, чи робите ви це чи ні. При перевірці ваших рішень проти тих, які наведені в цьому підручнику, вам потрібно лише переконатися, що кожен з ваших термінів відповідає термінам наданого рішення.
Спростіть наступний алгебраїчний вираз:\((6x + 2 + 2)(3x – 2)\)
Рішення
Вас попросили спростити вираз.
Що ви вже знаєте
Ви множите два вирази один з одним. Кожен вираз містить два або три терміни.
Як ви туди потрапите
Застосовуючи три кроки для множення алгебраїчних виразів, ви спрощуєте, множите кожен член і комбінуєте.
Виконувати
Крок 1: Спростіть вираз спочатку.
\ [\ почати {вирівняний}
& (6 x+2+2) (3 x-2)\\
& (6 x+\ bf {4}) (3 x-2)
\ кінець {вирівняний}\ nonumber\]
Крок 2: Помножте всі члени в кожному виразі з усіма членами в іншому виразі.
\[(\bf{6 x})(\bf{3 x})+(\bf{6 x})(\bf{-2})+(\bf{4})(\bf{3 x})+(\bf{4})(\bf{-2}) \nonumber \]
Крок 2 (продовження): Вирішіть множення.
\[18 x^{2}-12 x+12 x-8 \nonumber \]
Крок 3: Виконайте остаточні спрощення. Можна поєднувати середні два терміни.
\[18 x^{2}-8 \nonumber \]
Це остаточне рішення.
Спрощений алгебраїчний вираз є\(18x^2 − 8\).
Спростіть наступний алгебраїчний вираз:\(–(3ab)(a^2 + 4b – 2a) – 4(3a + 6)\)
Рішення
Вас попросили спростити вираз.
Що ви вже знаєте
Вам було надано вираз. Зверніть увагу, що перший член складається з трьох виразів, які множаться разом. Другий термін передбачає два вирази, які множаться разом. Застосовуйте правила множення.
Як ви туди потрапите
Застосовуючи три кроки для множення алгебраїчних виразів, ви спростите, множите кожен член і об'єднаєте.
Виконувати
Крок 1: Ви не можете нічого спростити. Будьте обережні з негативами і виписуйте їх.
\[-(3 a b)\left(a^{2}+4 b-2 a\right)-4(3 a+6)\nonumber \]
Крок 2: Працюйте з першою парою виразів у першому семестрі та помножте.
\[(\bf{-1})(3 a b)\left(a^{2}+4 b-2 a\right)+(\bf{-4})(3 a+6)\nonumber \]
Помножте отриману пару виразів у першому семестрі.
\[(\bf{-3 a b})\left(a^{2}+4 b-2 a\right)+(-4)(3 a+6)\nonumber \]
Працюйте з парою виразів у вихідному другому члені і множте.
\[(\bf{-3 a^{3} b-12 a b^{2}+6 a^{2} b})+(-4)(3 a+6)\nonumber \]
Крок 3: Відкиньте дужки, щоб спростити.
\[-3 a^{3} b-12 a b^{2}+6 a^{2} b+[\bf{-12 a-24}]\nonumber \]
Немає подібних термінів. Ви не можете спростити цей вираз далі.
\[-3 a^{3} b-12 a b^{2}+6 a^{2} b-12 a-24\nonumber \]
Спрощений алгебраїчний вираз є\(-3 a^{3} b-12 a b^{2}+6 a^{2} b-12 a-24\).
Відділ
Від вас часто потрібно розділити мономіал або на мономіал, або на многочлен. У випадках, коли знаменник складається з многочлена, спростити вираз алгебраїчно або неможливо, або вкрай складно. Тут обговорюється лише поділ, де знаменники є мономіалами.
Як це працює
Щоб спростити вираз, коли його знаменник є мономіалом, застосовують такі правила:
Крок 1: Так само, як і при множенні, визначте, чи є спосіб об'єднати подібні терміни перед завершенням ділення. Наприклад, з\(\dfrac{3 a b+3 a b-3 a^{2} b+9 a b^{2}}{3 a b}\) можна спростити чисельник до\(\dfrac{6 a b-3 a^{2} b+9 a b^{2}}{3 a b}\).
Крок 2: Візьміть кожен член в чисельнику і розділіть його на термін в знаменнику. Це означає, що ви повинні розділити як числовий, так і буквальний коефіцієнти. Як і при множенні, зазвичай найкраще працювати методично зліва направо, щоб нічого не пропустити. Отже, в нашому прикладі ми отримуємо:
\[\dfrac{6 a b}{3 a b}-\dfrac{3 a^{2} b}{3 a b}+\dfrac{9 a b^{2}}{3 a b}\nonumber \]
\[(2)(1)(1) − (1)(a)(1) + (3)(1)(b)\nonumber \]
\[2 − a + 3b\nonumber \]
Крок 3: Виконайте будь-яке остаточне спрощення, додаючи або віднімаючи подібні терміни за потребою. Оскільки більше немає подібних термінів, остаточний вираз залишається\(2 − a + 3b\).
Речі, на які слід остерігатися
Можливо, ви чули про результат під назвою «скасування один одного». Наприклад, у вирішенні поділу\(\dfrac{4 a}{4 a}\) багато людей сказали б, що умови скасовують один одного. Багато людей також помилково інтерпретують це, щоб означати, що частка дорівнює нулю і скажуть, що\(\dfrac{4 a}{4 a}=0\). Насправді, коли терміни скасовують один одного, частка дорівнює одиниці, а не нулю. Числовий коефіцієнт дорівнює\(\frac{4}{4}=1\). Буквальним коефіцієнтом є\(\dfrac{a}{a}=1\). Таким чином,\(\dfrac{4 a}{4 a}=(1)(1)=1\). Це також пояснює, чому нульовий показник дорівнює одиниці:\(\dfrac{a^{1}}{a^{1}}=a^{1-1}=a^{0}=1\).
Шляхи до успіху
Багато людей не люблять фракції і їм важко працювати. Пам'ятайте, що коли ви спрощуєте будь-який алгебраїчний вираз, ви можете перетворити будь-який дріб у десятковий. Наприклад, якщо ваш вираз є, ви можете перетворити дріб у десяткові:\(0.4x + 0.75x\). У такому форматі вирішувати простіше.
Спростіть наступний алгебраїчний вираз:\(\dfrac{30 x^{6}+5 x^{3}+10 x^{3}}{5 x}\)
Рішення
Вас попросили спростити вираз.
Що ви вже знаєте
Зверніть увагу, що надане вираз є поліномом, розділеним на мономіал. Тому застосовуйте правила поділу.
Як ви туди потрапите
Застосовуючи три кроки для поділу алгебраїчного виразу, ви спростите, розділите кожен член і об'єднаєте.
Виконувати
Крок 1: Чисельник має два члени з однаковим буквальним коефіцієнтом (\(x^3\)). Поєднуйте їх, використовуючи правила складання.
\[\dfrac{30 x^{6}+5 x^{3}+10 x^{3}}{5 x}\nonumber \]
Крок 2: Тепер, коли чисельник спрощений, розділіть кожен його член на знаменник.
\[\dfrac{30 x^{6}+ \bf{15 x^{3}}}{5 x}\nonumber \]
Вирішіть ділення, діливши як числові, так і буквальні коефіцієнти.
\[\dfrac{30 x^{6}}{5 x}+\dfrac{ \bf{15 x^{3}}}{5 x}\nonumber \]
Крок 3: Немає подібних термінів, тому це остаточне рішення.
\[6 x^{5}+3 x^{2}\nonumber \]
Спрощений алгебраїчний вираз є\(6 x^{5}+3 x^{2}\).
Спростіть наступний алгебраїчний вираз:\(\dfrac{15 x^{2} y^{3}+25 x y^{2}-x y+10 x^{4} y+5 x y^{2}}{5 x y}\)
Рішення
Вас попросили спростити вираз.
Що ви вже знаєте
Зверніть увагу, що надане вираз є поліномом, розділеним на мономіал. Тому застосовуйте правила поділу.
Як ви туди потрапите
Застосовуючи три кроки для поділу алгебраїчних виразів, ви спростите, розділите кожен член і об'єднаєте.
Виконувати
Крок 1: Чисельник має два члени з однаковим буквальним коефіцієнтом (\(xy^2\)). Поєднуйте їх за правилами складання.
\[\dfrac{15 x^{2} y^{3}+25 x y^{2}-x y+10 x^{4} y+5 x y^{2}}{5 x y}\nonumber \]
Крок 2: Тепер, коли чисельник спрощений, розділіть кожен його член на знаменник.
\[\dfrac{15 x^{2} y^{3}+ \bf{30 x y^{2}}-x y+10 x^{4} y}{5 x y}\nonumber \]
Вирішіть ділення, діливши як числові, так і буквальні коефіцієнти.
\[\dfrac{15 x^{2} y^{3}}{5 x y}+\dfrac{30 x y^{2}}{5 x y}-\dfrac{x y}{5 x y}+\dfrac{10 x^{4} y}{5 x y}\nonumber \]
Крок 3: Спрощуйте та комбінуйте будь-які подібні терміни.
\[3 x y^{2}+6(1)(y)-0.2(1)(1)+2\left(x^{3}\right)(1)\nonumber \]
Подібних термінів немає, тому це остаточне рішення.
\[3 x y^{2}+6 y-0.2+2 x^{3}\nonumber \]
Спрощений алгебраїчний вираз є\(3 x y^{2}+6 y-0.2+2 x^{3}\).
Заміна
Кінцева мета алгебри полягає в тому, щоб представити зв'язок між різними змінними. Хоча корисно спростити ці відносини там, де це можливо, і скоротити алгебраїчні вирази, врешті-решт ви хочете обчислити рішення. Заміна передбачає заміну буквальних коефіцієнтів алгебраїчного виразу відомими числовими значеннями. Після того, як заміна відбулася, ви вирішуєте вираз для кінцевого значення.
Як це працює
Виконайте наступні дії, щоб виконати алгебраїчну заміну:
Крок 1: Визначте значення ваших змінних. Припустимо, алгебраїчне рівняння є\(PV=\dfrac{FV}{1+r t}\). Потрібно розрахувати значення\(PV\). Відомо\(FV = \$5,443.84\), що,\(r = 0.12\), і\(t=\dfrac{270}{365}\).
Крок 2: Візьміть відомі значення та вставте їх у рівняння, де розташовані їх відповідні змінні, в результаті чого\(PV=\dfrac{\$ 5,443.84}{1+(0.12)\left(\dfrac{270}{365}\right)}\).
Крок 3: Вирішіть рівняння для вирішення змінної. Розрахувати\(PV=\dfrac{\$ 5,443.84}{1.088767}=\$ 5,000.00\).
Речі, на які слід остерігатися
В алгебрі прийнято представляти змінну з більш ніж однією буквою. Як видно з наведеного вище прикладу,\(FV\) є змінною, і вона представляє майбутнє значення. Це не слід інтерпретувати як дві змінні,\(F\) і\(V\). Аналогічно\(PMT\) являє собою ануїтетний платіж. Коли ви вивчаєте нові формули та змінні, уважно зверніть увагу на те, як представлена змінна.
Так само деякі буквальні коефіцієнти мають індекси. Наприклад, ви могли бачити\(d_1\) і\(d_2\) в тій же формулі. Іноді трапляється те, що існує більше одного значення для однієї змінної. Як ви дізнаєтеся в розділі 6 про мерчендайзинг, коли ви купуєте товар, ви можете отримати більше однієї ставки дисконту (що d означає). Тому перша знижка отримує індекс 1, або\(d_1\), а друга знижка отримує індекс 2, або\(d_2\). Це дозволяє розрізняти два значення в рівнянні і підставити правильне значення в правильне місце.
Шляхи до успіху
Якщо ви не впевнені, чи правильно ви спростили вираз, пам'ятайте, що ви можете скласти власні значення для будь-якого буквального коефіцієнта та замінити ці значення як у вихідне, так і спрощене вирази. Якщо ви виконали всі правила і спростили відповідним чином, обидва вирази дадуть однакову відповідь. Наприклад, припустимо, що ви\(2x + 5x\) спростили\(7x\), але ви не впевнені, чи маєте ви рацію. Ви вирішили дозволити\(x = 2\). Підставивши в\(2x + 5x\), ви отримаєте\(2(2) + 5(2) = 14\). Підставляючи в ваш спрощений вираз ви отримаєте\(7(2) = 14\). Оскільки обидва вирази дали однакову відповідь, у вас є пряме підтвердження того, що ви спростили правильно.
Підставляємо і вирішуємо наступне рівняння:
\[N=L \times\left(1-d_1\right) \times\left(1-d_2\right) \times\left(1-d_3\right)\nonumber \]
Де\(L = \$1,999.99\),\(d_1 = 35\%\),\(d_2 = 15\%\),\(d_3 = 5\%\)
Рішення
Потрібно отримати доларове значення для буквального коефіцієнта\(N\).
Що ви вже знаєте
Вам надається рівняння і значення чотирьох буквальних коефіцієнтів.
Як ви туди потрапите
Крок 1: Значення\(L\)\(d_1\)\(d_2\), і\(d_3\) відомі.
Крок 2: Підставте ці значення в рівняння.
Крок 3: Вирішіть для\(N\).
Виконувати
Крок 1:
\(L = \$1,999.99\),\(d_1 = 0.35\),\(d_2 = 0.15\),\(d_3 = 0.05\)
Крок 2:
\[N=\$ 1,999.99 \times(1-0.35) \times(1-0.15) \times(1-0.05)\nonumber \]
Крок 3:
\[N=\$ 1,999.99 \times 0.65 \times 0.85 \times 0.95\nonumber \]
\(N=\$ 1,049.74\)
Значення\(N\) становить $1,049.74.